2026年高一数学寒假自学课（沪教版）重难点突破01 三角恒等变换应用题型与技巧突破 （解析版）

重难点突破01三角恒等变换应用题型与技巧突破内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：两角和与差公式（C(α±β)、S(α±β)、T(α±β)）公式名称规范公式（Word格式）适用条件核心变形两角和差余弦α,β为任意角无分配律，逆用：两角和差正弦α,β为任意角逆用：两角和差正切知识点2：二倍角公式公式名称规范公式（Word格式）变形（降幂/升幂）适用场景二倍角正弦化简、求值，“1”的代换二倍角余弦降幂：；化简、求最值、周期二倍角正切角度倍分转化，条件同正切和差公式知识点3：辅助角公式，其中，，，φ象限由(a,b)确定.常用结论：知识点4：半角公式（教材不要求记忆，可推导），，，符号由象限决定.知识点5：和差化积公式一、核心和差化积公式1.正弦和差化积：2.正弦差化积：3.余弦和差化积：4.余弦差化积：二、公式说明适用条件：、为任意角，无特殊定义域限制.核心特征：左边为两个同名三角函数的和或差，右边为两个三角函数的积，其中角为（和角的一半）与（差角的一半）.符号规律：余弦差化积公式右边有负号，其余三个公式右边均为正号，可结合“余差为负”记忆.三、记忆技巧口诀：“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦”.“正加正，正在前”：，右边先写，再写；“正减正，余在前”：，右边先写，再写；“余加余，余并肩”：，右边两个都是函数；“余减余，负正弦”：，右边是负的两个函数的积.四、常用补充（积化和差公式，对应逆用）和差化积与积化和差为互逆变换，补充积化和差公式便于双向应用：1.2.3.4.常考结论（高频考点+速解结论）1.基础结论1.常见特殊角组合：，，.2.齐次式求值：已知，则，，.3.三角恒等式：；.2.进阶结论1.辅助角公式最值：的最大值为，最小值为.2.角度和为特殊角：若，则；若，则，.3.降幂扩角：，，常用于三角函数的周期、最值求解.3.解题策略1.化简原则：“异名化同名、异角化同角、高次降幂、无理化有理”，优先逆用公式.2.求值步骤：先定角范围→选公式→验符号→算结果，复杂角拆分为特殊角组合.3.证明思路：从复杂端向简单端转化，用“1”的代换、公式逆用搭建桥梁.【题型1同角公式的平方关系】例1．（24-25高一下·上海·期末）若0<x<π4，且sinx+cosx=【答案】−15【分析】首先利用平方关系求2sinxcos【详解】sinx+cosx则sinx−且0<x<π4，则sinx−故答案为：−例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知sinα−cosα=22，【答案】6【分析】由题意可求得sinαcosα=14【详解】由sinα−cosα=所以1−2sinαcos又α∈0,π，所以sinα>0，所以cos又sinα+所以sinα+变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知sinα+cosα=1【答案】46【分析】利用切化弦，再结合平方公式求值即可.【详解】tan2α+∵∴故答案为：469变式2．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）（1）已知m∈R，若sinα、cosα是关于x的一元二次方程x（2）已知α∈0,π，且sinα−cosα=【答案】（1）m=−1；（2）sinα+cos【分析】（1）利用韦达定理可得sinα+（2）根据sinα±cosα【详解】（1）由题意可知：Δ=m2−4m+1且sinα+又因为sinα+cosα整理得m2−2m−3=0，解得m=−1或所以m=−1.（2）因为sinα−cosα=即19=1−2sin由α∈0,π，可知α∈0,又因为sinα+cosα可得sinα+所以1=1故sinα+cosα=【题型2同角公式中的弦化切】例1．（25-26高一上·上海普陀·月考）（1）已知tanα=2，求sin（2）已知角α是第二象限角，且sinα+cosα=15，若角α【答案】（1）3（2）−【分析】（1）利用齐次式弦化切即可求解（2）利用同角三角函数的关系解方程组可得sinα和cosα,然后利用正弦函数和余弦函数的定义即可得出点【详解】（1）sin2（2）因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，由sinα+cosα=15例2．（25-26高三上·上海松江·期末）设α∈0,π2，若sin2α−【答案】2【分析】根据题意利用诱导公式结合弦化切可得tan2【详解】因为α∈0,π2可得sin2即tan2α−tanαtan2α+1所以tanα故答案为：2.变式1．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知tanα=3，则sin【答案】310【分析】根据同角三角函数的关系弦化切即可求解.【详解】已知tanα=3，则sin故答案为：3变式2．（25-26高三上·上海·月考）若tanθ=13，那么1+【答案】−【分析】先利用平方关系化简，再进行弦化切.【详解】根据题意，tanθ=1+sin故答案为：−【题型3诱导公式与同角公式的化简求值】例1．（25-26高一上·上海青浦·月考）化简：sinπ【答案】−【分析】根据诱导公式化简即可.【详解】原式=sin例2．（2025高三·上海·专题练习）已知sinα−βcosα−cosα−βsinα=A．2 B．−1 C．1 D．−3【答案】D【分析】应用两角差的正弦结合同角三角函数关系求出cosβ=−【详解】∵=sin∴sinβ=−35，结合∴cos则tanβ故选：D.变式1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知0<α<π2(1)求tanα(2)求sin2α+2【答案】(1)5(2)−【分析】（1）利用平方关系求出cosα（2）利用诱导公式化简所求式子，利用商数关系弦化切，结合（1）得解.【详解】（1）因为sinα=所以cosα=故tanα=（2）由（1），tanα=sin=2变式2．（24-25高一下·上海·期中）（1）已知tanα=3，求sin（2）已知α∈0,π2【答案】（1）13；（2）【分析】（1）利用诱导公式进行化简，再利用条件，即可求解；（2）根据条件，利用平方关系，求出sinα,【详解】（1）因为sinπ又tanα=3，所以sin（2）因为α∈0,所以sinα=1−cos则cosα−β【题型4余弦的两角和差公式的化简求值】例1．（24-25高一下·上海·期中）已知cosα+45°=14【答案】2【分析】利用两角差的余弦公式展开，计算可得.【详解】因为cosα+45°解得cosα−故答案为：2例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知sinα+sinβ=0，cosα−cosA．−32 B．−12 C．【答案】B【分析】把已知等式两边平方相加可求得cosα+β【详解】由sinα+sinβ=0，可得由cosα−cosβ=3①+②得，1−2cos所以cosαcosβ−故选：B.变式1．已知α∈0,π，β∈0,π2(1)分别求cosβ−α和sin(2)求cosβ【答案】(1)cosβ−α=(2)cos【分析】（1）由α、β范围得β−α范围，结合sin(β−α)>0缩小范围，再用平方关系求cos(β−α)，同理可求（2）考虑到2β=(α+β)+(β−α)，用两角和的余弦公式求得cos2β=−3365，用二倍角变形公式求cos2β【详解】（1）因为α∈0,π，所以β−α∈−π,β−α∈0,π2因为α+β∈0,3π则α+β∈0,π2（2）因为2β=α+β所以cos==3因为cos2β=2则得cos2因β∈0,π2变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知sinα−sinβ=−13【答案】cos【分析】可将两式平方，整体构造出cos(α−β)【详解】由已知可得sin2cos2两式相加，2−2sin移项可得：−2sin即2cos所以cos(α−β)=【题型5余弦的两角和差公式的角的拼凑】例1．已知0<β<π2<α<π，且cosα−β2A．209729 B．−239729 C．−【答案】B【分析】根据同角的三角函数关系、三角和差的余弦公式、二倍角公式化简计算即可，注意在用同角的三角函数关系求值时正负值的取舍.【详解】∵0<β<π2<α<π∴cosα2∴==∴cos故选：B.例2．已知θ∈0,π4，且cosπ【答案】7【分析】利用同角三角函数关系和凑角法得到cosθ，进而得到tan【详解】θ∈0,π4cosθ−π4故cos=4所以sinθ=1−cos故tan2θ=故答案为：7变式1．已知π2<α<π,【答案】−【分析】先利用已知的cos(α−π4)的值，结合α的范围求出sin(α−π4【详解】因为π2<α<π，则因为cos(α−π4sin(α−将α变形为α−π可得：cosα=把cosα−π4=2可得：cosα=因此，cosα=−故答案为：−变式2．若0<α<π2,0<β<π2，cosα+β=A．22 B．23 C．5665【答案】C【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，准确运算，即可求解.【详解】由0<α<π2,0<β<π2又由−π3<β−所以cos=cos故选：C．【题型6正弦的两角和差公式的化简求值】例1．（25-26高二上·上海·月考）已知sinαsinβ=1，则【答案】0【分析】根据正弦函数的性质可知正弦函数sinα,sinβ的值域，结合已知条件得出sin【详解】∵−1≤sin又∵sinα∴sinα=1sin∴cos∴sin故答案为：0．例2．（25-26高三上·上海·月考）已知锐角α,β满足α+β=π4，则1sin【答案】4【分析】计算出sinαcosβ+cosα【详解】因为α+β=π4，所以因为α,β均为锐角，所以sinαcosβ>0所以1=2当且仅当cosαsinβsinα也就是α=β=π故答案为：42变式1．已知2sinα+π4=【答案】−【分析】由正弦的和差角公式展开化简可得到tanα的值，再把cos2α按倍角公式展开化成关于【详解】由正弦的和差角公式得：sinα+sinα−代入方程：2⋅2得sinα+得sinα+3解得：tanα=利用倍角公式得：cos2α=代入tanα=−3cos2α=故答案为：−变式2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知sinθ+π6=2【答案】−【分析】根据两角和的正弦公式、二倍角的正切公式计算得解.【详解】因为sinθ+所以tanθ=所以tan2θ=故答案为：−【题型7正弦的两角和差公式的角的拼凑】例1．已知sinα+2β=tanA．120 B．−120 C．3【答案】D【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果.【详解】设x=α+β，y=β，则α+2β=x+y,α=x−y，已知sinα+2β=1已知tanα+βtanβ由tanxtany=设sinxcosy=a又sinx+y=sin因此sinx所求sinα=综上，sinα=−故选：D例2．已知π4<α<3π4A．1665 B．−1665 C．−【答案】D【分析】由题可知sinπ4+α【详解】由π4<α<3因为cosπ所以sinπ所以sinα+β=−=−45×故选：D变式1．已知α,β∈0,π2，sinα+β=3【答案】1【分析】应用两角差正弦公式结合同角三角函数关系计算求解.【详解】因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π所以cosα+β因为α,β∈0,π2，又因为sin则sinα=故答案为：1.变式2．已知sinα+π(1)求cosα+(2)求sinα【答案】(1)4(2)−【分析】（1）由题意可得0<α+π（2）利用两角差的正弦公式即可求解．【详解】（1）因为−π4<α<又因为sinα+所以cos(α+（2）sin=【题型8正切的两角和差公式的化简求值】例1．（24-25高二下·上海·期末）若cosθ=−45，π<θ<【答案】−【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角差的正切公式求解.【详解】因为cosθ=−45所以sinθ=−所以tanθ−故答案为：−例2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知0<α<π2，−π2<β<0(1)求cosα−β(2)求tanα−2β【答案】(1)−(2)−1【分析】（1）根据同角关系求cosα，cosβ，再结合两角差余弦公式求（2）结合（1）根据商的关系求tanα，tanβ，再利用二倍角公式求tan2β【详解】（1）因为sinα=72所以cosα=因为sinβ=−55所以cosβ=所以cosα−β所以cosα−β（2）由（1）sinα=7210，cosα=所以tanα=7，tan所以tan2β=所以tanα−2β所以tanα−2β变式1．）已知α∈0,π2，β∈0（1）tanα=；（2）2α−β=【答案】13【分析】根据条件可得β∈π2,π、tanβ=−17，利用差角正切公式求得tanα=【详解】因为β∈0,π，cosβ=−72所以tanβ=所以tanα−β=tan所以α∈0,π因为β∈π2,π，所以−β∈因为tan(2α−β)=所以2α−β=−3π故答案为：13，−变式2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知α，β均为锐角，sinα=3sinβcos(α+β)，则tan【答案】2【分析】先利用sinα=sinα+β−β展开变形，可得tanα+β=4tanβ【详解】sinα=则sinα+β所以tanα+β整理得tanα=因为α，β均为锐角，且3sinβcos所以tanα+β所以tanα+β当且仅当tanα+β=4所以tanα=所以tanα取得最大值时，tanα+β的值为故答案为：2【题型9正切的两角和差公式的角的拼凑】例1．已知α，β满足4tanα+1=0，sin(α+β)=3cos(α+β)A．−455 B．455 【答案】D【分析】根据题意先求tanβ【详解】由题意有：tanα=−14，又sin所以tanα+β=tan所以cosα−β故选：D.例2．已知tanα+π4=4【答案】35【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解.【详解】已知tanα+π4故答案为：3变式1．已知tanα+β=12，tanα−βA．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【分析】由tanα+β=12，tanα−β【详解】∵tanα+β=∴tan∴tan故选：B.变式2．已知α为锐角，β∈(−π,−π2)，且sin(πA．7 B．1 C．17 D．【答案】B【分析】利用诱导公式化简，结合同角三角函数的关系及差角的正切公式求解.【详解】由sin(π−α)+sin(由α∈(0,π2)，β∈(−π,−则α−β∈(π,3π2)，所以tanβ=故选：B【题型10二倍角公式的化简求值】例1．（2026高三·上海·专题练习）已知tanα=2，则sinα【答案】−【分析】根据二倍角的余弦公式、正、余弦齐次式的化简计算即可．【详解】sin=−sin故答案为：−6例2．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知sinπ2+θ=−45【答案】−【分析】应用诱导公式结合同角三角函数关系，得出tanθ【详解】因为sinπ2+θ所以sinθ=1−则tan2θ+故答案为：−17变式1．（25-26高三上·上海杨浦·月考）已知cosθ=35，且θ是第四象限的角，则sin【答案】−【分析】由cosθ=35利用同角三角函数平方关系得sin【详解】因为cosθ=35所以sinθ=−1−cos所以sin2θ故答案为：−4变式2．（2025高三·上海·专题练习）已知cos2α=2sin2β−【答案】−【分析】先利用二倍角公式、和差化积公式求出cosα+β=13，结合条件【详解】因为cos2α=2sin2由和差化积公式，得2cosα+β因为cosα−β=1由cosαcos可得cosα所以tanα故答案为：−1【题型11辅助角公式的化简求值】例1．化简求值：(1)sin(2)化简2+【答案】(1)1(2)3【分析】（1）利用2cos2α−1=cos2α和tan（2）利用cos2α=cos2α−sin【详解】（1）sin=1（2）2+==例2．）若1+3tan80°=1sinα【答案】50【分析】首先正切化为正弦和余弦，再利用辅助角公式和二倍角公式化简等号左边，再结合诱导公式，即可求解.【详解】1+3=2则1cos40°=1sin所以α=50°.故答案为：50°变式1．已知cosα+3sinα=【答案】725/【分析】利用三角函数的辅助角公式可得出sin(α+π6)的值，利用二倍角公式可得出【详解】由于cosα+得sin(α+所以cos(2α+故sin2α−故答案为：725变式2．已知3sin2α−cos2α=−45【答案】21【分析】先将3sin2α−cos2α=−4【详解】∵3sin2α−cos2α=−∵sin2(∵0<α<π3，∴−π故答案为：215【题型12半角公式】例1．（24-25高一下·上海金山·月考）已知sin(α−β)cosα−cos(α−β)sin【答案】−3【分析】应用两角差的正弦结合同角三角函数关系求出cosβ=−【详解】∵sin结合β为第三象限角，∴cos则tanβ故答案为：−3.例2．（24-25高一下·上海·月考）若α∈[0,2π]且1+cosα2+1−A．[0,π] B．π2,π C．[π,2π] 【答案】C【分析】利用半角公式cosα2=±1+cos【详解】由半角公式cosα2=±cosα2+得α2∈π故选：C.变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知sinα=1213，α∈π2,π，则sinα【答案】313132【分析】先由角的范围得出sinα2−cosα【详解】因为α∈π2,π，所以所以sinα2−所以sinα2=故答案为：313变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知θ是第三象限的角，|cosθ|=m，sinθ2+A．1+m2 B．−1+m2 C．1−m【答案】D【分析】根据θ是第三象限的角，得到cosθ=−m，并根据sinθ2【详解】θ是第三象限的角，故cosθ<0故cosθ=−m因为θ∈π+2kπ则θ2∈π若k=2n，n∈Z，θ2+此时sinθ2+若k=2n−1，n∈Z，θ2+此时sinθcosθ故选：D【题型13和差化积公式的应用】例1．已知x,y∈0,π2，cosx+y=−513A．6316 B．3316 C．−33【答案】C【分析】根据sin2x−sin2y=2sin(x−y)cos(x+y)【详解】因为2=2=2sin由题意可知sin2x−sin2y=−613因为x,y∈0,π2，sin所以x−y∈0,π2所以cos(x−y)=1−sin因为sin2x=cos2x=所以tan2x=故选：C.例2．（24-25高二上·上海·月考）已知sinα+βsinα−β=2m(m≠0)【答案】−2m【分析】先由积化和差公式对已知式化简，再利用三角降幂公式化简代入计算即得.【详解】由sinα+β可得2==cos则cos2故答案为：−2m.变式1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知cosα−cosβ=12【答案】tan(α+β)=−【分析】利用和差化积、两角和的正切展开式计算可得答案.【详解】∵cosα−cosβ=12sinα−sinβ=−13sinα−β2≠0，①÷②∴tanα+β∴tan(α+β)=故答案为：−12变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简求值：cos10°⋅cos【答案】3【分析】根据余弦的两角和差公式，结合诱导公式即可化简求值【详解】cos=====【题型14给角求值】例1．化简并求值.（1）3tan（2）cos40°+（3）3−4（4）1cos【答案】（1）−43；（2）2；（3）2【分析】（1）将切化为弦，利用二倍角的正弦公式和辅助角公式可求三角函数式的值.（2）将切化为弦，利用辅助角公式化简cos10°+（3）先利用二倍角的余弦公式化简，再将3化为2sin（4）通分后利用平方差公式、两角和差的正弦公式化简，最后利用二倍角的正弦公式和诱导公式可求三角函数式的值.【详解】（1）原式===−4（2）原式=====cos（3）原式===2（4）原式====32例2．化简，求值（1）sin（2）sin（3）1（4）cos（5）2【答案】（1）116；（2）116；（3）2；（4）【分析】（1）由诱导公式结合二倍角的正弦公式求值即可；（2）由诱导公式结合二倍角的正弦公式求值即可；（3）通分，逆用两角差的正弦公式以及倍角公式求值即可；（4）由商数关系结合二倍角公式去掉根号，再由辅助角公式求值即可；（5）由商数关系结合二倍角公式去掉根号，再由辅助角公式化简分子分母，最后由诱导公式求值即可；【详解】（1）原式==（2）原式==（3）原式=cos10°−（4）原式==（5）原式=23【点睛】方法点睛：给角求值型问题，指的是给出了角的大小，化简求三角式的值.解答这种问题，一般是“三看三变”,“三看”指的是看角、看名、看式,“三变”指的是变角、变名、变式.变式1．化简下列各式：（1）3sin（2）cos10（3）sinα−【答案】（1）−2sinα【分析】（1）由题意结合两角差的正弦公式化简即可得解；（2）由题意结合同角三角函数商数关系可得原式=cos（3）由题意结合两角差的正弦公式可得原式=2sin【详解】（1）原式=2=2=2sin（2）原式===2（3）原式=2=2=2=2=22【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，关键是对原式进行合理变形，属于中档题.变式2．1cos280°A．16 B．32 C．−16 D．−32【答案】B【分析】利用互余关系通分，再利用平方关系消元，利用正弦、余弦二倍角公式降次，最后利用积化和差公式变形化简即可.【详解】由1=4×=16×故选：B【题型15给值求值】例1．（24-25高一下·上海·月考）已知cos(α−β)=45，sin(α+β)=−35，且【答案】−【分析】求出α−β和α+β的范围，再根据cos(α−β)和sin(α+β)的值，可以求出sin(α−β)和cos【详解】∵α∈π2,π∴α−β∈0,π，α+β∈∵cos(α−β)=4又∵sin(α+β)=−35，sin=3例2．（24-25高一下·上海徐汇·月考）已知2cos2α2+3sin【答案】2425【分析】利用辅助角公式化简可得sinα+π6【详解】由2cos得1+cosα+3sinα=由于−2π3<α<π可知cosα+故sin2α+故答案为：24变式1．已知cosα+β=14，tanαA．−34 B．−112 C．【答案】A【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出cosαcosβ【详解】因为cosα+βtanαtanβ=所以cosα−β故选：A变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知tan(α+β)=34，tanβ−π【答案】2【分析】由两角差的正切公式可得.【详解】∵α+π∴tan故答案为：211【题型16给值求角】例1．（24-25高一下·上海·月考）已知−π4<α<π4，0<β<π，sin【答案】−【分析】首先分别求出cos2α=45【详解】由−π4<α<因sin2α=35>0，则因为0<β<π，cosβ=−7210则−π<−β<−π则sin=3cos=4则2α−β=−3故答案为：−3例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知tanα=2，tanβ=3，其中α及β均为锐角，求【答案】135°【分析】根据两角和的正切公式即可求解．【详解】由两角和的正切公式知tan(α+β)=又∵0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α+β<180°，∴α+β=135°．变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知α、β∈(0,π2)，且3sin2【答案】π【分析】根据给定条件，利用二倍角余弦公式、同角公式变形并消元求出sinα【详解】由3sin2α+2sin2由3sin2α−2sin两式平方相加得9sin4α+9则sin2α=19，又因此sin(α+2β)=sin=3sinα(sin2α+所以α+2β=π变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若α、β均为钝角，且(1−tanα)(1−tan【答案】7【分析】由给定等式可得tanα+【详解】由α、β均为钝角，且1−tan得1+tanαtan由π2<α<π，π若α+β=3π2，即α=即有tanαtanβ=1，此时tan因此α+β≠3π2所以α+β=7【题型17三角形中的恒等变换】例1．（24-25高一下·上海·月考）在△ABC中，若tan2B=tanAtan【答案】π【分析】由题意可知A、C均为锐角，则分类讨论，若B均为钝角，不妨设A≥C，则tan2B≤tan2A与A+B<【详解】tan2B=tan若B∈π2,π，不妨设A≥C，则即tanA≥tanB=−tan所以B∈0,π2，由tan所以tanA+又因为tanA=−则tanA+所以tan3B≥3tanB，tanB≥故答案为：π3例2．（24-25高一下·上海普陀·月考）（1）求证：1+（2）在△ABC中，求证：tan【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式化简1+sin（2）根据内角和定理得A+B=π−C，代入两角和的正切公式，化简即可得证.【详解】解：（1）证明：因为cos2θ=2所以1+=2（2）在△ABC中，因为tanA+B所以tanA+tanB变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）在△ABC中，求证：（1）tanAtan（2）a2【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）从等式左边开始，切化弦，利用正弦定理和余弦定理角化边，化简整理即得等式右边；（2）从等式左边开始，利用正弦定理边化角，利用降幂公式转化，并利用拆角方法，利用两角和差的余弦公式化简整理即可得到等式右边.【详解】（1）tanAtanC（2）由正弦定理asinA=bsinB=∴a==−2sin(B+A)原命题得证.【点睛】一般的可以证明：sin2变式2．（2024高三·上海·专题练习）在△ABC中，C=45°，下列各式中成立的是（A．(1+cotA)(1+cotC．(1−tanA)(1−tan【答案】A【分析】根据C=45°可得【详解】因为在△ABC中，C=45°，故A+B=135°，又即cotA⋅cotB+故选：A【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、两角和的余切公式化简.需要根据选项判断公式的选择与计算，属于中档题.一、基础铺垫（恒等变换的前提）1.核心基础：同角三角函数基本关系平方关系：（核心用途：已知一个三角函数值求另一个，开方需定符号）商数关系：（，核心用途：切化弦、弦化切，统一三角函数名）2.重要工具：诱导公式核心法则：奇变偶不变，符号看象限（“奇/偶”指的奇数/偶数倍；“符号”将视为锐角判断原函数值符号）核心用途：将任意角三角函数转化为锐角三角函数，简化计算高频公式：、、、二、核心公式（恒等变换的核心工具）1.两角和与差公式（基础变换公式）余弦：（任意角适用，无分配律）正弦：（任意角适用，逆用是化简高频考点）正切：（适用条件：，变形：）2.二倍角公式（角的倍分变换核心）正弦：（变形：，用于降幂、化简）余弦：（核心变形：降幂公式、，是求周期、最值的关键）正切：（适用条件同两角和差正切公式）3.辅助角公式（函数统一变换工具）核心形式：（其中，象限由确定）核心用途：将含、的一次式化为单一三角函数，便于求最值、周期、单调区间高频特例：、4.拓展公式（选学，辅助化简）半角公式：、（符号由象限决定，可由二倍角公式推导）和差化积/积化和差：如，可由两角和差公式推导，用于复杂式子化简三、关键技能（恒等变换的核心能力）1.公式应用技能正用：直接代入公式计算（如给角求值）逆用：观察式子结构匹配公式逆用（如逆用）变形用：利用公式变形解决问题（如降幂公式、正切和差变形）2.角的变换技能（核心难点与高频考点）核心思路：将未知角拆分为已知角的和、差、倍、半（即“角的拼凑”）高频拆分方式：、、、关键步骤：先确定拆分后角的范围，再判断三角函数符号3.三角函数名与次数变换技能异名化同名：利用诱导公式、辅助角公式统一三角函数名（如与化为单一或）高次降幂：利用二倍角降幂公式将二次式化为一次式（如、降幂）弦切互化：利用商数关系将正切化为弦，或齐次式弦化切（如已知求齐次式值）四、应用目标（考点导向）1.核心题型应用给角求值：非特殊角拆分为特殊角，用公式计算给值求值：已知一个三角函数值，求另一个（需定角范围定符号）给值求角：先求目标角的三角函数值，再结合范围确定角式子化简：将复杂三角式化为最简形式（同名、同角、一次）恒等式证明：化繁为简、左右归一，利用公式与角变换搭建等式2.综合性质应用结合三角函数性质：通过恒等变换将函数化为形式，求周期、最值、单调区间、对称中心与其他知识结合：与三角函数图像、解三角形、向量等综合考查一、单选题1．（24-25高三上·上海·月考）已知θ是三角形的内角，若sinθ−cosθ=15A．75 B．−15 C．−【答案】A【分析】将sinθ−cosθ=15两边平方，求出2sinθ【详解】因为sinθ−cosθ=即sin2θ−2sinθcos又θ是三角形的内角，所以sinθ>0，则cos所以sinθ+故选：A二、填空题2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角α，β满足cosα=1213及cos(α+β)=【答案】119【分析】结合角的范围根据同角关系求sinα，sinα+β，再根据两角差的正弦公式求【详解】由已知0<α<π2，所以0<α+β<π因为cosα=1213所以sinα=1−cos所以sinβ=故答案为：1191693．（24-25高一下·上海·期中）已知−π2<α<β<π【答案】−【分析】根据正弦的和差角公式即可求解.【详解】∵−π2<α<β<π2cosα−β由于α−β∈−π,0故答案为：−4．（25-26高三上·上海·期中）已知tanα=−45，则【答案】−9【分析】利用两角差的正切公式可求得tanα−【详解】由题意可得tanα−故答案为：−95．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知α、β满足3sinαcosβ【答案】−1【分析】根据题意整理可得sinα+22−【详解】因为3sinαcos整理可得sinα+2因为sinα+2∈1,3,2−即sinα=−1,cosβ=1所以sinα−β故答案为：−1.6．（2024高一上·全国·专题练习）已知α，β均为锐角，且tanα=7，cosβ=255【答案】3π4【分析】根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角差的正切公式求得正确答案.【详解】∵β为锐角，且cosβ=255，∴故tan2β=∴0<2β<π2，又tanα∴α＋故答案为：3π7．（24-25高二下·上海奉贤·期中）若cosπ4【答案】−【分析】先根据已知条件确定π4+x的范围，进而求出sin(π4+x)的值，再将【详解】已知π<x<7π4因为cos(π4根据三角函数平方关系sin2sin(因为x=(πcos将cos(π4+x)=3cosx=故答案为：−28．（24-25高一下·上海长宁·月考）若α，β∈0,π2，sinα−β2=【答案】−【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得.【详解】∵α，β∈0,π2，∴α−∴cosα−β∴=3∴cos故答案为：−19．已知sinθ+π4=14【答案】2【分析】由cosθ=【详解】θ∈π2,又因为sinθ+所以cosθ+所以cosθ=故答案为：2−10．已知sinα+cosa=1【答案】−225【分析】将sinα+cosα=15【详解】由sinα+cosα=解得sinα所以(sin又因为α∈0,π，且所以sinα>0,所以sinα−则sinα−1故答案为：−三、解答题11．（23-24高一下·上海普陀·期中）（1）化简：tan3（2）已知sinθ=35【答案】（1）−1（2）−【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的商数关系即可化简；（2）由同角三角函数的平方关系及商数关系得出tanθ【详解】（1）tan=−（2）sinθ=∴tan则tanθ−12．（23-24高一上·上海·期末）已知sinx+cosx=(1)求tanx(2)求值：sinπ【答案】(1)−(2)10【分析】（1）将sinx+cosx=15两边平方得到2sinxcosx=−（2）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】（1）因为sinx+所以sinx+cosx即1+2sinxcos又x∈0,π，则sinx>0，所以cos所以sinx−则sin=1所以sinx=45则tanx=（2）因为tanx=−所以sin=sinx−2cosxcos13．（24-25高一下·上海长宁·期中）（1）证明三倍角公式sin3α=3（2）DS同学试着将π2−α代入第（1）小题中的公式，得到：sin3π2−α=3sinπ2−α−4sin【答案】（1）证明见解析；（2）cos【分析】（1）将3α表示成2α+α，再根据和角的正弦公式及二倍角正余弦公式展开即可得证；（2）将π2−α代入公式sin5α的表达式，再根据诱导公式sin【详解】（1）sin=2=2=2sin（2）将π2−α代入公式可得sin5π因为sin5π2所以cos5α=1614．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知sinα=−(1)求cosα+(2)求sin2α+【答案】(1)−(2)24+7【分析】（1）根据题意，求得cosα=−（2）由（1），求得sin2α=