2026年高一数学寒假自学课（沪教版）重难点突破04 三角函数中ωφ的取值及范围问题 （原卷版）

重难点突破04三角函数中ω，φ的取值及范围问题内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：必备知识1.核心三角函数形式常见解析式：、、（，），其中决定函数的周期与频率，核心关联：正弦/余弦型周期：；正切型周期：ω的符号影响：时，函数单调性与基本三角函数一致；时，单调性与基本三角函数相反（需利用诱导公式转化：，）2.各性质核心判定条件（含ω关联）值域：正弦/余弦型值域为，与ω无关；若含定义域限制（如），值域由的范围及单调性决定，ω影响范围缩放单调性：正弦函数增区间，减区间（），余弦函数增区间，减区间（），令，结合ω符号求原函数单调区间奇偶性：①奇函数：，正弦型需满足（），且定义域关于原点对称；②偶函数：，余弦型需满足（），且定义域关于原点对称；ω不直接决定奇偶性，但影响定义域对称性（含参数定义域时）最值：正弦/余弦型最值为，最值点对应（正弦）、（余弦）（），ω影响最值点的横坐标分布对称性：①对称轴：正弦型，余弦型（）；②对称中心：正弦型，余弦型，正切型（）3.关键前提结论复合函数单调性：“同增异减”（内层与外层三角函数单调性一致则增，相反则减）定义域优先原则：所有性质讨论均需在定义域内进行，含ω的定义域限制（如）会直接约束的范围，进而影响ω取值k的整数性：求ω范围时，需结合取整数解，确保范围精准知识点2：必备解法（按题型分类）1.值域与ω取值范围问题解法步骤：①确定函数解析式形式（正弦/余弦/正切）及定义域；②令，根据及符号，求出的取值范围（）或（）；③根据外层三角函数在上的值域要求，列不等式求解ω；④验证ω符号对值域的影响，整合取值范围核心技巧：当ω正负未知时，需分和讨论，避免漏解2.单调性与ω最值/取值范围问题解法步骤：①明确原函数的单调区间要求（如“在上单调递增”）；②令，求内层函数的单调性（时增，时减）；③根据“同增异减”原则，匹配外层三角函数的单调区间，列出不等式组：（，需结合ω符号调整不等号方向）；④解不等式组，结合确定ω的初步范围；⑤若求最值，根据题目约束（如）筛选最优k值，得出ω最值核心技巧：优先假设（多数题目隐含），若未说明需分情况；单调区间的“包含关系”是关键（如函数在单调，则的范围需完全包含在外层函数的某一单调区间内）3.奇偶性与ω最值/取值范围问题解法步骤：①根据奇偶性定义，列出（奇函数）或（偶函数）的等式；②利用诱导公式化简等式，得出与k的关系（如奇函数需）；③结合定义域关于原点对称的要求，分析含ω的定义域限制（若有），列出关于ω的不等式；④解不等式，结合及题目约束（如）确定ω范围；⑤若求最值，筛选符合条件的k值，得出ω的最大/最小值核心技巧：无定义域限制时，ω仅受奇偶性推导的约束（间接影响）；有定义域限制时，需确保对所有x成立，进而约束ω4.最值与ω取值范围问题解法步骤：①明确最值类型（最大值/最小值）及对应的最值条件（如正弦型最大值需）；②根据定义域，求出的范围；③确保最值条件对应的值在内，列出不等式：（最大值）或（最小值）（）；④将的边界代入不等式，解出ω的范围；⑤结合等约束，整合最终范围核心技巧：若要求“在上取得最值”，则最值对应的值需落在内；若要求“仅在某点取得最值”，需结合单调性判断与最值点的唯一对应关系5.对称性与ω取值范围问题解法步骤：①明确对称性类型（对称轴/对称中心），写出对应的核心等式（如对称轴需，对称中心需）；②将对称轴或对称中心横坐标代入解析式，得（）；③若有定义域限制，需确保在定义域内，列出关于ω的不等式；④解等式与不等式，结合及等约束，确定ω的取值范围核心技巧：对称轴和对称中心的等式是“存在性”条件（存在k使等式成立），需通过k的整数性筛选ω的有效范围6.综合条件下与ω取值范围问题解法步骤：①梳理题目中的所有条件（如同时涉及单调性、对称性、最值）；②对每个条件单独应用对应解法，得出ω的初步范围；③求所有初步范围的交集；④结合、等约束，最终确定ω的取值范围核心技巧：优先处理约束性强的条件（如最值条件通常比单调性条件更严格），减少讨论范围；每一步范围推导后标注约束条件，避免遗漏知识点3：常见误区1.忽略ω的符号影响误区：默认，未考虑的情况，导致漏解；或在单调性、值域问题中，未根据ω符号调整不等号方向/范围顺序；示例：求的增区间时，未转化为，直接套用正弦函数增区间，得出错误结果；规避：若题目未明确，必须分和讨论；处理的范围时，严格根据ω符号确定区间端点的大小关系2.单调区间的包含关系理解错误误区：将“函数在上单调”等同于“是单调区间的子集”，错误列出不等式（如将写成）；或未考虑的多解性，仅取k=0导致范围过窄；示例：求时在上单调递增的ω范围，错误列出（未加）；规避：明确“单调区间包含”要求，严格套用“区间端点≥外层单调区间左端点+2kπ，区间端点≤外层单调区间右端点+2kπ”的不等式组；结合k的整数性，筛选符合ω约束（如）的所有可能k值3.忽略定义域优先原则误区：讨论奇偶性、值域时，未先判断定义域是否关于原点对称/是否有范围限制，直接套用性质公式；示例：求在上为奇函数的ω范围，未发现定义域不关于原点对称，仍盲目推导；规避：所有性质讨论前，先明确定义域，若定义域含参数ω，需先确保定义域满足性质的前提（如奇偶性需关于原点对称，单调性需在定义域内）4.混淆“存在性”与“恒成立”条件误区：将“存在x使函数取得最值”（存在性）与“对任意x函数单调”（恒成立）的条件混淆，列出错误不等式；示例：求在上存在最大值的ω范围，错误套用单调区间的恒成立不等式；规避：明确条件类型：①恒成立（如单调、全程值域）：需的范围完全包含在外层函数的对应区间内；②存在性（如存在最值、存在对称轴）：只需的范围与外层函数的对应条件区间有交集5.未结合k的整数性筛选范围误区：解出含k的ω范围后，未根据及题目约束（如）筛选有效k值，导致范围包含无效解；示例：求ω>0时的对称轴过点的ω范围，解出后，未筛选k为正整数的情况；规避：解出含k的ω表达式后，结合、ω为整数（若题目要求）等约束，确定k的取值集合，再代入得出ω的具体范围6.正切函数的周期与定义域错误误区：将正切函数的周期错记为，或忽略正切函数定义域（）；示例：求在上单调递增的ω范围，未排除在内的情况；规避：牢记正切函数周期，讨论单调性、值域时，需确保的范围不包含（）【题型1单调性奇偶性周期性对称性综合性质求ω，φ例1．已知函数f(x)=sinωx+π4（ω>0）的最小正周期T满足3π4<T<例2．已知函数f(x)=sinωx−2cosωx(ω>0)，且f(α+x)=f(α−x).若两个不等的实数x1,x2满足f(x变式1．已知函数fx=sinωx+π4+bω>0的最小正周期T满足2变式2．已知函数fx=asinωx+2sinωx+π3+b的图象的相邻两个对称轴之间的距离为π2，且∀x∈R，fx【题型2由区间值域/最值求ω，φ例1．已知函数fx=sinaxa>0在−A．34 B．32 C．2例2．已知fx=sinωx−π6−1(1)求函数fx(2)当x∈0,π时，求函数(3)若函数fx在区间−π12,a的值域为变式1．已知fx=Acosωx+φ（A>0，ω>0，0<φ<π2），其图象经过点0,92，若存在x1，x2∈π3变式2．已知函数fx=cosωx+π3ω>0，若对于∀x∈A．12 B．1 C．2 D．【题型3由单调性求ω，φ例1．设函数f(x)=7sinωx+π6(ω>0)在区间0,A．13 B．23 C．1例2．若对任意的φ∈0,π4，函数fx=sinωx+φ变式1．已知函数fx=3cos(ωx+π3变式2．若函数fx=cosx−asinx（a>0），在A．12 B．1 C．2 【题型4由奇偶性求ω，φ例1．将函数f(x)=2sinωx−π6(ω>0)的图像向右平移π4个单位长度后得到奇函数A．13 B．103 C．1例2．已知函数fx(1)求fx(2)若函数y=fx+a为偶函数，其中a>0，求a变式1．已知函数fx(1)求函数fx(2)当x∈0,π2(3)若函数gx=fx+φ变式2．已知函数fx=5cos2x+φA．π12 B．π6 C．π3【题型5由对称性求ω，φ例1．已知函数fx=2sin(2x+φ)|φ|<π2，且对任意A．−π4 B．π4 C．−例2．将函数fx=3sin2x+cos2x的图象向左平移φφ>0个单位长度后得到函数gx的图象.若fA．π12 B．5π12 C．π变式1．将函数fx=cos2x+π6的图像向左平移A．−33 B．33 C．−变式2．已知函数fx=cosωx+π3ω>0的图像向左平移π3个单位后，得到gx的图像，若fA．4 B．8 C．23 D．【题型6由最值个数求ω，φ例1．已知函数fx=Acosωx+π6（A>0,ω>0），若f(x)在区间0,2π上有且仅有4A．53,2312 B．1112,例2．若函数fx=cos3x+φ(0<φ<π)变式1．已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2的图象过点0,1，且变式2．若函数fx=sin2x+φ在−φ【题型7由综合性质求ω，φ例1．已知函数fx=sinωx+π3ω>0在区间−A．12,1 B．23,1 C．例2．已知函数fx=sinωx+φ（ω>0），φ≤π2， ∀x∈R有fx−πA．11 B．9 C．7 D．5变式1．已知函数fx=cosωx+φω>0满足f2π3=0,f变式2．设fx=sin2x+2φ−π6,gx=fωx+π6，其中【题型8由零点问题/根的问题求ω，φ例1．已知函数fx=cosωx+cosωx+π3ω>0，若曲线y=f例2．设ω∈(0,92)，若在区间[π,2π)上存在唯一的a和唯一的b，使变式1．已知函数fx=3sin2ωx−cos2ωx(ω>0).变式2．已知函数fx=3sinωx−π6+32cosωx(ω>0)【题型9由图像的变换综合性质求ω，φ例1．将函数f(x)=tanωx+π3(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数的图象与曲线例2．将函数f(x)=cosx+2π3图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到g(x)的图象，若g(x)在区间0,变式1．将函数fx=cosx−5π2的图象上所有点的横坐标变为原来的1ωω>0倍，纵坐标不变，得到函数g变式2．已知函数fx=sinωπxω>0，将fx的图象向右平移13ω个单位长度后得到函数gx的图象，点A,B,C是【题型10由三角函数的综合性质求其他参数的范围】例1．将函数fx=2sin2x的图象向左平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，若y=gx在例2．已知函数fx=sinωx+φ−1（ω>0，0<φ<(1)求函数fx(2)若对任意x∈0,π3，f(3)若函数hx=2fx+3的图象在区间a,b（a，b∈R且a<b变式1．已知函数fx(1)求函数gx=f(2)若函数fx在区间−m,m上有4个零点，求实数m变式2．如图，是函数fx=Asinωx+φ（A>0，(1)求函数fx(2)函数g(x)=fx−1在区间−π(3)若关于x的方程f2x4+2asin一、核心基础（必记核心）1.核心形式三角函数的标准解析式：（其中，）2.ω的核心作用决定周期：正弦/余弦型周期：；正切型周期：影响单调性：时，与基本三角函数“同增同减”；时，单调性与基本三角函数相反3.必备性质关联值域/最值：与的取值范围直接相关奇偶性：需满足“定义域关于原点对称”+的约束（如奇函数需）对称性：对应或（）二、核心题型1.值域与ω的取值范围2.单调性与ω的最值/取值范围3.奇偶性与ω的最值/取值范围4.最值与ω的取值范围5.对称性与ω的取值范围6.综合条件（多性质叠加）与ω的取值范围三、方法精髓（通用解题逻辑）1.换元转化：令，将问题转化为“外层三角函数在的范围上的性质问题”2.符号讨论：正负未知时，分、两类讨论，避免漏解3.条件匹配：根据性质要求（单调/对称/最值），列出的范围不等式，反解ω4.k值筛选：结合、等约束，筛选出ω的有效范围四、记忆要点（易错+速记）1.易错警示勿忽略的符号对单调性、范围的影响勿遗漏“定义域优先”原则（如奇偶性需定义域对称）勿混淆“恒成立（范围包含）”与“存在性（范围交集）”条件2.速记口诀换元转化→符号讨论→条件匹配→k值筛选一、单选题1．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0,ω>0,−π2<φ<π2）的导函数f'(x)A．0,π6 B．0,π3 C．2．已知π2是fx=sinωx+cosA．4 B．8 C．12 D．163．将函数fx=3sin2x+φ+1的图象向右平移π6个单位长度得到函数gxA．π6 B．2π3 C．−4．已知函数fx=sinωx+3cosωxω>0，若fπA．1 B．4 C．7 D．115．若函数fx=1−cos2x+φ+3A．−π2,π12 B．−π6．将函数f(x)=cosωx+π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间A．2 B．3 C．4 D．57．设函数fx=cosωx+φ（ω，φ为常数，ω>0，0<φ<π），若函数fx