冀教版九年级数学下册：二次函数y=ax²的图像与性质教案

冀教版九年级数学下册：二次函数y=ax²的图像与性质教案

一、教学指导思想与理论依据

本节课的教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，秉承“以学生发展为本”的现代教育理念，深度融合建构主义学习理论与“理解性教学”的实践框架。我们认识到，函数是刻画现实世界数量关系与变化规律的核心数学模型，而二次函数作为初中阶段函数学习的最高点与集大成者，其初步图像与性质的研究，不仅是对之前所学一次函数、反比例函数研究方法的迁移与应用，更是为未来学习更复杂的函数、解析几何乃至高等数学奠定坚实的思维基础与直观经验。

本设计强调大概念教学，将“二次函数y=ax²的图像是抛物线，其性质由系数a的符号和大小决定”作为一个核心观念进行构建。教学过程中，着力引导学生经历“具体实例抽象—列表描点作图—直观观察猜想—理性分析论证—归纳概括性质—迁移应用解释”的完整数学探究过程。这一过程深度融合了数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养的培养。我们特别注重信息技术与数学课程的深度融合，在关键环节利用动态几何软件的直观演示，帮助学生突破从“数”到“形”的认知难点，实现从静态观察到动态想象的跨越，从而深化对二次函数图象本质特征的理解，构建稳固的认知结构。

二、教学背景分析

（一）教材分析

本节内容选自冀教版九年级数学下册第三十章“二次函数”的第一课时。从教材的整体知识结构来看，它处于承前启后的关键位置。

纵向联系：

1.承前：学生在八年级已系统学习了一次函数（包括正比例函数）和反比例函数，掌握了通过列表、描点、连线绘制函数图象的基本方法，并初步具备了从函数图象中观察和分析函数性质（如增减性、对称性）的经验。同时，学生对“变量”、“函数”、“自变量取值范围”等概念已有清晰认识。二次函数的研究，是函数学习历程中的一次螺旋式上升。

2.启后：本节课研究的y=ax²

是最简单、最特殊的二次函数。对其图象（抛物线）的形状、开口方向、顶点、对称轴等核心性质的深刻理解，是后续学习一般形式y=ax²+bx+c

的基础。后续学习的平移规律（“y=a(x-h)²+k

”）、与一元二次方程的关系、实际应用问题等，都将以y=ax²

的图象和性质为认知起点和参照系。

横向地位：本节内容是整个二次函数单元的知识“种子课”。它所确立的研究框架（从特殊到一般）、研究方法（数形结合）和核心概念（抛物线、开口、顶点、对称轴），将贯穿整个单元的始终。教材通过对比a>0

和a<0

的情形，揭示系数a的核心作用，为后续学习a

、b

、c

对图象的综合影响提供了清晰的认知路径。

（二）学情分析

九年级下学期的学生，其抽象逻辑思维能力正处于快速发展的关键期，已具备一定的自主探究与合作学习的能力。

认知基础：

1.优势：

1.2.熟练掌握函数图象的描点作图法。

2.3.能够从一次函数、反比例函数的图象中归纳出如“直线”、“双曲线”、“增减性”等性质。

3.4.具备初步的数形结合思想，能初步建立函数解析式与图象特征之间的联系。

4.5.对“对称”这一几何概念（如轴对称图形）有直观认识。

潜在困难与迷思概念：

1.图象认知的跳跃：从直线、双曲线到“曲线”抛物线，学生对“曲线”图形的连续性与光滑性可能缺乏深刻感知，描点时可能因取点不足而导致图象失真。

2.性质的抽象概括：学生可能孤立地记忆具体函数的性质，而难以自觉地、系统地从事物的变化（a

的变化）中探寻统一的规律，即从“个案”上升到“类”的归纳能力有待加强。

3.“|a|”与开口大小的关系：对于“|a|越大，开口越小”这一结论，学生容易产生直觉上的矛盾（认为数值越大对应开口越大），这是教学需要重点突破的认知冲突点。

4.无限延伸的想象：对抛物线向两侧无限延伸，函数值无限增大的趋势，缺乏直观的、动态的想象。

基于以上分析，本节课的教学应充分利用学生已有经验，通过精心设计的有层次、有对比的探究活动，引导学生主动建构，在合作交流与思维碰撞中化解难点，实现知识的顺应与同化。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.会用描点法画出二次函数y=ax²

（a≠0

）的图象，并能准确描述其图象——抛物线的形状特征。

2.通过观察、对比和分析不同a

值下的函数图象，能够归纳并掌握二次函数y=ax²

的以下性质：

1.3.开口方向（由a

的符号决定）；

2.4.开口大小（与|a|

的关系）；

3.5.顶点坐标、对称轴；

4.6.函数的最大值或最小值（顶点处的函数值）；

5.7.在对称轴两侧的增减性变化规律。

8.能根据二次函数y=ax²

的解析式，迅速判断其图象的开口方向、对称轴和顶点，并能根据性质解决简单的数学问题。

（二）过程与方法

1.经历从实际问题或具体函数案例中抽象出y=ax²

模型的过程，体会数学建模思想。

2.在绘制多个具体二次函数图象的过程中，进一步巩固和熟练“列表-描点-连线”的作图方法，并体会其重要性。

3.通过小组合作，对多个图象进行横向（不同a

值）与纵向（a>0

与a<0

）的对比观察，学会从特殊到一般、分类讨论的数学研究方法。

4.在探究性质的过程中，深刻体验和运用数形结合思想，发展直观想象能力和逻辑推理能力。

（三）情感、态度与价值观

1.通过观察抛物线优美的对称曲线，感受数学图形的对称美、简洁美与和谐美，激发学习数学的兴趣和审美情趣。

2.在自主探究与合作交流中，获得成功的体验，增强学好数学的自信心，培养严谨求实、勇于探索的科学精神。

3.体会函数作为刻画现实世界变化规律的强大工具价值，初步建立运用数学眼光观察世界的意识。

四、教学重点与难点

1.教学重点：二次函数y=ax²

的图象（抛物线）的画法及其主要性质（开口方向、顶点、对称轴、增减性）。

2.教学难点：

1.3.理解并归纳系数a

（a≠0

）对抛物线开口方向和大小的决定性影响，特别是“|a|

越大，开口越小”这一性质。

2.4.从图象中抽象出函数的增减性，并能够用准确的数学语言进行描述，建立“形”与“数”的精确对应。

五、教学准备

1.教师准备：

1.2.精心设计的多媒体课件，包含生活情境动画、动态几何软件（如GeoGebra）制作的二次函数y=ax²

图象生成与变换演示工具。

2.3.预设的课堂探究活动任务单（学案）。

3.4.实物投影仪，用于展示学生作图成果。

5.学生准备：

1.6.复习一次函数、反比例函数的图象和性质。

2.7.方格坐标纸、直尺、铅笔、彩色笔（至少两种颜色）。

3.8.预习教材相关内容，对二次函数有初步感性认识。

六、教学过程实施

第一阶段：创设情境，抽象模型（预计用时：8分钟）

活动一：生活观察，感受“抛物线”

1.情境导入：教师播放一段精心剪辑的短视频，内容包含：

1.2.篮球运动员投出的篮球在空中划过的弧线。

2.3.公园喷泉中水柱的优美轨迹。

3.4.石拱桥的桥洞轮廓。

（视频静音，仅配以舒缓的背景音乐，引导学生专注观察形状）

5.问题链引导：

1.6.师：“同学们，视频中这些曲线给你怎样的共同印象？（优美、对称、弯曲……）”

2.7.师：“在数学中，我们把具有这种形状的曲线称为‘抛物线’。你想知道这种美妙的曲线背后，藏着怎样的数学秘密吗？”

3.8.师：“让我们从一个最简化的数学问题开始：假设我们忽略空气阻力，一个物体被平抛出去，它距离地面的高度h

与水平飞行距离s

之间，近似满足h=20-0.05s²

的关系。这个关系式和我们之前学过的函数一样吗？有什么不同？”

4.9.学生观察、思考并回答。教师引导学生发现解析式中自变量s

出现了二次项s²

。

10.模型抽象：

1.11.师：“像h=20-0.05s²

这样，形如y=ax²+bx+c

（a,b,c

为常数，且a≠0

）的函数，我们称之为二次函数。今天，我们先从其中最纯粹、最核心的一种开始研究：y=ax²

（a≠0

）。”

2.12.教师板书课题：二次函数y=ax²

的图象和性质。

3.13.设计意图：从真实世界中的抛物线现象入手，赋予抽象的数学概念以直观、生动的现实背景，激发学生的好奇心和求知欲。通过问题对比，引导学生发现新旧知识的差异，明确本节课的学习对象和研究起点。

第二阶段：合作探究，绘制图象（预计用时：15分钟）

活动二：初次作图，感知形状

1.任务分配：将全班分为6个探究小组。每两个小组共同研究一个具体的二次函数，形成对比。任务分配如下：

1.2.组1、2：y=x²

2.3.组3、4：y=2x²

3.4.组5、6：y=-x²

和y=-½x²

（这两组各研究一个，内部再分工）

5.明确探究步骤（教师通过课件展示，强调规范性）：

1.6.步骤1：列表。在自变量的取值范围内（建议从-3取到3，取整数和半整数点，如-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3），计算出对应的函数值。强调计算的准确性。

2.7.步骤2：描点。在准备好的方格坐标纸上，根据表格中的数据，精确地描出各点。提醒学生注意坐标点的横纵坐标对应关系。

3.8.步骤3：连线。这是关键步骤。引导学生思考：“这些点应该用怎样的线连接起来？（直线？折线？曲线？）”让学生回忆一次函数是“用平滑的直线连接”，并观察自己所描点的趋势。最终明确：要用平滑的曲线，从左到右依次连接各点。对于y=x²

，可以引导学生先描出x≥0

的部分，再利用对称性描出另一部分，感受对称作图的方法。

9.学生活动与教师巡视：

1.10.学生以小组为单位，分工合作（如一人计算列表，一人描点，一人负责检查与连线），在坐标纸上绘制图象。

2.11.教师深入各组巡视指导，重点关注：

1.3.12.列表计算是否正确。

2.4.13.描点是否准确、清晰。

3.5.14.连线是否平滑、流畅，是否体现了曲线的特征。

4.6.15.对于遇到困难的小组，给予适时、恰当的提示，如“当x=1.5

时，函数值是多少？这个点大概在什么位置？”

16.初步成果展示与交流：

1.17.邀请y=x²

和y=-x²

的两个小组代表，将他们的作图成果通过实物投影仪展示。

2.18.引导全班观察：“这两个图象形状上有什么共同点和不同点？”

3.19.学生可能回答：共同点——都是曲线，都关于y

轴对称；不同点——一个开口向上，一个开口向下。

4.20.教师揭示：我们把这种曲线命名为抛物线。这条抛物线关于y

轴对称，y

轴就是它的对称轴。抛物线与对称轴的交点，称为顶点。对于y=x²

，顶点是(0,0)；对于y=-x²

，顶点也是(0,0)。

5.21.设计意图：让学生亲自动手，通过最基础的描点法绘制图象，这是理解函数性质不可或缺的“第一手经验”。分组研究不同函数，为后续的对比归纳埋下伏笔。在连线环节设置认知冲突，强化“平滑曲线”的意识，区别于一次函数。初步展示交流，让学生获得关于抛物线形状、对称轴、顶点的直观且正确的第一印象。

第三阶段：对比分析，归纳性质（预计用时：20分钟）

活动三：多方对比，深度探究

这是本节课的核心环节，旨在引导学生通过系统的观察、比较、分析和推理，自主建构出y=ax²

的性质。

1.建立“观察脚手架”：

教师通过课件展示一个结构化的对比表格（雏形），引导学生从以下几个维度观察自己绘制的以及投影展示的所有图象（y=x²

,y=2x²

,y=-x²

,y=-½x²

）：

1.2.开口方向

2.3.开口大小（比较“胖瘦”）

3.4.顶点坐标

4.5.对称轴

5.6.函数值的变化趋势（当x>0

时，y

随x

增大如何变化？当x<0

时呢？）

6.7.函数的最大值或最小值（如果有，是多少？）

8.分组讨论与记录：

各小组围绕上述维度，结合自己的图象和观察其他组的图象，展开深入讨论。将讨论发现的规律记录在学案或笔记本上。教师鼓励学生使用准确的数学语言进行描述。

9.全班汇报与引导性归纳：

教师组织全班进行汇报交流，按照对比表格的维度，依次梳理性质。在此过程中，教师扮演“引导者”和“促进者”的角色，通过精妙的追问，引导学生走向深入。

1.10.开口方向：

1.2.11.师：“哪些抛物线开口向上？哪些开口向下？这与什么有关？”

2.3.12.引导学生对比y=x²

（a=1>0

）和y=-x²

（a=-1<0

），得出结论：当a>0

时，抛物线开口向上；当a<0

时，抛物线开口向下。

4.13.开口大小：

1.5.14.这是难点。将y=x²

和y=2x²

的图象叠放在一起（用动态软件演示效果最佳）。

2.6.15.师：“a=1

和a=2

，哪个更大？对应的抛物线，哪个开口更‘窄’（或更‘陡峭’）？”

3.7.16.再对比y=-x²

和y=-½x²

：“a=-1

和a=-0.5

，谁的绝对值|a|

更大？对应的抛物线，哪个开口更‘窄’？”

4.8.17.引发学生思考：开口大小似乎不与a

的正负有关，而与a

的绝对值有关。

5.9.18.通过更多例子（如y=0.5x²

）的图象演示，最终引导学生归纳：|a|

越大，抛物线的开口越小（越窄，越陡峭）；|a|

越小，抛物线的开口越大（越宽，越平缓）。

6.10.19.认知冲突化解：教师可以打一个比方：“|a|

像一只手，|a|

越大，这只手把抛物线从两边向中间‘捏’得越紧，所以开口就越小。”

11.20.顶点与对称轴：

1.12.21.学生很容易发现所有图象的顶点都是(0,0)，对称轴都是x=0

（即y

轴）。

2.13.22.教师追问：“为什么顶点总是在(0,0)？为什么总是关于y

轴对称？”引导学生从解析式y=ax²

分析：当x=0

时，y=0

，故必过原点；因为(-x)²=x²

，所以函数值y

在x

和-x

处相等，这意味着图象上关于y

轴对称的两点纵坐标相同，故图象关于y

轴对称。

14.23.增减性与最值：

1.15.24.师：“对于开口向上的抛物线（如y=x²

），在对称轴左侧（x<0

），y

随x

的增大如何变化？在右侧呢？”

2.16.25.学生观察图象趋势回答：左侧，y

随x

增大而减小；右侧，y

随x

增大而增大。

3.17.26.师：“那么，在整个变化过程中，函数值在什么时候取得最小值？最小值是多少？”

4.18.27.学生回答：在顶点x=0

处取得最小值y=0

。

5.19.28.同理，分析开口向下的抛物线（如y=-x²

）的增减性和最大值。

6.20.29.引导学生用精炼的语言总结：当a>0

时，在对称轴左侧，y

随x

增大而减小；在对称轴右侧，y

随x

增大而增大；顶点是图象的最低点，函数有最小值。当a<0

时，情况相反。

21.30.动态验证：

1.22.31.教师运用动态几何软件，现场拖动参数a

的滑杆，让学生实时观察随着a

值连续变化（正负、大小），抛物线开口方向、大小、陡峭程度发生的动态、连续的变化。这一可视化过程能将静态的结论动态化、具体化，极大地加深学生的理解，尤其是对|a|

影响开口大小的直观感受。

2.23.32.设计意图：本环节是学生知识建构的核心。通过搭建结构化的观察框架，引导学生进行有目的、有层次的探究。教师的追问和引导是关键，旨在帮助学生将感性的观察上升为理性的规律，并理解规律背后的数学原理（如对称性源于解析式的特性）。动态软件的运用，将多个离散的个案联系成连续变化的整体，帮助学生形成关于参数a

影响的完整、动态的认知图式，有效突破教学难点。

第四阶段：形成结构，巩固应用（预计用时：12分钟）

活动四：梳理整合，小试牛刀

1.知识结构化：

师生共同完成一份完整的性质总结表（或思维导图）。鼓励学生用自己的语言复述y=ax²

的性质。教师板书核心结论，强调a

的“符号定方向，绝对值定大小”的核心作用。

2.梯度练习，巩固理解：

出示一组由易到难、层次分明的练习题。

1.3.层次一（识别与判断）：

1.2.4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：y=3x²

,y=-5x²

,y=0.1x²

。

2.3.5.已知抛物线y=ax²

开口向下，则a

___0；已知抛物线y=ax²

开口比y=4x²

更宽，则|a|

___4。

4.6.层次二（简单应用）：

1.5.7.不画图，比较y=3x²

与y=4x²

两个函数图象的开口大小。

2.6.8.函数y=-2x²

，当x>0

时，y

随x

的增大而___；当x=___

时，函数有最___值，是___。

7.9.层次三（逆向思维与综合）：

1.8.10.写出一个开口向上，且开口比y=½x²

更窄的二次函数解析式。

2.9.11.点A(-2,m)在抛物线y=ax²

上。（1）若a=1

，求m的值；（2）若点B(2,n)也在此抛物线上，比较m和n的大小，并说明理由。

10.12.学生独立完成或简短讨论后回答。教师及时反馈，纠正错误理解，特别是对“开口大小”比较中可能出现的混淆。

13.回归生活，初步建模：

出示一个简单实际问题：“一个正方形的面积S

与其边长a

的关系是S=a²

。这里S

是a

的函数吗？如果是，它的图象是我们今天学的哪种抛物线？开口方向如何？这个图象在实际问题中（a>0

）有意义的部分是哪一支？”

1.14.设计意图：通过梳理形成结构化的知识网络，帮助学生从整体上把握所学内容。分层练习旨在巩固双基，并让不同层次的学生都能获得成功的体验，同时通过逆向思维题和综合题，锻炼学生的灵活应用能力。最后回归生活问题，完成从“生活—数学—生活”的循环，体现数学的应用价值，并自然引出自变量取值范围的问题，为后续学习做铺垫。

第五阶段：反思总结，布置作业（预计用时：5分钟）

活动五：收获盘点与延伸

1.反思与分享：

1.2.师：“通过这节课的探索，你收获了哪些知识？掌握了哪些研究函数的方法？在合作学习中有什么体会？”

2.3.邀请2-3名学生分享学习心得。教师从知识、方法、情感三个维度进行提炼和升华。

3.4.教师总结强调：“今天我们通过‘描点作图、观察对比、归纳概括’的方法，研究了最简单的二次函数y=ax²

。我们发现，一个简单的系数a

，竟然决定了抛物线如此丰富的特征。这就是数学的简洁与力量。而‘数形结合’是我们探索函数奥秘的利器。”

5.分层作业布置：

1.6.必做题（夯实基础）：

1.2.7.课本课后练习题（与性质直接相关部分）。

2.3.8.在同一坐标系中，用描点法画出y=½x²

和y=-2x²

的图象，并对照图象口头描述它们的性质。

4.9.选做题（拓展探究）：

1.5.10.（实践操作）利用动态数学软件（如GeoGebra），探索当a

取不同值时，y=ax²

图象的变化，验证并深化课堂结论。

2.6.11.（思考探究）抛物线y=ax²

与我们已经学过的直线y=kx

（正比例函数）相比，在增长方式上有什么根本性的不同？试举例说明。

7.12.设计意图：引导学生进行反思，促进元认知发展，将知识内化并提升到方法论的高度。分层作业尊重学生个体差异，让学有余力的学生能进行更深度的探索和思考，保持数学学习的挑战性和趣味性。

七、板书设计

（左侧主板）

二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质

一、图象：抛物线

1.对称轴：直线x=0(y轴)

2.顶点：(0,0)

二、性质：由a决定

1.开口方向：

1.2.a>0→开口向上

2.3.a<0→开口向下

4.开口大小：

1.5.|a|越大→开口越小（越陡）

2.6.|a|越小→开口越大（越缓）

7.增减性与最值：

1.8.a>0：左减右增；顶点是最低点，y有最小值0。

2.9.a<0：左增右减；顶点是最高点，y有最大值0。

（右侧副板）

1.研究路径：实例→列表→描点→连线→观察→归纳。

2.核心思想：数形结合、从特殊到一般。

3.关键：符号定方向，绝对值定大小。

4.学生探究成果展示区（预留空白，用于粘贴或投影学生作图）。

八、教学评价设计

本节课的评价贯穿于教学全过程，采用多元化的评价方式，旨在全面考察学生的学习状态和达成度。

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：教师通过巡视和倾听，评