人教版初中数学不等式与不等式组知识点及习题总汇-

不等式与不等式组是初中数学代数部分的重要内容，它不仅是一元一次方程知识的延伸，也是解决实际生活中不等关系问题的有力工具。掌握这部分知识，需要理解不等式的基本概念，熟练运用不等式的性质，以及掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，并能将其应用于实际问题的解决。本文将对这部分内容进行系统梳理，并配以典型习题，帮助同学们巩固提升。一、不等式的基本概念与性质（一）不等式的定义用不等号（“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”）表示大小关系或不等关系的式子，叫做不等式。例如：`3>2`，`x+1<5`，`a≥0`等。注意：“≥”读作“大于或等于”，意味着“不小于”；“≤”读作“小于或等于”，意味着“不大于”。（二）不等式的基本性质不等式的基本性质是解不等式的理论依据，务必深刻理解和熟练掌握。1.性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。如果`a>b`，那么`a±c>b±c`。（类比：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。）2.性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。如果`a>b`，且`c>0`，那么`ac>bc`（或`a/c>b/c`）。（类比：等式两边乘（或除以）同一个不为0的数，结果仍相等。）3.性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。如果`a>b`，且`c<0`，那么`ac<bc`（或`a/c<b/c`）。（这是不等式与等式的重要区别，也是同学们极易出错的地方，需要特别注意。）温馨提示：在应用不等式性质时，特别是性质3，一定要先判断两边所乘（或除以）的数的正负性，再决定是否改变不等号的方向。（三）一元一次不等式的定义含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。其一般形式为`ax+b>0`或`ax+b<0`（`a≠0`）。二、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要特别注意在利用性质3变形时，不等号方向的变化。1.去分母：根据不等式的性质2或3，在不等式两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项，若分母是负数，不等号方向要改变。2.去括号：利用去括号法则，注意括号前是负号时，括号内各项要变号。3.移项：把含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项要变号。4.合并同类项：把不等式两边分别合并同类项，化为`ax>b`或`ax<b`（`a≠0`）的形式。5.系数化为1：根据不等式的性质2或3，在不等式两边都除以未知数的系数`a`。若`a>0`，不等号方向不变；若`a<0`，不等号方向改变。注意：解不等式的过程中，每一步变形都要依据不等式的性质，尤其要警惕系数化为1这一步。（四）不等式的解集在数轴上的表示为了更直观地表示不等式的解集，我们常借助数轴。数轴上的点可以形象地反映数的大小关系。*表示`x>a`：在数轴上找到表示`a`的点，画一个空心圆圈（表示不包含`a`本身），然后向右画线。*表示`x<a`：在数轴上找到表示`a`的点，画一个空心圆圈，然后向左画线。*表示`x≥a`：在数轴上找到表示`a`的点，画一个实心圆点（表示包含`a`本身），然后向右画线。*表示`x≤a`：在数轴上找到表示`a`的点，画一个实心圆点，然后向左画线。三、一元一次不等式组（一）一元一次不等式组的定义由几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。（二）一元一次不等式组的解集几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。（三）一元一次不等式组的解法1.分别求解：求出不等式组中每个不等式的解集。2.数轴找点：将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来。3.确定公共部分：找出数轴上所有解集的公共部分，即为不等式组的解集。若没有公共部分，则不等式组无解（或说解集是空集）。常见的不等式组解集类型（设a<b）：*`{x>a,x>b}`的解集是`x>b`（同大取大）*`{x<a,x<b}`的解集是`x<a`（同小取小）*`{x>a,x<b}`的解集是`a<x<b`（大小小大中间找）*`{x<a,x>b}`的解集是无解（大大小小无解了）四、不等式与不等式组的应用列不等式（组）解决实际问题的步骤与列方程（组）解决实际问题类似，关键在于找出题目中的不等关系，并用含有未知数的代数式表示出来。1.审：认真审题，明确题意，找出题中的已知量和未知量，以及它们之间的关系。2.设：设出适当的未知数。3.列：根据题目中的不等关系，列出不等式（组）。4.解：解所列的不等式（组），求出未知数的取值范围。5.验：检验所求出的解集是否符合题意，是否具有实际意义。6.答：写出符合题意的答案。注意：在列不等式时，要准确理解表示不等关系的关键词，如“至少”、“最多”、“不低于”、“不高于”、“超过”、“不足”等。五、习题总汇（一）选择题1.若`a>b`，则下列不等式一定成立的是（）A.`a-3<b-3`B.`-2a>-2b`C.`2a>2b`D.`a/c>b/c`(c为常数)2.不等式`3x-2>4`的解集是（）A.`x>2`B.`x<2`C.`x>1`D.`x<1`3.不等式组`{x+1>0,x-2≤0}`的解集在数轴上表示正确的是（）（此处应有四个选项的数轴图示，实际答题时需根据选项判断）A.（数轴表示-1<x≤2）B.（数轴表示x<-1或x≥2）C.（数轴表示x≤-1或x>2）D.（数轴表示-1≤x<2）4.若关于x的方程`2x-m=3(x-1)`的解是正数，则m的取值范围是（）A.`m<3`B.`m>3`C.`m≤3`D.`m≥3`（二）填空题5.用不等式表示“x的2倍与3的差不大于5”：____________。6.不等式`(x-1)/2≤1`的解集是____________。7.若不等式组`{x>2m+1,x<m-2}`无解，则m的取值范围是____________。8.已知`x=3`是关于x的不等式`3x-(ax+2)/2>(2x)/3`的解，则a的取值范围是____________。（三）解答题9.解不等式`(2x-1)/3-(5x+1)/2≤1`，并把解集在数轴上表示出来。10.解不等式组`{3(x-1)<5x+1,(x-1)/2≥2x-4}`，并写出它的所有整数解。11.当k为何值时，关于x的方程`(2x-k)/3-(x-3k)/2=1`的解是非负数？12.某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件B商品？（四）综合应用题13.某校组织学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元。（1）求原计划租用45座客车的数量和参加社会实践活动的学生人数。（2）若要使每个学生都有座位，且租车费用最省，应该怎样租车？六、习题答案与提示（一）选择题1.C（提示：利用不等式性质判断，注意C选项系数为正，D选项c的符号不确定）2.A（提示：移项得3x>6，系数化为1得x>2）3.A（提示：分别解两个不等式得x>-1和x≤2，公共部分为-1<x≤2）4.A（提示：解方程得x=3-m，令3-m>0，解得m<3）（二）填空题5.`2x-3≤5`6.`x≤3`（提示：两边同乘2得x-1≤2，移项得x≤3）7.`m≥-3`（提示：根据“大大小小无解了”，令2m+1≥m-2，解得m≥-3）8.`a<4`（提示：将x=3代入不等式，解关于a的不等式）（三）解答题9.解：去分母，得2(2x-1)-3(5x+1)≤6去括号，得4x-2-15x-3≤6移项，得4x-15x≤6+2+3合并同类项，得-11x≤11系数化为1，得x≥-1（数轴表示略：在数轴上表示-1的点为实心圆点，向右画线）10.解：解不等式3(x-1)<5x+1，得3x-3<5x+1，-2x<4，x>-2解不等式(x-1)/2≥2x-4，得x-1≥4x-8，-3x≥-7，x≤7/3所以不等式组的解集为-2<x≤7/3其所有整数解为：-1，0，1，211.解：去分母，得2(2x-k)-3(x-3k)=6去括号，得4x-2k-3x+9k=6合并同类项，得x+7k=6解得x=6-7k因为方程的解是非负数，所以6-7k≥0解得k≤6/7所以当k≤6/7时，方程的解是非负数。12.（1）设A商品每件进价x元，B商品每件进价y元。根据题意，得`{3x+2y=120,5x+4y=220}`解得`{x=20,y=30}`答：A商品每件进价20元，B商品每件进价30元。（2）设购进B商品m件，则购进A商品至少2m件。根据题意，得20*(2m)+30*m≤100040m+30m≤100070m≤1000m≤100/7≈14.28因为m为整数，所以m的最大值为14。答：最多能购进14件B商品。（四）综合应用题13.（1）设原计划租用45座客车x辆，学生人数为y人。根据题意，得`{45x+15=y,60(x-1)=y}`解得`{x=5,y=240}`答：原计划租用45座客车5辆，学生人数为240人。（2）设租用45座客车a辆，60座客车b辆，总费用为W元。则45a+60b≥240，W=220a+300b化简得3a+4b≥16要使费用最省，可列举可能的租车方案并比较：方案一：租4辆60座客车，费用300*4=1200元。方案二：租1辆45座，3辆60座：45+180=225<240，不行。方案三：租2辆45座，3辆60座：90+180=270≥240，费用220*2+300*3=440+900=1340元。方案四：租4辆45座，1辆60座：180+60=240，费用220*4+300*1=880+300=1180元。方案五：租5辆45座：225<240，不行（原计划有15人没座位）。方案六：租0辆45座，4辆60座：240人，费用1