《北师大版五年级数学下册期中复习典型例题精析与教学设计》

《北师大版五年级数学下册期中复习典型例题精析与教学设计》

一、教学目标

（一）知识与技能目标

1.通过系统梳理，使学生巩固掌握第一至第三单元（分数加减法、长方体（一）、分数乘法）的核心概念、运算律与性质，形成清晰的知识网络。

2.熟练运用分数加减法、乘法的运算法则解决实际问题，特别是能够灵活进行异分母分数加减运算和分数乘法的简便计算。

3.深刻理解长方体（正方体）的基本特征（面、棱、顶点），熟练掌握其表面积的计算方法，并能解决与实际情境相关的表面积问题。

4.能够准确识别典型例题的题型特征，掌握其通用解题思路与关键步骤，提升解题的规范性与准确率。

（二）过程与方法目标

1.经历知识梳理、例题精讲、变式训练、反思归纳的完整复习过程，发展学生自主建构知识体系的能力。

2.通过对比分析、一题多解、错例辨析等教学活动，培养学生的分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。

3.引导学生在解决综合性问题的过程中，体会数学建模、数形结合、转化等数学思想方法的应用价值，提升数学思维品质。

（三）情感态度与价值观目标

1.激发学生对数学复习课的兴趣，克服对综合问题的畏难情绪，建立积极的学习心态。

2.在小组合作与交流中，培养学生严谨求实、勇于探索、合作分享的学习品质。

3.感受数学知识的内在逻辑性与应用广泛性，增强学好数学、用好数学的信心。

二、教学重点与难点

（一）教学重点

1.异分母分数加减法的算理与算法，以及运算过程中的约分与化简。

2.长方体（正方体）表面积计算的多种思路及其在实际问题中的应用，特别是涉及缺失面、拼接、分割等情形。

3.分数乘法的意义（整数乘分数、分数乘分数）、计算法则以及运算律在分数乘法中的运用。

4.从复杂实际问题中抽象出数学模型（分数运算、立体图形）的能力。

（二）教学难点

1.异分母分数加减法中通分策略的优化选择，以及运算结果化为最简分数的自觉性。

2.解决与长方体表面积相关的、非标准化的实际问题时，空间想象能力的运用与数学信息的准确提取。

3.深刻理解“求一个数的几分之几是多少”与“求一个数是另一个数的几分之几”两类问题的区别与联系。

4.综合运用多个单元知识解决跨单元实际问题的策略形成与思维整合。

三、学情分析

五年级学生已具备一定的抽象逻辑思维能力和知识整理能力。经过半个学期的学习，他们对分数运算和长方体有了初步的认识，但知识可能零散，理解深度不一。学生在分数运算中易出现通分错误、忽略约分、运算律应用不熟练等问题；在长方体表面积学习中，容易混淆棱长总和、表面积、体积公式，对“面”的识别不完整，尤其是处理非标准情境时。此外，学生初步接触用代数思维（用字母表示数）解决问题，但应用尚不灵活。因此，本次复习需通过结构化梳理和典型例题的深度剖析，帮助学生查漏补缺，建立知识联系，提升综合应用与灵活应变能力。

四、教学准备

1.教师准备：精心设计的教学课件（PPT），内含知识结构图、典型例题、变式题组、错例图片、动画演示（如长方体展开图动态过程）等；实物长方体模型（可拆卸、拼接）；课堂练习卷。

2.学生准备：五年级数学下册课本（北师大版）、笔记本、错题本、作图工具（直尺、铅笔）。

五、教学时间

本教学设计建议安排3个课时完成。

六、教学过程设计

（第一课时：分数运算专题复习与精讲）

（一）知识结构化梳理（约15分钟）

1.单元回顾导入：

教师提问：“回顾我们这学期学过的关于‘数’的运算，主要学习了哪些新内容？”引导学生共同回顾“分数加减法”和“分数乘法”两大板块。

2.构建知识网络：

教师利用课件，引导学生以思维导图或知识树的形式，共同梳理核心知识点：

（1）分数加减法

核心：统一分数单位（通分）。

类型：同分母分数加减法（分母不变，分子相加减）；异分母分数加减法（先通分，化为同分母分数再计算）。

关键步骤：找公分母（最小公倍数优先）、通分、计算、约分（结果化为最简分数）。

运算律：加法交换律、结合律在分数运算中同样适用，可用于简便计算。

应用：解决与分数相关的实际问题，如行程、工作量、份额分配等。

（2）分数乘法

意义：

A.整数乘分数：求几个相同分数和的简便运算，或求整数的几分之几是多少。

B.分数乘分数：求一个数的几分之几是多少。

计算法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。（能约分的先约分，再计算更简便）

积与因数的关系：一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；乘大于1的数，积大于这个数；乘等于1的数，积等于这个数。

运算律：乘法交换律、结合律、分配律在分数乘法中同样适用，是进行简便计算的依据。

倒数：乘积为1的两个数互为倒数。求一个数（0除外）的倒数，就是把这个数的分子和分母交换位置。

应用：解决“求一个数的几分之几是多少”的实际问题。

（二）典型例题深度精析（约25分钟）

【例题1】（分数加减法综合）

一杯纯果汁，小明第一次喝了半杯，加满水；第二次又喝了半杯，再加满水；第三次全部喝完。问小明一共喝了多少杯纯果汁？多少杯水？

教学流程：

1.自主尝试：给予学生1-2分钟独立思考或简单画图分析。

2.引导分析：

（关键点1）纯果汁的总量变化：初始一杯纯果汁。第一次喝掉1/2杯，杯里还剩1/2杯纯果汁，之后加满水（加了1/2杯水），此时杯中是1/2杯果汁和1/2杯水的混合物。第二次喝掉的是这混合物的半杯，即喝掉的纯果汁量是(1/2)×(1/2)=1/4杯，喝掉的水量也是1/4杯。此时杯里剩下1/4杯果汁和1/4杯水。加满水（加了1/2杯水）后，杯中是1/4杯果汁和(1/4+1/2)=3/4杯水。第三次全部喝完。

（关键点2）统计总量：喝的纯果汁总量=第一次1/2杯+第二次1/4杯+第三次1/4杯=1杯。

喝的水总量=第一次0杯（第一次喝前未加水）+第二次1/4杯+第三次3/4杯=1杯。

3.方法提炼：本题涉及分数的连续运算与实际情况分析。解决此类问题，可以借助“跟踪不变量”（纯果汁总量最终被喝完）和“逐步分析每次变化”的策略。画示意图（线段图或杯状图）是理解过程的有效工具。

4.变式提问：如果每次喝掉1/3杯，重复三次同样的操作，结果如何？

【例题2】（分数乘法意义与应用）

学校图书室有故事书1200本，科技书的本数是故事书的5/6，连环画的本数是科技书的3/4。连环画有多少本？

教学流程：

1.审题指导：带领学生找出关键句，分析数量关系。明确“故事书本数”是已知的“标准量”，“科技书本数”是与故事书比较的“比较量”，“连环画本数”又是与科技书比较的“比较量”。这是连续求一个数的几分之几是多少的问题。

2.思路呈现：

方法一：分步计算。

科技书本数：1200×5/6=1000（本）

连环画本数：1000×3/4=750（本）

方法二：列综合算式。

连环画本数=1200×(5/6)×(3/4)

计算：1200×(5/6)×(3/4)=(1200×5×3)/(6×4)=(1200×15)/24=18000/24=750(本)或先约分：1200与6约分得200，200与4约分得50，50×15=750。

3.核心辨析：对比“科技书是故事书的5/6”与“科技书比故事书少1/6”两类表述的区别。强调“是”与“比”后面跟分率时，单位“1”的判断。

4.变式训练：将问题改为“连环画比故事书少多少本？”，引导学生先求出连环画的本数，再与故事书比较。

【例题3】（运算律在分数计算中的应用）

计算：(5/7+2/3)×21(5/6–3/4)÷1/12

教学流程：

1.观察特征：第一题是两数之和乘一个整数，第二题是两数之差除以一个分数。

2.算法选择：

第一题：两种主流方法。

方法A：按运算顺序，先通分计算括号内加法，再相乘。

(5/7+2/3)=(15/21+14/21)=29/21，29/21×21=29。

方法B：运用乘法分配律。

(5/7+2/3)×21=5/7×21+2/3×21=15+14=29。

引导学生对比，哪种方法更简便？显然，方法B避免了异分母分数加法，直接约分计算，更为简便。

第二题：引导学生将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数），再观察是否可用运算律。

(5/6–3/4)÷1/12=(5/6–3/4)×12=5/6×12–3/4×12=10–9=1。

3.规律总结：整数乘法的运算律（交换律、结合律、分配律）对于分数运算完全适用。在含有括号的分数混合运算中，要善于观察数字特征（如分母与括号外整数的关系），灵活运用运算律进行简便计算。

（三）课堂巩固与反馈（约5分钟）

出示2-3道针对性练习题，学生独立完成，教师巡视，抓取典型做法或错误进行即时点评。

练习1：计算2/5+1/3–7/15（巩固异分母加减法及结果化简）

练习2：一根绳子长9米，第一次用去1/3，第二次用去剩下的1/4，还剩多少米？（辨析单位“1”的变化）

（第二课时：长方体专题复习与精讲）

（一）知识结构化梳理（约15分钟）

1.实物模型唤醒：

教师出示长方体模型，提问：“关于长方体，我们从哪几个方面进行了学习？”引导学生回顾长方体的认识、展开与折叠、表面积。

2.构建知识网络：

（1）长方体的认识

特征：6个面（通常都是长方形，特殊情况有两个相对面是正方形），12条棱（分3组，每组4条棱长度相等），8个顶点。

长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

（2）长方体的展开图

理解长方体表面展开成平面图形的多种可能性。

能根据展开图判断是否能围成长方体，并能找出相对的面。

（3）长方体的表面积

定义：长方体6个面的总面积叫做它的表面积。

计算公式：

基本公式：表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2

字母公式：S=2(ab+ah+bh)

特殊情形：正方体是特殊的长方体，表面积=棱长×棱长×6，S=6a²。

应用：解决包装、粉刷、制作等实际问题，常需根据具体情况分析需要计算哪几个面的面积。

（二）典型例题深度精析（约25分钟）

【例题4】（长方体棱长、面的特征）

一个长方体的棱长总和是48厘米，已知长是6厘米，宽是4厘米，求它的高和表面积。

教学流程：

1.公式回顾：长方体棱长总和=(长+宽+高)×4。

2.逆用求解：由棱长总和公式可逆推出：高=棱长总和÷4–(长+宽)。

计算：高=48÷4–(6+4)=12–10=2(厘米)。

3.代入公式求表面积：S=2×(6×4+6×2+4×2)=2×(24+12+8)=2×44=88(平方厘米)。

4.易错警示：牢记公式中“×4”和“×2”，避免遗漏。计算表面积时，先算出“ab+ah+bh”的和，再乘以2，过程更清晰，不易出错。

【例题5】（表面积的实际应用：缺失面）

一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽3分米，高4分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？

教学流程：

1.情境理解：“无盖”意味着只需要计算5个面的面积（缺少上面的面）。

2.方法探讨：

方法一：分别计算5个面的面积，然后相加。

底面：5×3=15(dm²)

前后面：5×4×2=40(dm²)

左右面：3×4×2=24(dm²)

总面积：15+40+24=79(dm²)

方法二：先算6个面总面积，再减去一个上面的面积。

S总=2×(5×3+5×4+3×4)=2×(15+20+12)=2×47=94(dm²)

S上=5×3=15(dm²)

S需=94–15=79(dm²)

3.策略优选：引导学生比较，在解决“缺失面”问题时，方法一（直接算所需面）通常更直接、不易错。要养成先审题明确“求哪几个面”的良好习惯。

4.延伸思考：如果是给教室粉刷墙面和天花板（扣除门窗面积），求的是哪几个面？如果是给长方体饼干盒贴一圈商标纸（上下面不贴），求的又是哪几个面？

【例题6】（表面积的变化：拼接问题）

把两个棱长是5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？

教学流程：

1.动手操作（想象）：用两个正方体模型演示拼接过程。提问：“拼接后，原来两个正方体的表面积之和，与拼成的长方体表面积，相等吗？为什么？”

2.分析变化：两个独立的正方体表面积之和：6×5²×2=300(cm²)。拼接时，两个正方体各有一个面完全贴合，这两个面在拼成的长方体中位于内部，不再属于表面积部分。因此，表面积减少了两个正方形的面积。

3.解法展示：

方法一：先求长方体长、宽、高，再代入公式。

长方体长：5+5=10(cm)，宽：5cm，高：5cm。

表面积：S=2×(10×5+10×5+5×5)=2×(50+50+25)=2×125=250(cm²)

方法二：用原来表面积之和减去减少的面积。

原来两个正方体表面积和：6×5²×2=300(cm²)

减少的面积：5×5×2=50(cm²)

拼成后长方体表面积：300–50=250(cm²)

4.规律探究：引导学生思考，如果是三个、四个…同样的正方体排成一排拼成长方体，表面积变化规律是什么？（每拼接一次，减少2个原正方形的面）

（三）课堂巩固与反馈（约5分钟）

练习3：一个长方体食品盒，长12厘米，宽8厘米，高10厘米。如果围着它贴一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少是多少？（巩固“侧面积”的计算）

练习4：把一个长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最多增加多少？最少增加多少？（理解“切”引起表面积增加，与“拼”相反）

（第三课时：综合应用、易错辨析与策略提升）

（一）综合应用例题精讲（约20分钟）

【例题7】（分数与长方体的综合应用）

一个长方体水池，长20米，宽15米，深2米。

（1）水池的占地面积是多少平方米？

（2）给这个水池的底面和四壁抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？

（3）如果向池中注入水，当水深是池深的3/4时，池中有水多少立方米？

教学流程：

1.分步解读：

（1）“占地面积”即水池的底面积。20×15=300(m²)。

（2）“抹水泥部分”即无盖长方体5个面（底+四壁）的面积。计算同例题5。

S=20×15+(20×2+15×2)×2=300+(40+30)×2=300+140=440(m²)。

（3）本题将分数知识与长方体体积（容积）初步结合。水深是池深（高）的3/4，即水深=2×(3/4)=1.5(米)。此时水的形状是一个长方体，长20米，宽15米，高1.5米。体积（水的方量）=20×15×1.5=300×1.5=450(立方米)。

2.整合反思：一道题综合考查了长方形面积、长方体表面积（实际应用）、分数乘法意义、长方体体积计算。解题的关键在于清晰理解每个问题对应的数学概念和现实情境，准确选择公式。

【例题8】（寻找单位“1”与综合运算）

修一条长2400米的水渠，第一周修了全长的1/4，第二周修了全长的1/3。

（1）两周一共修了多少米？

（2）第二周比第一周多修了多少米？

（3）还剩多少米没有修？

教学流程：

1.统一分析：三个问题都以“全长2400米”为单位“1”。

2.列式解答：

（1）一共修的分率：1/4+1/3=3/12+4/12=7/12

一共修的米数：2400×7/12=200×7=1400(米)或分步：2400×1/4=600，2400×1/3=800，600+800=1400。

（2）多修的分率：1/3–1/4=4/12–3/12=1/12

多修的米数：2400×1/12=200(米)

（3）方法多样：

方法A：用全长减去已修的。2400–1400=1000(米)

方法B：求剩余分率。1–7/12=5/12，再求米数：2400×5/12=1000(米)

3.对比提升：引导学生体会，在单位“1”已知的情况下，用分数乘法解决问题非常便捷。特别是第（3）问，方法B体现了用“分率”解决问题的优越性，即无需先求具体量。

（二）高频错例诊断与辨析（约15分钟）

展示学生作业或练习中的典型错误图片或描述，引导学生充当“小医生”，找出“病因”，并“对症下药”。

错例1：计算2/3+1/2=3/5。

辨析：错误原因在于将分子、分母分别相加，混淆了分数加减法与乘法的法则。异分母分数相加，必须先通分。正确：2/3=4/6,1/2=3/6,4/6+3/6=7/6。

错例2：求一个棱长总和为36厘米的正方体的表面积，列式：36×36×6。

辨析：错误原因是将棱长总和误当作棱长使用。应先由棱长总和求出棱长：36÷12=3(厘米)，再求表面积：3×3×6=54(平方厘米)。

错例3：解决问题“果园有桃树120棵，梨树比桃树多1/5，梨树有多少棵？”列式：120+1/5。

辨析：错误原因在于未理解“1/5”是一个分率，不能直接与具体数量相加。应先将“梨树比桃树多多少棵”这个具体量算出来：120×1/5=24(棵)，再求梨树：120+24=144(棵)。或直接用单位“1”思想：梨树是桃树的(1+1/5)=6/5，梨树：120×6/5=144(棵)。

错例4：计算长方体表面积时，公式写为：S=(ab+ah+bh)×2，但代入数据计算时，只算了ab+ah+bh就停止了。

辨析：错误原因在于记忆公式不牢或计算过程跳跃。强调公式中的“×2”是最后一步，但计算过程中应先算出括号内的和，再乘以2，并养成回头检查公式是否完整应用的习惯。

（三）复习策略总结与提升（约10分钟）

1.知识联系观：引导学生回顾，这三个单元并非孤立。分数运算为解决问题提供工具，长方体是空间与图形领域的重要模型，而综合题往往需要将它们结合起来。例如，分数可以表示长度、面积、体积的一部分。

2.解题通用策略：

（1）审题“三遍法”：初读知大意，再读析条件与问题，三读找关联。

（2）计算“三步曲”：一看（看运算符号、数字特点），二想（想运算顺序、可否简便），三算（仔细计算、自觉约分、检查验算）。

（3）图形问题“两化”：复杂问题“图形化”（画图辅助），立体问题“表面化”（明确所求是哪些面）。

（4）单位“1”处理：遇到分数应用题，首先确定谁是单位“1”，单位“1”已知用乘法，求单位“1”用除法（为后续学习铺垫）。

3.错题管理建议：要求学生将自己的错题按错误类型（计算错误、概念不清、理解偏差、粗心大意等）归类整理到错题本上，并注明正确解法和反思。

七、教学反