五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(新疆专用)16：解直角三角形（教师版）

专题16解直角三角形（解析版）1．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：实验主题测量校徽的高度工具准备测角仪，卷尺等实验过程1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）；2．测量A，D两点和B，D两点间的距离；3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角；4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离；5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角．实验图示测量数据1．2．3．4．5．备注1．图上所有点均在同一平面内；2．均与地面垂直．参考数据：，，；，，．请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值．【答案】【解析】解：由题意得，四边形，四边形为矩形，∴，，∵在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，答：校徽的高度为．2．（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：（1）准备测量工具①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；②皮尺．（2）实地测量数据①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）；②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为，眼睛到地面的距离为．（3）计算旗杆高度①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为；②根据测量数据，画出示意图4，，求旗杆的高度（精确到）；（参考数据：，，，，，）③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法．【答案】①；②；③不能，见详解【解析】解：①如图：由题意得，∴；②由题意得：，，，∴在中，，∴，∴，∴，答：旗杆的高度约为；③不能，若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图：若使用的三角板，可以把三角板的角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图：3．（2023·新疆·中考真题）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度米的A处，测得烽燧的顶部C处的俯角为，测得烽燧的底部B处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（参考数据：，，，，，）

【答案】米【解析】解：过点A作的平行线交的延长线于点G，过点C作，如图所示：

根据题意得：四边形为矩形，，∴，∴，∵，∴米，∴米．【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．4．（2022·新疆·中考真题）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．（参考数据：）【答案】这栋楼的高度为：米【解析】解：过A作于E，∴由依题意得：，和中，∵，∴，∴∴这栋楼的高度为：米．5．（2021·新疆·中考真题）如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15m的D处观测广告牌顶部A的仰角为，观测广告牌底部B的仰角为，求广告牌AB的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，）．【答案】2.6m【解析】在Rt△ACD中，AC=(m)在Rt△BCD中，BC=(m)∴AB=AC-BC=11.25-8.65≈2.6(m)即广告牌AB的高度约为2.6m．【点睛】本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，题目较简单，运用正切函数的定义即可解决．6．（2025·吐鲁番市·中考模拟）如图，在菱形中，菱形的周长为20，，垂足为E，，则的长是．

【答案】3【解析】解：菱形的周长为20，，，，在中，，，故答案为：3．7．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，则．【答案】/【解析】解：设，，，，，垂直平分线段，，，故答案为：．8．（2025·乌鲁木齐十三中·三模）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶处距地面的高度为50米（图中点均在同一平面内）．(1)求两楼之间的距离（结果保留根号）；(2)求大厦的高度（结果取整数）．（参考数据：）【答案】(1)两楼之间的距离为米；(2)大厦的高度为115米【解析】（1）解：如图，作于点E，则，

由题意知，，，故，即两楼之间的距离为米；（2）解：由题意知，四边形是矩形，，，中，，，，即大厦的高度为115米．9．（2025·乌鲁木齐经开区·初中学业水平监测）如图1，公园的湖心亭是中国传统建筑艺术的瑰宝，白天，小刚家楼顶恰好能看到湖心亭及其在湖水面的倒影，如图2所示，小刚利用测角仪在楼顶A处测得湖心亭顶端C的俯角测得湖心享顶端C在水面倒影E处的俯角．已知：点A到湖面的距离．，，C，D，E三点共线，.求湖心亭的高度.（光线的折射忽略不计，结果精确到．参考数据：）【答案】39m于的方程，解方程即可得出结论．【解析】解：延长，交水平线于点，如图，由题意得：，，，四边形为矩形，，设望江楼的高度，则，，在中，，，，，在中，，，，，，湖心亭的高度大约米．10．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）年4月日是第个世界读书日．某学校为了解决师生在校园内露天阅读、交流讨论时遮阳避雨的需求，学校在图书馆外的休闲阅读区安装了一组可调节角度的遮阳篷．如图是遮阳篷的截面示意图，遮阳篷一端固定在图书馆二楼窗台下方（记为点），另一端斜向下延伸至点．已知遮阳篷的长度为米，与水平面的夹角为．(1)求点到墙面的距离；(2)当太阳光线与水平线的夹角为时，量得为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（参考数据：，，）【答案】(1)点到墙面的距离为米；(2)遮阳篷靠墙端离地高的长米【解析】（1）解：过点作，垂足为，遮阳篷的长度为米，与水平面的夹角为．（米）．点到墙面的距离为米．（2）解：过点作，垂足为，由题意可得四边形为矩形，，米，米，米，在中，，米，米，在中，米，米．遮阳篷靠墙端离地高的长米．11．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机．如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，并画了测量示意图．已知，风力发电机垂直于地平面，斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为．（参考数据：，，）(1)填空：_____；(2)求该风力发电机塔杆的高度．【答案】(1)；(2)该风力发电机塔杆的高度约为米．【解析】（1）解：，理由如下：如图：过点作，垂足为，由题意得：，，，，.故答案为：；（2）解：如图，延长交于点，由题意得：，米，，，∴，在中，，米，(米)，设米，在中，，∴(米)，在中，，，(米)，，，解得：，米，米，(米)，答：该风力发电机塔杆的高度约为米．12．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）2025年1月7日凌晨4点，长征三号乙火箭携尾焰腾空巨响，将实践二十五号卫星送入预定轨道．这一伟大时刻，凝聚着无数航天人的智慧与汗水，承载着中华民族对宇宙探索的梦想与追求．如图，运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，地面处的雷达站测得，秒后，火箭竖直上升到达点处，此时地面处的雷达测得处的仰角，，，在同一直线上，已知，，求火箭从到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)

【答案】火箭从到处的平均速度为【解析】解：在中，．(，，，在中，，，(，火箭从到处的平均速度()．答：火箭从到处的平均速度为．13．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）酒泉肃州钟鼓楼位于甘肃省酒泉城中央，是凝聚了古代肃州劳动人民智慧结晶的标志性建筑．为传承酒泉文明、弘扬民族精神，某校综合与实践小组开展了测量钟鼓楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．测量钟鼓楼高度的实践报告活动课题测量钟鼓楼高度活动目的运用三角函数知识解决实际问题活动工具测角仪、皮尺等测量工具方案示意图测量步骤如图②，（1）利用测角仪站在B处测得钟鼓楼最高点P的仰角为；（2）前进了16米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得钟鼓楼最高点P的仰角为．参考数据，，，，，计算钟鼓楼的高度．（结果保留整数）【答案】钟鼓楼的高度约为27米【解析】解：由题意得，米，设米，则，在中，，在中，，∴，解得米，∴米，答：钟鼓楼的高度约为27米．14．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）果子沟大桥是穿越伊犁峡谷高山的空中巨龙，被誉为新疆最美大桥．已知大桥主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度．（结果精确到，参考数据：，）【答案】207.4米【解析】解：在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴主塔的高度约为．15．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）某数学兴趣小组用无人机测量乌鲁木齐市红山塔的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得红山塔顶端A的俯角为，再将无人机面向红山塔沿水平方向飞行到达Q点，测得红山塔顶端A的俯角为，求红山塔的高度约为多少？（结果保留一位小数）（参考数据：，，）【答案】【解析】解：延长交于点C，如图，由题意得：，，设，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，解得：，∴，∴，故答案为：．16．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，为了测量此展板的最高点A到地面l的高度．绘制了如图2所示的展板侧面的截面图（底座高度忽略不计），并测得，，与水平线的夹角，与水平线的夹角，请求出展板最高点A到地面l的距离（精确到1cm，参考数据：，，，，，）【答案】【解析】解：如图所示，在中，，∵∴在中，，∵∴∴A到地面l的距离为．17．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图①是某型号抽油机，俗称磕头机，是一种用于开采石油的机械设备，其核心特点是通过游梁、连杆、曲柄机构带动驴头实现往复运动，利用曲柄重块平衡载荷，驱动抽油杆上下运动以抽取原油．图②是磕头机在某时刻工作的示意图，若是抽油杆，是驴头，是游梁，是支架，支架与游梁的夹角．点在点的北偏东方向测得，，．求抽油杆顶端到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，）【答案】抽油杆顶端距地面高度约是9.5米【解析】解：如图，过作交的延长线于，交的延长线于．∵，∴四边形是矩形，∴，∴．∵∴（米）答：抽油杆顶端距地面高度约是9.5米．18．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）雅玛里克山位于乌鲁木齐西侧，经过10年的建设已是绿树成荫，东可望白雪皑皑的博格达峰，西可赏赤火通红的西山落霞．某数学“综合与实践”小组的同学在学完了三角函数知识后，把“测量雅玛里克山青塔的高度”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．为了减小测量误差，小组在测量仰角以及两点间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如表：课题测量雅玛里克山青塔的高度实物图

成员组长：×××组员：×××，×××，×××测量工具卷尺，测角仪⋯测量示意图

说明：表示青塔最高点到地面的竖直距离，测角仪的高度，点C、F与点B在同一直线上，点C、F之间的距离可直接测得，且点A、B、C、D、E、F在同一平面内．测量数据测量项目第一次第二次平均值α的度数35.95°36.05°36°β的度数45.09°44.91°45°C、F之间的距离******请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求雅玛里克山青塔的高度．（结果精确到，参考数据：）【答案】雅玛里克山青塔的高度约为【解析】解：设交于G．由题意，得，，在中，，，在中，，，∴答：雅玛里克山青塔的高度约为．19．（2025·乌鲁木齐兵一·模拟预测）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，求大楼AB的高度是多少？(精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)【答案】米【解析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度∴设BH=x米,则米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：解得：x=6，∴BH=6米,米，∴BG=GH−BH=15−6=9(米),(米)，∵∴∴△AEG是等腰直角三角形，∴(米)，∴(米).故大楼AB的高度大约是39.4米.20．（2025·乌鲁木齐·三月学业测试）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

(1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示；(2)为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往永州市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观所震撼，想知道纪念碑的高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．如图3，他们在地面的B点用测角仪测得碑顶A的仰角为，在C点处测得碑顶A的仰角为，已知，（B，C，D在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的高．（，，）【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：如图所示：由题意知在中，，则，即∴；（2）解：由题意可得：，在中，，由等腰直角三角形性质得到，在中，，由，即，解得：，检验：把代入中，，所以是方程的解，∴烈士纪念碑的高为．21．（2025·乌鲁木齐兵一·三模）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，，，，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）【答案】m【解析】解：由题意得：BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，设CF＝x，∴CD＝CF+DF＝（x+3），在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m），在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，∴tan31°，∴x＝6，经检验：x＝6是原方程的根，∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），∴凉亭AB的高约为6.9m．22．（2025·吐鲁番·三模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）

（1）求屋顶到横梁的距离；（2）求房屋的高（结果精确到）．【答案】（1）4.2米；（2）14米【解析】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，

∴，，．在中，，，∵，，．∴（米）答：屋顶到横梁的距离约是4.2米．（2）过点作于点，设，在中，，，∵，∴，在中，，，∵，∴．∵，∴，∵，，解得．∴（米）答：房屋的高约是14米．23．（2025·吐鲁番·二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

(1)求的长．(2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：如图，过点B作于点E，在中，∴，在中，，，∵，∴．答：．

（2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，在中，，∴，∴，在中，,∴，∴，∴，即云梯大约旋转了．

24．（2025·吐鲁番·中考模拟）年月日是我国第个“全国消防宣传日”，该年“消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”．为落实该主题，济南市消防大队到建东小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩（），且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为（），转动点距离地面的高度为．(1)当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点距离地面的高度；(2)已知该小区层高为，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）【答案】(1)云梯消防车最高点距离地面的高度为；(2)该消防车能有效救援层【解析】（1）解：如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，，∵，∴，在中，，，∴（），∴（），∴云梯消防车最高点距离地面的高度为．（2）解：该消防车能有效救援层，理由如下，当，时，能达到最高高度，∵，∴，在中，，∴（），∴（），∵，∴该消防车能有效救援层．25．（2025·吐鲁番·一模）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，）

【答案】32m【解析】解：过点作于点，作于点

由题意得：，在中，，，，四边形为矩形，，，，在中.，答：该风力发电机塔杆的高度为.26．（2025·新疆昌吉·一模）头屯河大桥是连通乌昌的交通要道．某数学小组想利用无人机测量头屯河大桥桥面距水面的高度，制定了如下测量方案：当无人机位于水面上方62米的N处时，测得桥面正中心A的俯角为，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为，并抽象出如图所示的数学图形．请利用以上信息求头屯河大桥桥面距水面的高度．（参考数据：，，）．【答案】23米【解析】解：延长交于点C，如图由题意得设米，则米在中∴在中，∵，∴∴解得：∴米，米答：头屯河大桥桥面距水面的高度为23米．27．（2025·喀什地区·三月学业测试）陈老师为了减轻颈椎压力，购买了一个笔记本支架（如图1），该支架可以进行多角度调节，从而调整笔记本的高度，图2是其示意图，其中，．陈老师调整支架、笔记本，得到一个自己感觉舒适的位置，测得，，求此时顶部边缘A处离桌面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）【答案】【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得：，，在中，，，，，，，，在中，，，，此时顶部边缘处离桌面的高度约为．28．（2025·喀什地区·四月学业测试）小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座的高为，，支架长为，面板长为，为（厚度忽略不计）．(1)求支点离桌面的高度．(2)当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足，当面板与桌面的夹角增大时，点离桌面的高度也随之增大，问当面板绕点转动过程中，点离桌面最大高度与最小高度的差是多少？（计算结果保留根号）【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：如图，过点C作于点F，过点B作于点M，则，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即支点C离桌面l的高度为；；（2）解：如图，过点C作，过E作于点H，则，∵，∴，当时，；当时，；∴当面板绕点C转动过程中，E离桌面l最大高度与最小高度的差是．29．（2025·喀什地区·三模）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．【答案】这栋楼高为40米【解析】解：过点B作交于点E，由题意知，．在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴（米）．答：这栋楼高为40米．30．（2025·新疆喀什·二模）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为5米，坡面的斜面坡度为，为了方便行人推车过天