苏科版八年级数学下册 第9章 中心对称图形-平行四边形同步练习（提高篇）（含解析）

第9章中心对称图形——平行四边形（提高篇）一、单选题1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（）A． B． C． D．3．如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论一定正确的是（）A． B．C． D．4．如图，在中，，，，分别为，的中点，，那么对角线的长度是（

）A． B． C． D．5．下列命题正确的是（

）A．平行四边形的对角线互相垂直平分 B．矩形的对角线互相垂直平分C．菱形的对角线互相平分且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分6．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是（）A．∠HGF=∠GHE B．∠GHE=∠HEF C．∠HEF=∠EFG D．∠HGF=∠HEF7．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（）A．15° B．35° C．45° D．55°8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（

）A． B． C． D．9．如图，正方形，，，…照如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，已知点，，则的坐标是（）A． B． C． D．10．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题11．点关于原点对称的点的坐标为______．12．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，，则GH的长为________．13．如图，在矩形中，E为的中点，连接，过点E作的垂线交于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知，，则_________．14．如图，矩形中，，点E在射线上运动，连接，将沿翻折得到，当点F落在直线上时，线段的长为___________．15．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，若，四边形的面积为40．则______．16．如图，将□ABCD绕点A顺时针旋转，其中点B，C，D分别落在点E，F，G处，且点B，E，D，F在同一直线上．若∠CBA=115°，则∠CBD的度数为______．17．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________18．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．三、解答题19．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作关于点对称的；（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．20．如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．(1)求证：∠ACB＝∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．21．如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段．（1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由；（2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积．22．如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．23．已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．24．如图，在巾，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．(1)当时，___________；(2)探究与之间的数量关系，并给出证明；(3)设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．

参考答案1．B【分析】根据中心对称图形的定义，即旋转能够完全重合的图形是中心对称图形判断即可；解：是轴对称图形，故A不符合题意；是中心对称图形，故B符合题意；是轴对称图形，故C不符合题意；是轴对称图形，故D不符合题意；故选B．【点拨】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，准确分析判断是解题的关键．2．C【分析】利用基本作图得到AE平分∠BAD，则可对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AD=BC，CD∥AB，再证明∠DEA=∠DAE，所以DA=DE=CD，则可对B、D选项进行判断；由于不能确定DE=BE，则可对C选项进行判断．解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意；∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，CD∥AB，∴∠BAE=∠DEA，∴∠DEA=∠DAE，∴DA=DE，所以B选项不符合题意，∴CD=DE，所以D选项不符合题意，不能确定DE=BE，所以C选项符合题意．故选：C．【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．3．C【分析】根据等腰三角形的性质和旋转的性质逐项判断即可．解：∵绕点A逆时针旋转得到，，∴，，，A、∵，，，∴，故选项A结论错误，不符合题意；B、当为等边三角形时，，则，故选项B结论错误，不符合题意；C、∵，∴，∵，，∴，又，∴，故选项C正确，符合题意；D、∵，但不一定平分，∴与不一定垂直，故选项D结论错误，不符合题意，故选：C．【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，解答的关键是由旋转性质得到相等的线段和相等的角，再结合其它数学知识对选项中的结论进行判断．4．D【分析】先连接DE；然后利用平行四边形及等边三角形的性质解答．解：连接DE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∵DF＝CD，AE＝AB，∴DF平行且等于AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∴EF＝AD＝1cm，∵AB＝2AD，∴AB＝2cm，∵AB＝2AD，AB＝2AE，∴AD＝AE，∴∠1＝∠4，∵∠A＝60°，∠1＋∠4＋∠A＝180°，∴∠1＝∠A＝∠4＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AE，∵AE＝BE，∴DE＝BE，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2＋∠3，∠1＝60°，∴∠2＝∠3＝30°，∴∠ADB＝∠3＋∠4＝90°，∴（cm），故D正确．故选：D．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，比较复杂，综合性较强，解答此题的关键是构造平行四边形，用平行四边形及等边三角形的性质，直角三角形的性质解答．5．D解：【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质逐项进行判断即可得.解：A、平行四边形的对角线互相平分，故A选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，故C选项错误；D、正方形的对角线互相垂直平分，故D选项正确，故选D.【点拨】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关对角线的性质，熟练掌握是解题的关键.6．D【分析】利用三角形中位线定理证明四边形HEFG是平行四边形，进而可以得到结论．解：连接BD，AC∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴HE=GF=BD，HE∥GF，同理可证明HG=EF=AC.∵四边形ABCD为梯形，AD=BC∴四边形ABCD为等腰梯形，∴AC=BD,∴HG=EF=AD=BC∴四边形HEFG是菱形，∵菱形的对角相等，邻角互补，∴∠HGF=∠HEF，故选D．7．C【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠DAE=150°，∠AED=15°，再求∠BED．解：在正方形中，，，在等边中，，，在中，，，所以，，所以．故选C．【点拨】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠AED=15°．8．D解：试题分析：如图，连接BF，已知BC=6，点E为BC的中点，可得BE=3，根据勾股定理求得AE=5，根据三角形的面积公式求出BH=，即可得BF=，因FE=BE=EC，可得∠BFC=90°，再由勾股定理可得CF=．故答案选D．考点：翻折变换；矩形的性质；勾股定理.9．D【分析】从序号与横坐标的规律，序号与纵坐标的规律，两个方向去探索，最后整合起来就是坐标的规律．解：因为的横坐标为，的横坐标为，所以的横坐标为；因为的纵坐标为，的纵坐标为，所以的纵坐标为；所以的坐标是，故选D．【点拨】本题考查了图形中的数字规律，正确掌握探解规律的基本方法是解题的关键．10．B【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．解：如图，设与的交点为，根据作图可得，且平分，，四边形是矩形，，，又，，，，，四边形是平行四边形，垂直平分，，四边形是菱形，故①正确；②，，∠AFB＝2∠ACB；故②正确；③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确，④四边形是矩形，，若AF平分∠BAC，，则，，，，，，，CF＝2BF．故④正确；故选B【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．11．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案．解：点关于原点对称的点坐标是．故答案为：【点拨】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．12．3【分析】根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质，即可求解．解：∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，又∵点F是BE的中点，，∴BE=2AF=6，∵G，H分别是BC，CE的中点，∴GH是的中位线，∴GH=BE=×6=3，故答案是：3．【点拨】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，是解题的关键．13．【分析】由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG，，利用等腰三角形的性质，求出，然后得到AB=CD=，则，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的长度，即可求出FE的长度．解：根据题意，在矩形中，则AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，∵E为的中点，∴AE=DE，∵∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG，∴EF=EG，；∵CE⊥FG，∴，∴AB=CD=，∴，在直角△BCF中，由勾股定理则，∴AD=3，∴，在直角△AEF中，由勾股定理则；故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到．14．6或【分析】分两种情况∶点F在点D的右侧；点F在点D的左侧，分别求解即可．解：解∶∵四边形ABCD是矩形，AB=5，BC=4，∴CD=AB=5，AD=BC=4，∠BCD=∠CDA=90°，∵沿翻折得到，∴△AEF≌△AEB，∴AF=AB=5，EF=BE，①当点F在点D的右侧时，如图，在Rt△ADF中，由勾股定理得，∴CF=CD-DF=2，设CE=x，则EF=BE=BC-CE=4-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得，即，∴，②当点F在点D的左侧时，如图，在Rt△ADF中，由勾股定理得，∴CF=CD+DF=8，设CE=x，则EF=BE=BC+CE=4+x，在Rt△CEF中，由勾股定理得，即，∴x=6，综上所述，线段的长为6或．【点拨】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理以及分类讨论思想等知识，掌握相关知识并能熟练运用是解题的关键．15．10【分析】由是的中点及，可证明△ADE≌△DCE，则可得AF=CD，再由D是BC的中点，可得四边形ADBF是平行四边形，则可得△ABF与△ABD的面积相等，再由三角形中线平分三角形面积，易得△ABC面积等于四边形ADBF的面积，则由三角形面积公式即可求得AC的长．解：∵是的中点，∴AE=DE，∵，∴∠FAE=∠CDE∵∠AEF=∠DEC，∴△ADE≌△DCE(ASA)，∴AF=CD．∵D是BC的中点，∴AD是斜边BC上的中线，∴BD=CD=AD，，∴AF=BD，∵AF∥BC，∴四边形ADBF是平行四边形，∴AD=BF，∵AB=AB，AF=BD，∴△ABF≌△ABD(SSS)，∴．∴，即，∴，∴AC=10．故答案为：10．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，判定四边形ADBF是平行四边形，进而得到它的面积等于△ABC的面积是解题的关键．16．【分析】由旋转的性质得，，由等腰三角形的性质得出，则．解：∵□ABCD绕点A顺时针旋转到□AEFG的位置，∴，，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等，找出旋转前后的对应线段、对应角是解题的关键．17．【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．解：如图：连接AE、AF、EN，四边形ABCD是正方形设AB=BC=CD=AD=a，，在与中，，，是等腰三角形，又，垂直平分EF，，又，，在中，，，解得a=20，，，在中，，，故答案为：．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键．18．##【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB==，∴OA=，∴点O关于AB的对称点F，∴OF⊥AB，OG=FG，∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∴∠AEC=∠CAE，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF=,∴PO+PE最小值=．故答案为：．【点拨】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF的长是解题的关键．19．（1）见分析；（2）见分析．【分析】（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点，，，然后顺次连接即可得；（2）计算得出AB=，AC=5，再根据旋转作图即可．解：（1）如图1所示；（2）根据勾股定理可计算出AB=，AC=5，再作图，如图2所示．【点拨】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．20．(1)见分析 (2)四边形BFEC是平行四边形【分析】（1）证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，则BC∥EF，再由平行四边形的判定即可得出结论．（1）证明：∵AF=CD，∴AF＋CF=CD＋CF，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，△ABC≌△DEF（SSS）（2）如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由（1）可知，∠ACB=∠DFE，∴BCEF，又∶BC=EF，四边形BFEC是平行四边形．【点拨】本题考查了平行网边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．21．（1）点在直线上，见分析；（2）18【分析】（1）根据，，得到，可得线段逆时针旋转落在直线上，即可得解；（2）作于，得出，再根据平行线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可；解：（1）结论：点在直线上；∵，，∴，∴，即．∴线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上．（2）作于，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，即以、为邻边的正方形面积．【点拨】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键．22．(1)见分析 (2)四边形是菱形．理由见分析【分析】（1）证△ABO≌△DEO（AAS），得OB=OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得AB=CD，再证AB=BD，然后由菱形的判定即可得出结论．解：（1）证明：∵四边形是平行四边形∴∴∵点O是的中点∴在和中∴（AAS）∴∴四边形是平行四边形（2）四边形是菱形.理由：∵四边形是平行四边形∴∵∴∵四边形是平行四边形∴四边形是菱形【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．23．(1)见分析 (2)大小不变，理由见分析 (3)，证明见分析【分析】（1）连接BD，由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD，继而得出，便可证明；（2）连接PB，过点P作交AB于点E，PF⊥AB于点F，可证明是