苏科新版九年级下册数学第7章锐角三角函数单元测试卷【含答案】

苏科新版九年级下册数学第7章锐角三角函数单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为（）A．3 B． C． D．2．在直角三角形中各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（）A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．不能确定3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A．扩大2倍 B．缩小 C．不变 D．无法确定4．下列等式中正确的是（）A．sin20°+sin40°＝sin60° B．cos20°+cos40°＝cos60° C．sin（90°﹣40°）＝cos40° D．cos（90°﹣30°）＝sin60°5．已知A为锐角，且cosA≤，那么（）A．0°≤A≤60° B．60°≤A＜90° C．0°＜A≤30° D．30°≤A＜90°6．tan30°的值等于（）A． B． C． D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinA＝（）A． B． C． D．8．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A． B．1 C． D．9．已知tanα＝，则锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值为（）A． B． C． D．二．填空题（共10小题，满分30分）11．如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα＝．12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为．13．比较大小：sin80°tan50°（填“＞”或“＜”）．14．在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，那么∠C的度数为°．15．如图，三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值等于．16．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．17．已知sinα＝，则tanα＝．18．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为．19．在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若BD＝6，CD＝3，则sin∠DBA＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，tanA＝，BC＝6，求AC的长和sinA的值．23．如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．（2）若cos∠C＝，DF＝3，求⊙O的半径．24．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）若∠α＝45°，则sinαcosα；若∠α＜45°，则sinαcosα；若∠α＞45°，则sinαcosα；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．25．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．（1）当α＝30°时，求x的值．（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝S△ABC时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．26．如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA．（1）证明：直线PB是⊙O的切线；（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；（3）求sin∠OPA的值．27．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．（1）求证：DC＝BC；（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，∴∠A的正切值为＝＝3，故选：A．2．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinA＝，cosA＝，∴Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，则sinA＝，cosA＝．故选：C．3．解：设Rt△ABC的三边长为a，b，c，则sinA＝，如果各边长都扩大5倍，∴sinA＝＝，故∠A的正弦值大小不变．故选：C．4．解：A、sin20°+sin40°≠sin60°，故错误；B、cos20°+cos40°≠cos60°，故错误；C、sin（90°﹣40°）＝sin50°＝cos40°，故正确；D、cos（90°﹣30°）＝cos60°，故错误．故选：C．5．解：∵cos60°＝，余弦函数值随角增大而减小，∴当cosA≤时，∠A≥60°．又∠A是锐角，∴60°≤A＜90°．故选：B．6．解：tan30°＝．故选：B．7．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sinA＝或﹣（舍去），∴sinA＝．故选：C．8．解：连接BC，由网格可得AB＝BC＝，AC＝，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，故选：B．9．解：∵tan30°＝，tan45°＝1，正切函数随角增大而增大，若tanα＝，则30°＜α＜45°．故选：B．10．解：cosB＝＝．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|＝5，则sina＝．12．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∴假设BC＝12x，AB＝13x，∴AC＝5x．∴tanB＝＝．故答案为：．13．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜1，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．14．解：∵|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，∴|sinA﹣|＝0，（1﹣tanB）2＝0，∴sinA﹣＝0，1﹣tanB＝0，∴sinA＝，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故答案为：105．15．解：如图，∠α的对边是3，邻边是4，∴tanα＝．16．解：过B作BE⊥OA于E，过O作OD⊥AB于D，设每一格的边长是1，则OB＝＝2，同理OA＝＝2，AB＝＝2，∴OA＝OB，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴OD＝＝3，∵S△AOB＝AB•OD＝OA•BE∴2×3＝2•BE，∴BE＝，在Rt△OBE中，OE＝＝，∴cos∠AOB＝＝．故答案是．17．解：如图：设∠A＝α，∵sinα＝，∴＝，设AB＝5x，BC＝3x，则AC＝＝4x，∴tanα＝＝．故答案为：．18．解：由图可知连接C、D两点，此时△DOC恰好构成直角三角形，设正方形网格的边长为1，则CD＝2，OD＝1，OC＝＝＝，由锐角三角函数的定义可知：sin∠AOB＝＝＝．故答案为：．19．解：∵直角三角形ABC中，角C为直角∴AB为斜边，BC是锐角∠A的对边，AC为锐角∠A的邻边，又∴锐角A的余弦表示锐角A的邻边与斜边的比，即cosA＝，∴余弦的定义为cosA＝；∵sin70°＝cos20°且余弦值在锐角范围内随角度的增大而减小，∴cos20°＞cos40°＞cos50°，∴sin70°＞cos40°＞cos50°，故答案为：cosA＝；sin70°＞cos40°＞cos50°．20．解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBA＝∠DBC．在Rt△BDC中，BD＝6，CD＝3，则sin∠DBA＝sin∠DBC＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：∵△ABC中，tanA＝，BC＝6，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sinA＝＝23．（1）证明：（方法一）连接AC．∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E，由垂径定理得，点E是CD的中点；又∵M是AD的中点，∴ME是△DAC的中位线，∴MN∥AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠MNB＝90°，即MN⊥BC；（方法二）∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠BEC＝90°．M是AD的中点，∴ME＝AM，即有∠MEA＝∠A．∵∠MEA＝∠BEN，∠C＝∠A，∴∠C＝∠BEN．又∵∠C+∠CBE＝90°，∴∠CBE+∠BEN＝90°，∴∠BNE＝90°，即MN⊥BC；（方法三）∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°．由于M是AD的中点，∴ME＝MD，即有∠MED＝∠EDM．又∵∠CBE与∠EDA同对，∴∠CBE＝∠EDA．∵∠MED＝∠NEC，∴∠NEC＝∠CBE．∵∠C+∠CBE＝90°，∴∠NEC+∠C＝90°，即有∠CNE＝90°，即MN⊥BC．（2）解：连接BD．∵∠BCD与∠BAF同对，∴∠C＝∠A，∴cosA＝cosC＝．∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°．在Rt△ABF中，cosA＝＝，设AB＝4x，则AF＝5x，由勾股定理得：BF＝3x．∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴△ABF∽△BDF，∴，即，x＝．∴直径AB＝4x＝4×，则⊙O的半径为．24．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而＞＞．∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，∵AB3＜AB2＜AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．25．解：（1）∵∠A＝a＝30°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠BCD＝60°．∴AD＝BD＝BC＝1．∴x＝1；（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝∠CBE＝30°．∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，∠ACD＝∠BCE，∴△ADC∽△BEC，∴＝，∴BE＝x．∵BD＝2﹣x，∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）（3）∵s＝s△ABC∴﹣+＝，∴4x2﹣8x+3＝0，∴，．①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．∴DE＝＝．∵DE∥A′B′，∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．∴EC＝DE＝＞BE，∴此时⊙E与A′C相离．过D作DF⊥AC于F，则，．∴．∴．（12分）②当时，，．∴，∴，∴此时⊙E与A'C相交．同理可求出．26．（1）证明：连接OB．∵BC∥OP，∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB，∴∠POA＝∠POB，又∵PO＝PO，OB＝OA，∴△POB≌△POA．∴∠PBO＝∠PAO＝90°．∴PB是⊙O的切线．（2）解：2PO＝3BC．（写PO＝BC亦可）证明：∵△POB≌△POA，∴PB＝PA．∵BD＝2PA，∴BD＝2PB．∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO．∴，∴2PO＝3BC．