2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第11讲 平面向量的应用 （原卷版）

第11讲平面向量的应用内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：线段的定比分点1.定比的定义若点在线段所在直线上，且，则称为点分所成的比：内分点：在线段内时，；外分点：在线段延长线上时，且.2.定比分点坐标公式设，，点分的比为，则：知识点2：三角形“四心”的向量表示设的顶点对应向量为、、，记，，，内角为，为零向量.1.重心（，三条中线的交点）基本形式：零向量性质：坐标形式：若、、，则2.垂心（，三条高线的交点）垂直性质：，，向量等式：（为原点时）与外心的关系：3.外心（，三边垂直平分线的交点）模长性质：（为外接圆半径）垂直平分线：若是中点，则4.内心（，三条角平分线的交点）基本形式：零向量性质：知识点3：平面几何中的向量方法1.证明线段垂直核心原理：步骤：设线段对应向量→计算点积→点积为0则垂直.2.解决夹角问题夹角公式：3.解决线段长度问题长度公式：4.几何最值与其他应用最值思路：转化为向量模长的最值；证明平行：；三点共线：共线.知识点4：向量在物理中的应用1.力的合成合力大小：若力、夹角为，则2.速度、位移的合成实际速度/位移=分速度/分位移的向量和（平行四边形法则）.3.功、动量的计算功：（为与的夹角）；动量：，动量变化量.五、易错辨析1.定比的符号：外分点时（非正数）；2.垂直与共线条件：对应垂直，对应共线；3.功的正负：由决定（时功为负）.六、重点记忆结论1.重心公式：；2.垂直条件：；3.夹角公式：；4.功的公式：.【题型1线段的定比分点】例1．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知A1,1，B4,0，点P在线段AB延长线上，且AP⃗例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是2,5、3,0，P是直线AB上的一点，且AP=−23变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）已知P13,2，P2−8,3，若点P12,y分P1P变式2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）（1）已知P是直线P1P2上一点，P1P=λPP2（λ为实数，且λ≠−1（2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是(0,1)、(−3,4)、(2,7)，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着AC所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？【题型2三角形的“四心”向量表示】例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知△ABC，若点P满足AP=λAB|AB|+AC|ACA．外心 B．内心 C．垂心 D．重心例2．（2023·上海普陀·模拟预测）已知点O为△ABC的外心，且AO⋅AB+BO⋅A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有．①若OA+OB+OC=②若OA⋅(AC|AC|③若(OA+OB)⋅AB变式2．（24-25高一下·上海金山·月考）如图所示，点O是△ABC所在平面上一点，并且满足AO=mAB+n(1)若实数m=13,n=(2)若O是△ABC的外心，求m､(3)如果O是∠BAC的平分线上某点，则当m+3n达到最小值时，求【题型3平面向量在物理中的应用】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有3000N的力．已知甲所用的力f1的大小为2000N，且与M的前进方向的夹角为π

例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知两个力（单位：N）f1与f2的夹角为60°，其中f1=2,0，某质点在这两个力的共同作用下，由点A(1)求f2(2)求f1与f变式1．（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力f的方向与物体移动的方向成θ角，而物体在力f的作用下产生的位移为s，那么力f所做的功是．

变式2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点O受到三个力OF1、OF2、OF3的作用，若它们的大小分别为OF【题型4用平面向量证明线段垂直关系】例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：AD⊥BC．例2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE垂直AB于点E，PF垂直BC于点F．求证：PD⊥EF．

变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）菱形是四条边都相等的四边形，用向量方法证明菱形的对角线互相垂直．变式2．已知在△ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N在AB边上，且AN=NB，设AM与CN相交于点P．记AB=

(1)请用m，n表示向量AM；(2)若n=2m，设m，n的夹角为θ，若cosθ=【题型5用平面向量解决夹角与线段长度问题】例1．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，已知|a|=5，例2．（24-25高一上·上海·课后作业）一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东30°的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得∠ACD=90°，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到变式1．（24-25高一下·上海宝山·期中）如图，在△ABC中，AC=2，AB=4．点D在边BC上，且CD=t(1)t=12，A=2π(2)t=15，AD恰为BC边上的高，求角(3)AD=3，求t的取值范围．变式2．如图所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，点D在线段BC上，且DC=2BD．求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．【题型6平面向量与几何的最值】例1．（2025·上海普陀·一模）设P是边长为1的正六边形A1A2A3A4A5例2．（25-26高三上·上海·期中）平面内互不重合的点A1、A2、A3、B1、B2、B3，若A1变式1．（24-25高一下·上海·月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，AP=λAD+μAB（λ，μ为实数）则

变式2．（24-25高一下·上海·期末）如图，点P是以A为圆心，半径为1的圆弧BC（包含B,C两个端点）上的一点，且∠CAB=2π3

(1)若P为圆弧BC的中点，求λ和μ的值；(2)若P在圆弧BC（包含B,C两个端点）上运动，求λ+μ的取值范围.【题型7平面向量在几何中的综合应用】例1．（24-25高一下·上海黄浦·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，|AB|=1，|AC|=3，若点P满足PA例2．（24-25高三上·上海·月考）已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B=23AB，且对于边AB上任意一点PA．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上不共线的三点Ax1,y1、Bx2变式2．（23-24高一下·上海·月考）如图，点G是△OAB重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．(1)设PG=λPQ，将OG用λ、OP、(2)设OP=xOA，OQ=y(3)在（2）的条件下，记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T，求TS一、核心模块1：线段的定比分点1.定比的定义关系：符号：内分点，外分点且2.坐标公式（考点）二、核心模块2：三角形“四心”的向量表示（高频考点）心的类型核心向量公式/性质重心；垂心；外心；内心；三、核心模块3：平面几何中的向量方法1.三大基础应用（必考点）垂直：夹角：长度：2.拓展应用平行：三点共线：几何最值：转化为向量模长的最值四、核心模块4：向量在物理中的应用物理量向量运算公式力的合成向量和速度/位移向量和实际速度=船速+水速（示例）功向量点积动量数乘+向量差；五、易错点警示1.定比的符号（外分点）；2.垂直（点积为0）与共线（数乘关系）的条件混淆；3.功的正负（由符号决定）一、单选题1．（24-25高一下·上海黄浦·月考）在△ABC中，动点P满足CA2=CB2−2AB⋅A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心二、填空题2．（24-25高一上·上海·课前预习）△ABC三个顶点的坐标分别为：x1,y1，x2,y3．（24-25高一下·上海松江·期末）已知A、B、C是单位圆上的三个点，若AB=2，则AB⋅4．（23-24高三上·上海虹口·期末）设a1，a2，a3，b1，b2，b3是平面上两两不相等的向量，若a1−a25．（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形A1A2A3A46．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E,F分别在直线BC,CD上，BE=aBC，DF=bDC.若a+b=23，7．已知点P在△ABC所在的平面内，则下列各结论正确的有．①若P为△ABC的垂心，AB⋅AC②若△ABC为边长为2的正三角形，则PA⋅PB③若△ABC为锐角三角形且外心为P，AP=xAB+yAC④若AP=1ABcosB8．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知a1,a2,b1,b2,⋯,9．（24-25高一下·上海·月考）已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则AB⋅AC的取值范围为三、解答题10．（24-25高一上·上海·课堂例题）一条河的两岸平行，河宽d=500m.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度v1=1011．（23-24高一·上海·课堂例题）已知ABCD是正方形，M是AB边的中点，点E在对角线AC上，且AE:EC=3:1．求证：∠MED=π12．（23-24高一·上海·课堂例题）已知点M3,−2、N−5,−1，且MP=13．（23-24高一·上海·课堂例题）在四边形ABCD中，向量AB=i+2j，BC=−414．（23-24高一·上海·课堂例题）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M是边AC上靠近A的一个三等分点，问：在线段BM上是否存在点P，使得PC⊥BM？15．（24-25高一上·上海·课后作业）已知在△ABC中，BC、CA