九年级数学二轮专题复习：二次函数背景下等腰三角形的存在性问题探究教案

九年级数学二轮专题复习：二次函数背景下等腰三角形的存在性问题探究教案

  一、课标依据与考情透视

  本节课的设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段（7-9年级）“图形与几何”与“函数”领域的要求。课标明确提出，学生应“探索并理解几何图形的性质和判定”，“体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解函数”，“能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析”，“运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。二次函数与等腰三角形结合的问题，正是对“数形结合”、“分类讨论”、“方程思想”、“模型观念”等核心素养的综合考查与深度演练。从考情分析，此类问题是全国各省市中考数学试卷中“压轴题”或“次压轴题”的常考模型，分值权重高，区分度显著。它不仅检验学生对二次函数图象与性质（开口、对称轴、顶点、与坐标轴交点）、等腰三角形判定与性质（两腰相等、三线合一）等基础知识的掌握程度，更着重考查学生在复杂动态几何情境中建立方程模型、进行有序分类、实现几何条件代数化的高阶思维能力。因此，本专题复习课定位于九年级二轮复习的关键节点，旨在帮助学生贯通知识脉络，提炼解题策略，突破思维瓶颈。

  二、学情诊断与目标预设

  经过一轮系统复习，九年级学生对二次函数和等腰三角形的基础知识已有回忆，但面临两者结合的综合题时，普遍存在以下困难：1.畏难心理严重，对动态背景下的多解问题感到困惑和无从下手；2.分类讨论标准不明确，容易出现重复或遗漏；3.几何条件代数化的转化路径不清晰，列方程冗繁或错误；4.计算能力不足，尤其在解含参数的方程时容易失误。基于此，本节课的教学目标预设如下：

  （一）知识与技能目标

  1.能熟练运用两点间距离公式（或勾股定理）表达平面内任意两点间的线段长。

  2.掌握在二次函数图象确定的背景下，根据动点坐标，构造表示出相关线段长的代数式。

  3.能依据等腰三角形的定义（两腰相等）和判定定理，建立关于动点坐标的方程模型。

  4.系统掌握解决“抛物线背景下等腰三角形存在性问题”的两种主流解题策略：“几何构造法”与“代数解析法”，并能根据问题特征灵活选用。

  （二）过程与方法目标

  1.经历“问题情境—数学建模—求解验证—拓展反思”的完整探究过程，强化模型观念和应用意识。

  2.通过典型例题的剖析与变式训练，深入体验“分类讨论”、“数形结合”、“方程思想”等核心数学思想方法的应用价值与操作路径。

  3.在小组合作探究与交流辨析中，提升数学语言表达能力、逻辑推理能力和批判性思维能力。

  （三）情感、态度与价值观目标

  1.在攻克复杂问题的过程中，获得成功的体验，逐步消除对函数综合题的畏惧心理，增强学习数学的自信心。

  2.感悟数学的简洁美、对称美与统一美，体会代数与几何的内在联系，形成跨领域认识数学的宏观视角。

  3.培养严谨求实、一丝不苟的科学态度和勇于探索、善于反思的学习品质。

  三、教学重难点剖析

  教学重点：构造解决“二次函数背景下等腰三角形存在性问题”的数学模型，即如何将“等腰三角形”这一几何条件，准确、无遗漏地转化为关于动点坐标的代数方程。

  教学难点：1.如何确定合理、完备的分类讨论标准，确保不重不漏。2.在复杂的坐标与代数式运算中，如何优化计算路径，提高解题的准确性和效率。3.对解的合理性进行检验（如点是否在图象上，三角形是否退化等）。

  四、教学思路与方法

  本节课采用“问题驱动，分层探究，模型建构，变式深化”的教学思路。以一道经典的中考题为母题和主线，通过层层设问，引导学生从“如何想”到“如何做”，再到“如何优化”，最终归纳出普适性的解题策略。教学方法上，融合运用讲授法、探究法、讨论法与合作学习法。借助几何画板动态演示，直观呈现动点运动过程中三角形形状的变化，帮助学生形成图形直觉，理解分类的必要性。强调学生的主体地位，教师扮演组织者、引导者和协作者的角色，鼓励学生大胆尝试、暴露思维过程、在纠错与优化中实现认知升华。

  五、教学资源与工具

  多媒体课件（内含几何画板动态演示文件）、学案（印有例题、变式题及探究任务）、实物投影仪用于展示学生解题过程、三角板等常规作图工具。

  六、教学过程实施

  （一）第一环节：温故孕新，奠基调（时长约8分钟）

  师生活动：教师不直接进入主题，而是设计一组递进式的基础回顾题，通过提问或学生快速口答、板演的方式完成。

  1.已知抛物线y=-x²+2x+3。

  (1)求其顶点坐标、对称轴及与坐标轴的交点坐标。

  (2)若点A(0,3)，点B为抛物线上一点，请用含字母的代数式表示线段AB的长度（设B点横坐标为m）。

  (3)平面内两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则PQ的长度公式为？

  设计意图：第(1)问唤醒对二次函数基本性质的记忆，为后续在图象上取点、利用对称性奠基。第(2)问是关键的铺垫，训练学生用参数表示动点到定点的距离，这是代数化的基础技能。第(3)问明确距离公式，为后续计算提供理论依据。此环节旨在激活学生的最近发展区，为探究复杂问题准备必要的“工具箱”。

  （二）第二环节：典例导学，探策略（时长约25分钟）

  教师呈现核心例题，并引导学生分步骤探究。

  【核心例题】如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得△PAC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

  （教师利用几何画板展示抛物线，并动态演示对称轴上的动点P，观察△PAC形状的变化，直观感受多解的可能性。）

  步骤一：审题与定性分析。

  师：请同学们明确，在这个问题中，哪些点是确定的？哪个点是动的？动点在哪条线上运动？构成等腰三角形的顶点是哪三个？

  生：A、C是定点，P是对称轴上的动点。探究△PAC是否为等腰三角形。

  师：△PAC中，哪两条边可能相等？（引出分类讨论的根源）

  生：PA=PC，或PA=AC，或PC=AC。

  师：很好。这就是我们分类的三种情况。请大家注意，AC是定长线段，这种情况相对简单。PA和PC是动点到定点的距离，长度随P点位置变化。

  步骤二：定量分析，代数建模。

  教师引导学生先确定各点坐标。令y=0，解得A(-1,0)，B(3,0)；令x=0，得C(0,3)。对称轴为直线x=1。设P点坐标为(1,t)。

  情况1：当PA=PC时。

  师：如何将“PA=PC”这个几何条件，用代数等式表达？

  生：利用两点距离公式。PA²=(1-(-1))²+(t-0)²=4+t²。PC²=(1-0)²+(t-3)²=1+(t-3)²。

  由PA²=PC²，得4+t²=1+(t-3)²。

  师：请解这个方程。

  生：化简得4+t²=1+t²-6t+9，即6t=6，解得t=1。所以P(1,1)。

  情况2：当PA=AC时。

  师：AC是定长，先计算AC的长度。

  生：AC²=(-1-0)²+(0-3)²=1+9=10。

  由PA²=AC²，得4+t²=10，解得t=±√6。所以P(1,√6)或P(1,-√6)。

  情况3：当PC=AC时。

  由PC²=AC²，得1+(t-3)²=10，即(t-3)²=9，解得t-3=3或t-3=-3，所以t=6或t=0。

  师：t=0时，P(1,0)，此时P、A、C三点位置有何关系？

  生：点P在AC的垂直平分线上？不对…等一下，当t=0，P(1,0)，A(-1,0)，C(0,3)，三点不共线，但PC=AC成立，是有效的。当t=6，P(1,6)，也在对称轴上。

  步骤三：检验与总结。

  师：我们得到了五个解：t=1，√6，-√6，6，0。是否都需要保留？

  引导学生思考：点P是对称轴上的动点，没有其他限制（如在线段上等），所以理论上所有实数t对应的点都存在。但需要检验以这些点为顶点的△PAC是否真的构成三角形，即三点是否共线。

  生：当P(1,0)时，A、P都在x轴上，C在y轴，三点不共线，是三角形。其他点也均不共线。所以五个解都符合题意。

  教师通过几何画板验证五个点，动态展示此时△PAC确为等腰三角形。

  师：回顾解题过程，我们的核心步骤是什么？

  生：（1）确定定点、动点，设出动点坐标。（2）列出所有可能的腰相等的情况（分类）。（3）用距离公式（或勾股定理）将每种情况的几何关系转化为代数方程。（4）解方程，求坐标。（5）检验合理性。

  教师板书提炼策略一：“代数解析法”（“两腰相等”列方程法）：一找（定点、动点），二设（动点坐标），三列（分类列方程），四解，五验。

  （三）第三环节：模型构建，悟思想（时长约15分钟）

  师：刚才我们用的是通法，直接根据定义列方程。有没有更直观、更快捷的方法，特别是在涉及等腰三角形“两腰相等”且其中一定点为顶点的情况？

  引导学生思考等腰三角形的几何特征：两腰相等，等价于顶点在底边的垂直平分线上。

  变式探究：若将问题改为“是否存在点P，使得△PAB为等腰三角形？”（A、B为抛物线与x轴交点，P在抛物线上）。A(-1,0)，B(3,0)是定点，P是抛物线上的动点。

  师：此时，分类讨论的标准依然是：PA=PB，PA=AB，PB=AB。我们重点关注PA=PB的情况。从几何角度看，PA=PB意味着点P在线段AB的什么线上？

  生：垂直平分线上。

  师：线段AB的垂直平分线方程是什么？

  生：AB中点坐标为(1,0)，AB垂直于x轴，所以垂直平分线是平行于y轴且过(1,0)的直线，即直线x=1。

  师：那么，满足PA=PB的点P，既要在抛物线y=-x²+2x+3上，又要在直线x=1上。如何求？

  生：联立方程组。将x=1代入抛物线解析式，得y=-1+2+3=4。所以P(1,4)。这就是PA=PB的情况。

  师：这种方法可以称为？

  生：“几何构造法”或“垂直平分线法”。

  师：对比“代数法”和“几何法”，你有什么感悟？

  学生讨论后总结：当等腰三角形的两个定点（即底边两个端点）确定时，寻找第三个顶点使两腰相等，可以转化为寻找这两个定点所连线段的垂直平分线与动点所在轨迹（如抛物线、对称轴）的交点。这种方法往往比直接列距离方程更简洁，因为它避免了对距离公式的平方运算。但“几何法”通常只适用于“两腰相等”且这两个腰的端点都是定点的情况（即“两定一动”求等腰顶点）。对于“一定两动”或腰涉及动点的情况，“代数法”更具普适性。

  教师进一步深化模型：我们还可以将等腰三角形的构造，与圆联系起来。例如，寻找点P使PA=PB，也可以看作以A、B为圆上两点，寻找圆心（P点在线段AB的垂直平分线上）。但这在初中阶段不常用。

  （四）第四环节：变式拓学，提能力（时长约20分钟）

  出示变式题组，学生分组讨论，尝试用不同方法解决，并派代表板演讲解。

  【变式1】将核心例题中的“点P是抛物线对称轴上的一个动点”改为“点P是抛物线上（除A、C点外）的一个动点”，其他条件不变，探究△PAC为等腰三角形时点P的坐标。

  设计意图：将动点从对称轴移到抛物线上，增加了复杂性。定点仍是A、C，动点P在抛物线上。学生需设P(m,-m²+2m+3)，然后分PA=PC，PA=AC，PC=AC三种情况列方程。此变式重点训练学生用含参数的代数式表示抛物线上任意一点的坐标，以及处理含二次项的方程化简能力（如PA=PC时，两边消去m的四次项和三次项，通常可化为一次或二次方程）。同时，提醒学生注意“除A、C点外”的隐含条件，需对解进行检验剔除。

  【变式2】在抛物线y=-x²+2x+3上，是否存在点Q，使得以Q、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标。

  设计意图：此变式是经典的“两定一动”在抛物线上的等腰三角形存在性问题。定点A(-1,0)，B(3,0)在x轴上，且关于对称轴对称。学生应优先尝试“几何法”：当QA=QB时，Q在AB的垂直平分线x=1上，代入抛物线得Q(1,4)。当QA=AB或QB=AB时，则需用“代数法”设点列方程。此变式有助于学生对比两种方法，体会在特定条件下“几何法”的优越性，并巩固分类讨论的完整性。

  【变式3】在抛物线y=-x²+2x+3的对称轴上找一点M，在抛物线上找一点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若将条件改为“使得以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形”，则又如何探索？

  设计意图：此变式进行跨模型链接，从等腰三角形过渡到平行四边形和菱形。菱形是特殊的平行四边形（邻边相等），本质上包含了等腰三角形的判定（例如，要证菱形，常需证其对角线垂直平分，或证其边相等，即存在等腰三角形）。通过此变式，引导学生认识到复杂图形中蕴含的基本图形，提升综合分解问题的能力。由于时间限制，此变式可作为思维拓展，简要分析思路，具体求解留作课后思考。

  （五）第五环节：链接中考，验成效（时长约10分钟）

  呈现一道精选中考真题（进行适当数据简化），限时独立完成，然后教师点评。

  【中考链接】（改编）已知抛物线y=ax²+bx+c(a<0)过点A(2,0)，B(-1,0)，顶点为C。点D是y轴正半轴上一点，是否存在点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

  师：本题中，点B、C是定点，点D是y轴正半轴上的动点。△BCD中，哪些边可能相等？

  生：BD=CD，BD=BC，CD=BC。

  师：我们需要先求出抛物线解析式和顶点C坐标。

  由交点式，可设y=a(x-2)(x+1)，又a<0，且过点…（具体求解略）。求得C点坐标后，设D(0,d)(d>0)。然后分类列方程求解。特别注意d>0的条件对解的取舍。

  学生尝试完成，教师巡视指导，重点观察分类是否清晰、计算是否准确、条件是否考虑周全。随后展示规范解答过程。

  （六）第六环节：反思悟学，促升华（时长约7分钟）

  教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行课堂小结。

  1.知识层面：我们复习了二次函数的性质、点的坐标表示、两点间距离公式、等腰三角形的判定。

  2.方法层面：我们掌握了解决二次函数背景下等腰三角形存在性问题的两种主要策略——“代数解析法”（通用，核心是列方程）和“几何构造法”（快捷，适用于两定点腰相等的情况）。解题步骤可概括为：“一定位，二分类，三转化（几何条件代数化），四求解，五检验”。

  3.思想层面：本节课深刻体现了“分类讨论思想”（依据不同的腰相等情况分类）、“数形结合思想”（在坐标系中，既看图形位置关系，又进行代数运算）、“方程思想”（将几何等量关系转化为方程求解）和“模型思想”（将一类问题抽象为固定的解题模型）。

  教师布置分层作业：

  基础巩固题：整理课堂例题、变式题的完整解答过程。

  能力提升题：完成“链接中考”题的详细解答，并思考若点D在y轴上运动（不限正半轴），结论有何变化？

  拓展探究题：研究在抛物线背景下，直角三角形的存在性问题，比较其与等腰三角形存在性问题的解题策略异同。

  七、教学评价设计

  本节课的评价贯穿于教学全过程，采用多元评价方式。

  1.过程性评价：通过课堂提问、小组讨论参与度、板演表现等，评价学生的知识掌握、思维活跃度和合作精神。特别关注学生在探究过程中是否展现出有序分类、严谨计算、自觉检验的习惯。

  2.诊断性评价：通过“温故孕新”环节，诊断学生的基础知识储备；通过变式练习和中考链接题的完成情况，诊断学生对核心方法的掌握程度和迁移应用能力。

  3.发展性评价：鼓励学生提出不同的解题思路，对“几何法”与“代数法”进行优劣比较，评价其批判性思维和优化意识。通过课后拓展探究题，为学有余力的学生提供发展空间，评价其深度学习能力和创新意识。

  八、板书设计规划（主板书区域）

  左侧：

  课题：二次函数背景下的等腰三角形存在性问题

  核心策略：

  一、代数解析法（通法）

  步骤：一找（定点、动点）→二设（动点坐标）→三列（分类列方程PA²=PB²等形式）→四解→五验

  关键：距离公式，几何条件代数化。

  二、几何构造法（特法，适用于“两定一动”腰相等）

  原理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

  操作：作定线段的