2026届浙江省杭州市杭州市第四中学数学高一下期末检测试题含解析

2026届浙江省杭州市杭州市第四中学数学高一下期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，正四面体，是棱上的动点，设（），分别记与，所成角为，，则（）A． B． C．当时， D．当时，2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A．39 B．20 C．19.5 D．333．如图，是圆的直径，点是半圆弧的两个三等分点，，，则（）A． B． C． D．4．法国学者贝特朗发现，在研究事件A“在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长3”的概率的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的的不同理解，事件A的概率PA存在不同的容案该问题被称为贝特朗悖论现给出种解释：若固定弦的一个端点,另个端点在圆周上随机选取，则PA．12 B．13 C．15．设α,β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在钝角中，角的对边分别是，若，则的面积为A． B． C． D．7．在0°到360°范围内，与角－130°终边相同的角是（）A．50° B．130° C．170° D．230°8．已知函数，则A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）为偶函数C．f（x）的图象关于对称 D．为奇函数9．已知直线经过，两点，则直线的斜率为A． B． C． D．10．某几何体的三视图如下图所示（单位：cm）则该几何体的表面积（单位：）是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．P是棱长为4的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点A到点P的最短路程是_______.12．不等式的解为_______．13．在数列中，已知，，记为数列的前项和，则_________.14．若数列{an}满足a1=2，a15．若存在实数，使不等式成立，则的取值范围是_______________.16．若复数z满足z⋅2i=z2+1（其中i三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于，两点，点.（1）若点，求的值：（2）若，求.18．已知公差不为0的等差数列{an}满足a3=9，a（1）求{a（2）设数列{bn}满足bn=1n(19．已知对任意，恒成立（其中），求的最大值.20．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面平面是的中点.（1）求证：平面；（2）若，证明：21．某制造商3月生产了一批乒乓球，从中随机抽样133个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据分组如下：分组

频数

频率

[1．95,1．97）

13

[1．97,1．99）

23

[1．99,2．31）

53

[2．31,2．33]

23

合计

133

（Ⅰ）请在上表中补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在图中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为2．33mm，试求这批球的直径误差不超过3．33mm的概率；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值（例如区间[1．99,2．31）的中点值是2．33作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】作交于时，为正三角形，，是与成的角，根据等腰三角形的性质，作交于，同理可得，当时，，故选D．2、D【解析】

根据等差数列的通项公式，纵向观察三个式子的项的脚标关系，可巧解.【详解】由等差数列得：所以同理：故选D.【点睛】本题考查等差数列通项公式，关键纵向观察出脚标的特殊关系更妙，属于中档题.3、A【解析】

连接，证得，结合向量减法运算，求得.【详解】连接，由于是半圆弧的两个三等分点，所以，所以是等边三角形，所以，所以四边形是菱形，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查向量相等的概念，考查向量减法的运算，属于基础题.4、B【解析】

由几何概型中的角度型得：P(A)=2π【详解】设固定弦的一个端点为A，则另一个端点在圆周上BC劣弧上随机选取即可满足题意，则P（A）=2π故选：B．【点睛】本题考查了几何概型中的角度型，属于基础题．5、A【解析】试题分析：当满足l⊂α,l⊥β时可得到α⊥β成立，反之，当l⊂α,α⊥β时，l与β可能相交，可能平行，因此前者是后者的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件点评：命题：若p则q是真命题，则p是q的充分条件，q是p的必要条件6、A【解析】

根据已知求出b的值，再求三角形的面积.【详解】在中，，由余弦定理得：，即，解得：或.∵是钝角三角形，∴（此时为直角三角形舍去）.∴的面积为.故选A.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7、D【解析】

先表示与角－130°终边相同的角，再在0°到360°范围内确定具体角，最后作选择.【详解】因为与角－130°终边相同的角为，所以，因此选D.【点睛】本题考查终边相同的角，考查基本分析判断能力，属基本题.8、C【解析】对于函数，它的最小正周期为=4π，故A选项错误；函数f（x）不满足f（–x）=f（x），故f（x）不是偶函数，故B选项错误；令x=，可得f（x）=sin0=0，故f（x）的图象关于对称，C正确；由于f（x–）=sin（x–）=–sin（x）=–cos（x）为偶函数，故D选项错误，故选C．9、C【解析】

由两点法求斜率的公式可直接计算斜率值．【详解】直线经过，两点，直线的斜率为.【点睛】本题考查用两点法求直线斜率，属于基础题．10、C【解析】

通过三视图的观察可得到该几何体是由一个圆锥加一个圆柱得到的，表面积由一个圆锥的表面积和一个圆柱的侧面积组成【详解】圆柱的侧面积为，圆锥的表面积为，其中，，。选C【点睛】几何体的表面积一定要看清楚哪些面存在，哪些面不存在二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

从图形可以看出图形的展开方式有二，一是以底棱BC，CD为轴，可以看到此两种方式是对称的，所得结果一样，另外一种是以侧棱为轴展开，即以BB1，DD1为轴展开，此两种方式对称，求得结果一样，故解题时选择以BC为轴展开与BB1为轴展开两种方式验证即可【详解】由题意，若以BC为轴展开，则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为4，6，故两点之间的距离是若以BB1为轴展开，则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，8，故两点之间的距离是故沿正方体表面从点A到点P的最短路程是cm故答案为【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，求解的关键是能够根据题意把求几何体表面上两点距离问题转移到平面中来求12、【解析】

把不等式转化为，即可求解．【详解】由题意，不等式，等价于，解得．即不等式的解为故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13、【解析】

根据数列的递推公式求出该数列的前几项，找出数列的周期性，从而求出数列的前项和的值.【详解】对任意的，，.则，，，，，，所以，.，且，，故答案为：.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查数列周期性的应用，解题时要结合递推公式求出数列的前若干项，找出数列的规律，考查推理能力和计算能力，属于中等题.14、2×【解析】

判断数列是等比数列，然后求出通项公式．【详解】数列{an}中，a可得数列是等比数列，等比为3，an故答案为：2×3【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查计算能力．15、；【解析】

不等式转化为，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【详解】由题意存在，使得不等式成立，当时，，其最小值为，∴．故答案为．【点睛】本题考查不等式能成立问题，解题关键是把问题转化为求函数的最值．不等式能成立与不等式恒成立问题的转化区别：在定义域上，不等式恒成立，则，不等式能成立，则，不等式恒成立，则，不等式能成立，则．转化时要注意是求最大值还是求最小值．16、1【解析】设z=a+bi,a,b∈R，则由z⋅2则-2b=a2+b2+12a=0三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

（1）根据计算，，代入公式得到答案.（2）根据,得到，根据计算得到答案.【详解】解：（1）因为是锐角，且，在单位圆上，所以，，，∴（2）因为，所以，且，所以，，可得：，且，所以，.【点睛】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生对于三角函数定义的理解和应用.18、（1）an=4n-3【解析】

（1）根据条件列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项相消法求和．【详解】（1）设等差数列an的公差为d(d≠0)a1解得d=4或d=0（舍去），a1∴a（2）∵b∴S=1【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消进行数列求和的方法，属于基础题．19、的最大值为.【解析】试题分析：利用二倍角公式，利用换元法，将原不等式转化为二次不等式在区间上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出的最大值，但是在对时的情况下，主要对二次函数的对称轴是否在区间进行分类讨论，再将问题转化为的条件下，求的最大值，试题解析：由题意知，令，，则当，恒成立，开口向上，①当时，，不满足，恒成立，②当时，则必有（1）当对称轴时，即，也即时，有，则，，则，当，时，.当对称轴时，即，也即时，则必有，即，又由（1）知，则由于，故只需成立即可，问题转化为的条件下，求的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求的最大值.法一：（三角换元）把条件配方得：，，所以，；法二：（导数）令则即求函数的导数,椭圆的上半部分；法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：，当且仅当,即及时等号成立.即当时，最大值为2.综上可知.考点：1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式20、（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】

（1）首先取的中点，连接，.根据已知条件和三角形中位线定理得到，又因为四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判定即可证明.（2）首先连接，利用线面垂直的判定证明平面，再根据线面垂直的性质即可证明.【详解】（1）取的中点，连接，.因为分别为，的中点，所以.又因为，所以.所以四边形为平行四边形，.又因为平面，所以平面.（2）连接，因为，是的中点，所以.因为平面平面，，所以平面.又因为平面，所以.平面.平面，所以.【点睛】本题第一问考查线面平行的证明，第二问考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，属于中档题.21、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3．9；（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据公式：频率=频数÷样本容量可补充完成频率分布表，然