高考数学（文）二轮专题复习习题第5部分小题提速练5-1-7

小题提速练(七)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)A．1 B．2C．3 D．4解析：选D.由韦恩图知阴影部分表示的是A∩(∁UB)，∵A＝{x∈N|2x(x－4)＜1}＝{1,2,3}，B＝{x∈N|y＝ln(2－x)}＝{0,1}，∴阴影部分对应的集合是A∩(∁UB)＝{2,3}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为22＝4.2．若复数eq\f(a＋3i,1＋2i)(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A．－6 B．－2C．4 D．6解析：选A.∵eq\f(a＋3i,1＋2i)＝eq\f(a＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(a＋6＋3－2ai,5)为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋6＝0，,3－2a≠0，))解得a＝－6.3．给出命题p：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；命题q：向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).关于以上两个命题，下列结论中正确的是()A．命题“p∨q”为假 B．命题“p∧q”为真C．命题“p∨﹁q”为假 D．命题“p∧﹁q”为真解析：选A.命题p：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β或相交，因此是假命题；命题q：向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b＜0，,且不异向共线，))－2λ－1＜0，解得λ＞－eq\f(1,2)，由－λ＋2＝0，解得λ＝2，此时a与b异向共线，因此向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))且λ≠2，因此是假命题．4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A．24π B．6πC．4π D．2π解析：选B.几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为eq\r(2)的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R＝eq\r(22＋\r(2)2)，R＝eq\f(\r(6),2)，所以外接球的表面积为4πR2＝6π.5．下面图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是()7891011691367314图1图2A．6 B．10C．91 D．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.6．已知正数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x－3y＋5≥0，))则z＝4－x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)的最小值为()A．1 B．eq\f(1,4)eq\r(3,2)C.eq\f(1,16) D．eq\f(1,32)解析：选C.根据约束条件画出可行域，把z＝4－x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)化成z＝2－2x－y，直线z1＝－2x－y过点A(1,2)时，z1最小值是－4，∴z＝2－2x－y的最小值是2－4＝eq\f(1,16).7．已知函数y＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋φ))(A＞0)在一个周期内的图象如图所示，其中P，Q分别是这段图象的最高点和最低点，M，N是图象与x轴的交点，且∠PMQ＝90°，则A的值为()A.eq\r(3) B．eq\r(2)解析：选A.过Q，P分别作x轴的垂线于B，C，∵函数的周期T＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4，∴MN＝2，CN＝1，∵∠PMQ＝90°，∴PQ＝2MN＝4，即PN＝2，即PC＝eq\r(PN2－NC2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴A＝eq\r(3).8．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝()A．0 B．－100C．100 D．10200解析：选B.由题意可得an＝n2cos(nπ)＋(n＋1)2cos[(n＋1)π]＝(－1)n－1(2n＋1)，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3－5＋7－9＋11－…＋199－201＝50×(－2)＝－100.9．函数f(x)是定义域为R的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x－eq\f(1,2)x＋a，则函数f(x)的零点个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，又∵x≤0时，f(x)＝2x－eq\f(1,2)x＋a，∴f(0)＝20＋a＝0，解得a＝－1，故x≤0时，f(x)＝2x－eq\f(1,2)x－1，令f(x)＝2x－eq\f(1,2)x－1＝0，解得x＝－1或x＝0，故f(－1)＝0，则f(1)＝0，综上所述，函数f(x)的零点个数是3个．10．设A1，A2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1·kMA2＜2，则双曲线C的离心率的取值范围为()A．(0，eq\r(3)) B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(3)，＋∞) D．(0,3)解析：选B.由题意可得A1(－a,0)，A2(a,0)，设M(m，n)，可得eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1，即eq\f(n2,m2－a2)＝eq\f(b2,a2)，由题意kMA1·kMA2＜2，即为eq\f(n－0,m＋a)·eq\f(n－0,m－a)＜2，即有eq\f(b2,a2)＜2，即b2＜2a2，c2－a2＜2a2，即c2＜3a2，c＜eq\r(3)a，即有e＝eq\f(c,a)＜eq\r(3)，由e＞1，可得1＜e＜eq\r(3).11．已知△ABC外接圆O的半径为1，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)，∠C＝eq\f(π,3)，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为eq\f(3\r(3),4π)，则△ABC的形状为()A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形解析：选B.∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)，圆的半径为1，∴cos∠AOB＝－eq\f(1,2)，又0＜∠AOB＜π，故∠AOB＝eq\f(2π,3)，又△AOB为等腰三角形，故AB＝eq\r(3)，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为eq\f(3\r(3),4π)，即eq\f(S△ABC,S圆)＝eq\f(3\r(3),4π)，∴S△ABC＝eq\f(3\r(3),4)，设BC＝a，AC＝b，∵C＝eq\f(π,3)，∴eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),4)，得ab＝3①，由AB2＝a2＋b2－2abcosC＝3，得a2＋b2－ab＝3，a2＋b2＝6②，联立①②解得a＝b＝eq\r(3)，∴△ABC为等边三角形．12．设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f′(x)＞f(x)成立，则()A．3f(ln2)＞2B．3f(ln2)＝2C．3f(ln2)＜2D．3f(ln2)与2解析：选C.令g(x)＝eq\f(fx,ex)，则g′(x)＝eq\f(f′x·ex－fx·ex,e2x)＝eq\f(f′x－fx,ex)，因为对任意x∈R都有f′(x)＞f(x)，所以g′(x)＞0，即g(x)在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g(ln2)＜g(ln3)，即eq\f(fln2,eln2)＜eq\f(fln3,eln3)，所以eq\f(fln2,2)＜eq\f(fln3,3)，即3f(ln2)＜2f(ln3)，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________.解析：因为点P(2,2)满足圆(x－1)2＋y2＝5的方程，所以P在圆上，又过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax－y＋1＝0平行，所以直线ax－y＋1＝0的斜率为a＝eq\f(2－0,2－1)＝2.答案：214．在△ABC中，已知B＝eq\f(π,3)，AC＝4eq\r(3)，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________．解析：∵AB＝AD，B＝eq\f(π,3)，∴△ABD为正三角形，∵∠DAC＝eq\f(π,3)－C，∠ADC＝eq\f(2π,3)，在△ADC中，根据正弦定理可得eq\f(AD,sinC)＝eq\f(4\r(3),sin\f(2π,3))＝eq\f(DC,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－C)))，∴AD＝8sinC，DC＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－C))，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－C))＋4eq\r(3)＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinC＋\f(\r(3),2)cosC))＋4eq\r(3)＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,3)))＋4eq\r(3)，∵∠ADC＝eq\f(2π,3)，∴0＜C＜eq\f(π,3)，∴eq\f(π,3)＜C＋eq\f(π,3)＜eq\f(2π,3)，∴当C＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即C＝eq\f(π,6)时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,3)))的最大值为1，则△ADC的周长最大值为8＋4eq\r(3).答案：8＋4eq\r(3)15．已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))的最大值为________．解析：由椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1可得a2＝4，b2＝3，c＝eq\r(a2－b2)＝1，可得F1(－1,0)，F2(1,0)，由AF2⊥F1F2，令x＝1，可得y＝±eq\r(3)·eq\r(1－\f(1,4))＝±eq\f(3,2)，可设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，设P(m，n)，则eq\f(m2,4)＋eq\f(n2,3)＝1，又－eq\r(3)≤n≤eq\r(3)，则eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))＝(m＋1，n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))＝eq\f(3,2)n≤eq\f(3\r(3),2)，可得eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))的最大值为eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)16．定义在R上的函数，对任意实数都有f(x