探索图形单元测试（含解析）（练习-中等生）2025-2026学年小学数学五年级下册同步分层 人教版

（中等生篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级同步个性化分层作业之探索图形练习卷一．选择题（共5小题）1．（2023秋•南京期中）一个表面涂色的大正方体的棱平均分成4份，3面涂色的小正方体有（）．A．4个 B．8个 C．12个 D．无数个2．（2022秋•杏花岭区期末）如图是由27个相同的小正方体拼成的大正方体，在它的6个面上都涂上红色．其中只有2个面涂上红色的小正方体有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．12个3．（2023春•达拉特旗期末）一个长方体木块，将六个面都涂成红色后，再分成1立方厘米的小正方体，六个面都没有颜色的有5块，原来这个长方体的体积是（）A．63立方厘米 B．54立方厘米 C．45立方厘米 D．5立方厘米4．（2022秋•南通月考）一个表面涂色的正方体被分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的有48个。原来正方体的棱长是（）厘米。A．4 B．6 C．8 D．125．（2021春•金溪县期末）将17个相同的小正方体拼成一个长方体，表面涂色。其中涂色面最多的小正方体，被涂了（）个面。A．5 B．3 C．2二．填空题（共5小题）6．（2024秋•洪泽区期中）一个长方体的长宽高都是整厘米数，它的表面涂满红色，把它切成棱长为1厘米的小正方体若干块后，发现其中没有涂色的有5块，那么，这个长方体的体积是立方厘米，其中两面涂色的小正方体有个．7．（2024秋•东台市期中）通常意义下的魔方，指三阶魔方（即6个面，每个面各有三行三列可活动的小方块），形状通常是正方体。现有一个表面涂色的魔方，其中只有一面涂色的小方块有24个，则这个魔方是阶魔方，这个魔方两面涂色的小方块有个。8．（2024秋•阜宁县期中）把一个棱长为8厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长为2厘米的小正方体，一共可以锯成块，其中两面涂色的正方体有块，一面涂色的正方体有块。9．（2024春•晋江市期末）把一个棱长为3厘米的正方体表面涂上红色，然后把它切成棱长为1厘米的小正方体，其中3面涂色的小正方体有个。10．（2023秋•修文县期末）把一些小正方体堆放在教室的角落里，如图．（1）这堆小正方体一共有个．（2）把露在外面的面都涂上红色，涂红色的面有个．三．判断题（共2小题）11．（2025春•临潼区期末）一个正方体，先在它每个面上涂上红色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体，如果两面涂色的小正方体有24个，那么这个正方体的体积是64立方厘米。（）12．（2022春•沽源县期末）如图，用27个小正方体摆成一个大正方体，在大正方体的表面涂色，一面涂色的小正方体有6个。四．应用题（共1小题）13．把棱长分别为2，4，6的三个正方体木块的表面都涂成黑色，然后把它们都锯成棱长为1的小正方体木块。在这些小木块中至少有1面涂黑的一共有多少个？五．解答题（共2小题）14．（2023春•闽侯县期中）如图是用棱长1cm的小正方体拼成的长方体甲。右图中①～⑥型号的长方形各有若干个，请在其中挑选适当的长方形，组成的长方体乙，使长方体乙的体积与长方体甲相等。（1）求长方体甲的体积。（2）若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有个，一面涂色的小正方体有个。（3）长方体乙的前后面你挑选号长方形，左右面你挑选号长方形，上下面你挑选号长方形。（4）拼成的长方体乙的棱长总和是cm。15．用A、B、C、D、E、F六种燃料去染下图的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有种不同的染色方案（旋转算不同方法）．

（中等生篇）2025-2026学年下学期小学数学人教版五年级同步个性化分层作业之探索图形练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）题号12345答案BDABA一．选择题（共5小题）1．（2023秋•南京期中）一个表面涂色的大正方体的棱平均分成4份，3面涂色的小正方体有（）．A．4个 B．8个 C．12个 D．无数个【考点】染色问题．【专题】传统应用题专题．【答案】B【分析】把大正方体的棱平均分成4份，则一共分成的小正方体个数为：4×4×4＝64个；根据只有一面涂色的小正方体在每个正方体的面上，只有2面涂色的小正方体在大正方体的棱长上（不包括8个顶点处的小正方体）3面三面涂色的小正方体都在顶点处，即可解答问题．【解答】解：三面涂色的在每个顶点处，共有8个；故选：B。【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．2．（2022秋•杏花岭区期末）如图是由27个相同的小正方体拼成的大正方体，在它的6个面上都涂上红色．其中只有2个面涂上红色的小正方体有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．12个【考点】染色问题．【专题】立体图形的认识与计算．【答案】D【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处．据此解答即可．【解答】解：27＝3×3×3两面涂红色的小正方体有：（3﹣2）×12＝1×12＝12（个）答：其中只有2个面涂上红色的小正方体有12个．故选：D。【点评】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上，一面有色的处在每个面的中间，无色的处在中心．3．（2023春•达拉特旗期末）一个长方体木块，将六个面都涂成红色后，再分成1立方厘米的小正方体，六个面都没有颜色的有5块，原来这个长方体的体积是（）A．63立方厘米 B．54立方厘米 C．45立方厘米 D．5立方厘米【考点】染色问题．【专题】立体图形的认识与计算．【答案】A【分析】根据长方体的切割特点可知，六个面都没有颜色的有5块都在长方体的内部，且是一字排列的，据此可以得出原长方体的长是5+2＝7厘米，宽和高都是1+2＝3厘米，再利用长方体的体积公式即可解答问题．【解答】解：根据题干分析可得，长方体的长是：5+2＝7（厘米），宽和高都是1+2＝3（厘米），则这个长方体的体积是：7×3×3＝63（立方厘米），答：长方体的体积是63立方厘米．故选：A。【点评】抓住涂色问题中，六个面都没涂色的小正方体都在长方体的内部，两面涂色的小正方体都在长方体的棱上，三面涂色的小正方体在长方体的八个顶点处，据此即可解答此类问题．4．（2022秋•南通月考）一个表面涂色的正方体被分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的有48个。原来正方体的棱长是（）厘米。A．4 B．6 C．8 D．12【考点】染色问题．【答案】B【分析】根据两面染色和棱长有关。即新棱长（棱长﹣2）×12。又知两面染色的有48个，可求得原正方体的棱长。【解答】解：48÷12+2＝4+2＝6（厘米）答：原来正方体的棱长是6厘米。故选：B。【点评】熟悉两面涂色的小正方体个数与原正方体的棱长有关的公式是解决本题的关键。5．（2021春•金溪县期末）将17个相同的小正方体拼成一个长方体，表面涂色。其中涂色面最多的小正方体，被涂了（）个面。A．5 B．3 C．2【考点】染色问题．【专题】综合判断题；空间观念；几何直观．【答案】A【分析】把17个相同的小正方体拼成一个长方体，只能把17个小正方体摆成一排，涂色最多的小正方体是两端的两个小正方体，被涂了5个面，据此解答。【解答】解：由图可知，将17个相同的小正方体拼成一个长方体，表面涂色。其中涂色面最多的小正方体，被涂了（5）个面。故选：A。【点评】确定小正方体的拼摆方法并观察两端的小正方体被涂色面的个数是解答题目的关键。二．填空题（共5小题）6．（2024秋•洪泽区期中）一个长方体的长宽高都是整厘米数，它的表面涂满红色，把它切成棱长为1厘米的小正方体若干块后，发现其中没有涂色的有5块，那么，这个长方体的体积是63立方厘米，其中两面涂色的小正方体有28个．【考点】染色问题．【专题】压轴题；代数方法；立体图形的认识与计算．【答案】见试题解答内容【分析】每个小正方体的棱长都是1厘米，由“其中没有涂色的小正方体有5块”可知这个长方体的长是7+2＝7厘米，宽和高都是1+2＝3厘米，由此根据长方体的体积＝长×宽×高可求得体积，因为两面涂色的小正方体都在大长方体的棱上，顶点除外，由此即可进行计算解决问题．【解答】解：原来长方体的体积为：（5+2）×（1+2）×（1+2）＝7×3×3＝63（立方厘米）两面涂色的小正方体有：（7﹣2）×4+（3﹣2）×4×2＝20+8＝28（个）答：这个长方体的体积是63立方厘米，其中两面涂色的小正方体有28个．故答案为：63，28．【点评】抓住长方体切割正方体的特点，以及表面没有涂色的正方体都在长方体的内部的特点即可解决问题．7．（2024秋•东台市期中）通常意义下的魔方，指三阶魔方（即6个面，每个面各有三行三列可活动的小方块），形状通常是正方体。现有一个表面涂色的魔方，其中只有一面涂色的小方块有24个，则这个魔方是四阶魔方，这个魔方两面涂色的小方块有24个。【考点】染色问题．【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．【答案】四；24。【分析】魔方有6个面且为正方体，24÷6＝4，4＝2×2，所以这是一个四阶魔方；求两面涂色的小方块有多少个，即一条棱上有2个小方块两面涂色，所以12×2＝24（个）小方块两面涂色。【解答】解：24÷6＝4（个）4＝2×22+2＝4（阶）（4﹣2）×12＝24（个）答：这个魔方是四阶魔方，这个魔方两面涂色的小方块有24个。故答案为：四；24。【点评】解答此题的关键是弄清位于什么位置的小正方体三面涂色，位于什么位置的小正方体两面涂色，位于什么位置的小正方体一面涂色，位于什么位置的小正方体没有涂色。8．（2024秋•阜宁县期中）把一个棱长为8厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长为2厘米的小正方体，一共可以锯成64块，其中两面涂色的正方体有24块，一面涂色的正方体有24块。【考点】染色问题．【专题】应用意识．【答案】64，24，24。【分析】因为8÷2＝4，所以大正方体每条棱长上都有4个小正方体，再根据正方体体积公式：V＝棱长×棱长×棱长，代入数值可以求出总共能锯成多少块小正方体；根据正方体特征可知：三面涂色的是每条棱顶点处的小正方体，在每条棱上，除去顶点处的正方体，剩下的就是两面涂色的，一面涂色的都在每个面上（除去棱长上的小正方体）；据此解答即可。【解答】解：8÷2＝4（个）能锯成块数：4×4×4＝64（块）因为在各棱处，除去顶点处的正方体，剩下的是两面涂色，所以两面涂色块数为：（4﹣2）×12＝2×12＝24（块）因为在每个面上，除去棱上的正方体都是一面涂色，所以一面涂色的有：（4﹣2）×（4﹣2）×6＝2×2×6＝4×6＝24（块）所以其中两面涂色的正方体有24块，一面涂色的正方体有24块。故答案为：64，24，24。【点评】本题主要考查了正方体表面涂色的问题，需要学生首先熟练掌握正方体的特征，其次要会结合正方体的特征知道表面涂色的规律。9．（2024春•晋江市期末）把一个棱长为3厘米的正方体表面涂上红色，然后把它切成棱长为1厘米的小正方体，其中3面涂色的小正方体有8个。【考点】染色问题．【专题】应用意识．【答案】8。【分析】把一个棱长为3厘米的正方体，切成若干个棱长为1厘米的小正方体，则每条大正方体棱长可以切3个小正方体，大正方体顶点处的小正方体三面涂色，除顶点外位于棱上的小正方体两面涂色，大正方体每个面中间部分的小正方体一面涂色，据此解答即可。【解答】解：正方体有8个顶点，三面涂色的小正方体在顶点，有8个。答：3面涂色的小正方体有8个。故答案为：8。【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。10．（2023秋•修文县期末）把一些小正方体堆放在教室的角落里，如图．（1）这堆小正方体一共有20个．（2）把露在外面的面都涂上红色，涂红色的面有30个．【考点】染色问题．【专题】压轴题；立体图形的认识与计算；空间观念．【答案】（1）20；（2）30。【分析】（1）从上到下分别有1、3、6、10，然后相加即可。（2）涂红色的面从上到下分别有3、6、9、12，然后相加即可。【解答】解：（1）1+3+6+10＝20（个）答：这堆小正方体一共有20个。（2）3+6+9+12＝30（个）答：涂红色的面有30个。故答案为：（1）20；（2）30。【点评】组合图形的计数实质上就是图形分类计数，要按顺序分类计数，防止遗漏。三．判断题（共2小题）11．（2025春•临潼区期末）一个正方体，先在它每个面上涂上红色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体，如果两面涂色的小正方体有24个，那么这个正方体的体积是64立方厘米。（√）【考点】染色问题．【专题】应用题；应用意识．【答案】√。【分析】如果一个大的正方体每条棱上有n个（n≥3）小正方体，则两面涂色的小正方体位于棱上，每条棱上有（n﹣2）个，共有（n﹣2）×12个。已知两面涂色的小正方体有24个，据此列出方程，求出大正方体每条棱上小正方体的个数，再根据正方体的体积公式V＝a3，求出大正方体的体积。【解答】解：设大正方体每条棱上有n个小正方体。（n﹣2）×12＝24n﹣2＝2n＝4正方体的体积：4×4×4＝64（立方厘米）这个正方体的体积是64立方厘米，所以原题说法正确。故答案为：√。【点评】本题考查了染色问题的灵活运用。12．（2022春•沽源县期末）如图，用27个小正方体摆成一个大正方体，在大正方体的表面涂色，一面涂色的小正方体有6个。√【考点】染色问题．【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．【答案】√【分析】因为有27个小正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，因为一面有颜色的在每个面的中间；据此解答即可。【解答】解：27＝3×3×3（3﹣2）×6＝1×6＝6（个）所以一面涂色的小正方体有6个，原题说法正确。故答案为：√。【点评】关键是熟悉正方体特征，正方体有六个面，每个面都是完全一样的正方形。四．应用题（共1小题）13．把棱长分别为2，4，6的三个正方体木块的表面都涂成黑色，然后把它们都锯成棱长为1的小正方体木块。在这些小木块中至少有1面涂黑的一共有多少个？【考点】染色问题．【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．【答案】48个。【分析】棱长分别为2，4，6的三个正方体木块的表面都涂成黑色，然后把它们都锯成棱长为1的小正方体木块；由于是2层，没有不涂色的，所以在这些小木块中至少有1面涂黑的个数是：2×4×6＝48（个），据此解答即可。【解答】解：2×4×6＝48（个）答：在这些小木块中至少有1面涂黑的一共有48个。【点评】此题考查了立方体的知识，注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。五．解答题（共2小题）14．（2023春•闽侯县期中）如图是用棱长1cm的小正方体拼成的长方体甲。右图中①～⑥型号的长方形各有若干个，请在其中挑选适当的长方形，组成的长方体乙，使长方体乙的体积与长方体甲相等。（1）求长方体甲的体积。（2）若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有8个，一面涂色的小正方体有10个。（3）长方体乙的前后面你挑选①号长方形，左右面你挑选④号长方形，上下面你挑选⑤号长方形。（4）拼成的长方体乙的棱长总和是44cm。【考点】染色问题；长方体和正方体的体积．【专题】综合题；几何直观．【答案】（1）36；（2）8，10；（3）①，④，⑤；（答案不唯一）（4）44厘米。【分析】（1）长方体的体积＝长×宽×高，据此解答即可；（2）三面涂色的为8个角上的正方体；一面涂色的为中间部分正方体，据此解答；（3）36＝6×3×2，据此选择拼成的长方形即可；（4）棱长总和＝（长+宽+高）×4，据此解答。【解答】解：（1）1×1×1＝1（立方厘米）3×3×4×1＝36×1＝36（立方厘米）答：长方体甲的体积是36立方厘米。（2）2×4+2＝10（个）答：若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有8个，一面涂色的小正方体有10个。（3）如图，长方体乙的前后面我挑选①号长方形，左右面你挑选④号长方形，上下面你挑选⑤号长方形。（答案不唯一）（4）（6+3+2）×4＝11×4＝44（厘米）答：拼成的长方体乙的棱长总和是44厘米。【点评】本题主要考查了长方体的体积、棱长总和的求解方法，以及染色问题的灵活应用。15．用A、B、C、D、E、F六种燃料去染下图的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有488160种不同的染色方案（旋转算不同方法）．【考点】染色问题．【答案】见试题解答内容【分析】由于有两个调色盘，先在两个调色盘中选一个，则在这个调色盘里有6×5×4×3×2×1＝720种染法，再看另外一个调色盘，相邻的四种颜色重复分为4个重复，5个重复和6个重复，但由于5个重复6个就必然重复，所以只要分4和6两种就行了．4种颜色重复有6种情况，6种颜色重复只有1种．每种情况经旋转可变出6种．所以共有6×5×4×3×2×1﹣1×6﹣6×6＝678．总共有678×720＝488160种．【解答】解：在一个调色盘里有6×5×4×3×2×1＝720种染法；再看另外一个调色盘，相邻的四种颜色重复分为4个重复，5个重复和6个重复，由于5个重复6个就必然重复，所以只要分4和6两种就行了．4种颜色重复有6种情况，6种颜色重复只有1种，每种情况经旋转可变出6种；所以共有6×5×4×3×2×1﹣1×6﹣6×6＝678，所以总共有678×720＝488160种．故答案为：488160．【点评】完成本题要在了解简单的排列组合知识的基础上完成．

考点卡片1．长方体和正方体的体积【知识点