五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(新疆专用)17：函数与应用（教师版）

专题17函数与应用（解析版）1．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式；(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．【答案】(1)；(2)能安全通过，见解析【解析】（1）解：由题意得，顶点为，即，设抛物线的解析式为：代入点得，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：能安全通过，理由如下：如图，由题意得：，将代入，则，∵，∴能安全通过．2．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．(1)求出成本关于销售量x的函数解析式；(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本）【答案】(1)(2)销售产品所获利润是万元；(3)当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元；【解析】（1）解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．∴设抛物线为：，把代入可得：，解得：，∴抛物线为；（2）解：∵，∴当时，成本最小值为，∴，∴销售产品所获利润是（万元）；（3）解：设销售利润为万元，∴，当时，获得最大利润，最大利润为：（万元）；3．（2023·新疆·中考真题）随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：超市超市优惠方案所有商品按八折出售购物金额每满元返元(1)当购物金额为元时，选择超市______（填“”或“”）更省钱；当购物金额为元时，选择超市______（填“”或“”）更省钱；(2)若购物金额为（）元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？(3)对于超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为%（注：）．若在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．【答案】(1),(2)，，当或时选择超市更省钱，当时，选择超市更省钱(3)不一定，理由见解析【解析】（1）解：购物金额为元时，超市费用为（元）超市费用为80元，∵，∴当购物金额为80元时，选择超市更省钱；购物金额为元时，超市费用为（元）超市费用为元∵，∴当购物金额为130元时，选择超市更省钱；故答案为：,．（2）解：依题意，，当时，超市没有优惠，故选择超市更省钱，当时，解得：∴当时，选择超市更省钱，综上所述，或时选择超市更省钱，当时，选择超市更省钱，当时，两家一样，综上所述，当或时选择超市更省钱，当时，选择超市更省钱；（3）在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大，例如：当超市购物元，返元，相当于打折，即优惠率为，当超市购物元，返元，则优惠率为，∴在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大，4．（2022·新疆·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，如图是甲，乙行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题：(1)填空：甲的速度为___________；(2)分别求出与x之间的函数解析式；(3)求出点C的坐标，并写点C的实际意义．【答案】(1)60(2)，(3)点C的坐标为，点C的实际意义为：甲出发时，乙追上甲，此时两人距A地【解析】（1）解：观察图象，由甲先出发可知甲从A地到B地用了，∵A，B两地相距，∴甲的速度为，故答案为：60；（2）解：设与x之间的函数解析式为，将点，代入得，解得，∴与x之间的函数解析式为，同理，设与x之间的函数解析式为，将点，代入得，解得，∴与x之间的函数解析式为；（3）解：将与x之间的函数解析式联立得，，解得，∴点C的坐标为，点C的实际意义为：甲出发时，乙追上甲，此时两人距A地．5．（2021·新疆·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）判断点是否在一次函数的图象上，并说明理由；（3）直接写出不等式的解集．【答案】（1），；（2）在，理由见解析；（3）或【解析】解：（1）将点代入反比例函数中，得，∴反比例函数解析式为；将点代入，得-a=6，∴a=-6，∴，将点、代入一次函数中，得，∴，∴一次函数的解析式为；（2）点P在一次函数的图象上．理由：当x=-2时，，∴点P在一次函数的图象上；（3）由图象可知：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，∴当或时．6．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）我国新能源汽车发展迅猛，公共充电桩建设也快速推进．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点的坐标为，若一辆厢式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长，高的矩形．(1)求该二次函数的表达式．(2)判断此纯电货车______（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由．(3)为确保在车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？【答案】(1)；(2)不能，理由见解析；(3)抬起的高度至少需要大于米．【解析】（1）由题意得：，则抛物线的表达式为：，将点B的坐标代入上式得：，解得，则抛物线的表达式为：；（2）不能，理由：由题意得，点F的横坐标为，当时，，故纯电货车不能完全停到车棚内，故答案为：不能；（3）设提高n米，则新抛物线的表达式为：，由题意得，车最左上端对应中的横坐标为，当时，，则符合要求，当时，，则，故抬起的高度至少需要大于米．7．（2025·乌鲁木齐经开区·初中数学学业水平监测）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化．经市场调查发现，某种灯笼的进价为40元/对，售价为50元/对，每天可售出200对．若售价每提高1元，则每天少售出5对．设该种灯笼每对涨价x元（x为正整数），每天的销售量为y对，每天的销售利润为w元．(1)求y关于x的函数解析式；（不需要写出自变量x的取值范围）(2)当该种灯笼的销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)(2)65元；3125元【解析】（1）解：∵设该种灯笼每对涨价x元（x为正整数），每天的销售量为y对，某种灯笼的进价为40元/对，售价为50元/对，每天可售出200对．若售价每提高1元，则每天少售出5对．∴（2）解：∵设该种灯笼每对涨价x元（x为正整数），每天的销售量为y对，每天的销售利润为w元．∴∵∴开口向下，当时，有最大值且把代入得出此时售价为（元）即当该种灯笼的销售单价为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．8．（2025·乌鲁木齐·五月学业测试）已知抛物线的对称轴为直线．

(1)求抛物线的顶点坐标；（用含a的代数式表示）(2)若点，在抛物线上，试比较与的大小；(3)若，与其对应的函数的最大值为，求b的值．【答案】(1)；(2)①当时，；②当时，；(3)【解析】（1）解：∵抛物线的对称轴为，即∴∴，∴抛物线的顶点坐标为（2）解：①当时.抛物线开口向上，抛物线上距其对称轴越远的点，纵坐标越大.∵抛物线的对称轴为直线.由，知：②当时.抛物线开口向下，抛物线上距其对称轴越远的点，纵坐标越小.∵抛物线的对称轴为直线.由，知：（3）解：①当时.在抛物线对称轴的左侧，随增大而减小.∵在对称轴的左侧∴当时，有最大值为：∵，∴，∴，解得：，∴，不符合要求，舍去②当时.在抛物线对称轴的左侧，随增大而增大.∵在对称轴的左侧∴当时，有最大值为：解得：.综上，.9．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）2025年春晚小品《借伞》中出现的伞是一种西湖竹骨绸伞．经市场调查发现，其售价（元/件）、销售量（件）和销售利润（元）的三组对应值如表所示：售价（元/件）505676销售量（件）1008848销售利润（元）100014081728(1)求销售量关于售价的函数解析式；(2)求销售利润关于售价的函数解析式，并求出销售利润的最大值．【答案】(1)(2)；当售价是元时，最大利润是元.【解析】（1）解：设一次函数解析式为，根据题意，得，解得所以与的函数表达式为，当时，，∴所求函数解析式为：．（2）解：由题意可得：进价为（元/件），∴，经检验：当函数解析式符合表格数据；∴当元时，销售利润最大，最大利润为元．10．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）（1）解方程：；（2）为促进学生全面发展，某学校在春假期间组织学生开展研学活动，从学校乘坐大巴车出发，前往目的地进行研学活动．大巴车出发小时后，学校派轿车以千米时的速度沿相同路线追赶大巴车．两车距离学校的路程千米与大巴车行驶的时间(小时)的对应关系，如图所示．①大巴车的速度为_______千米时；②轿车出发多长时间后追赶上大巴车？【答案】（1）；（2）①；（2）轿车出发小时后追赶上大巴车【解析】解：（1）方程两边同乘以，得：，解得，检验：时，，是原分式方程的解．（2）①大巴车的速度为千米小时．故答案为：．②设轿车出发小时后追赶上大巴车，则解得．答：轿车出发小时后追赶上大巴车．11．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，是一段坡比为的斜坡，在斜坡上修建两面水平距离为20米的墙（墙体均与水平面垂直），每面墙的高度均为3米（米）．某农业种植公司计划在A，B两点之间搭建一个横截面为抛物线形状的温室大棚，用于种植菊芋．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙的水平距离x（米）之间的函数关系式为(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)为了维持大棚内合适的光照、湿度和温度，要求斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值不能超过6米（直线轴，且分别交抛物线和线段于点D，E，斜坡与抛物线之间的竖直距离即为DE的长），请问搭建的温室大棚是否满足要求？请说明理由．【答案】(1)；(2)搭建的温室大棚满足要求，理由见解析【解析】（1）解：如图：延长交x轴于点G，∵斜坡的坡比为，，∴，∵，∴，∴，将点代入中，得：，解得：，∴该抛物线对应的函数表达式为．（2）解：搭建的温室大棚满足要求，理由如下：设直线对应的函数表达式为，将代入中，得，解得：，∴直线对应的函数表达式为，设点则，∴当时，的最大值为∴搭建的温室大棚满足要求．12．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）根据以下素材，探索完成任务：如何调整篮球的投球高度素材1如图是小亮投球示意图的一部分，小亮距离篮圈中心距离（水平距离），篮圈距地面高度．小亮站在处投球，球出手时离地面，篮球运动的路线是抛物线的一部分．素材2如图，点为篮球出手位置，当篮球运动到最高点E时，高度为，即，此时水平距离，以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系．

问题解决任务1篮球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此球能否投至篮圈中心？任务2小亮出手时起点不变，运动路线的顶点不变，小亮出手的高度距地面多少米时能将篮球投至篮圈中心？【答案】任务1：，不能；任务2：小亮出手的高度距地面米时能将篮球投至篮圈中心【解析】解：任务1．由题意得：抛物线的顶点坐标为：，∴设抛物线的解析式为，∵经过点，∴，解得：，∴篮球运动的高度与水平距离之间的函数关系式为，当时，，∵，∴此球不能投至篮圈中心；任务2．当时，篮球才能投至篮圈中心，设抛物线解析式为：，∵过，∴，解得：，∴抛物线解析式为：，当时，，∴，答：小亮出手的高度距地面米时能将篮球投至篮圈中心．13．（2025·乌鲁木齐水磨沟区·一模）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？【答案】(1)，球不能射进球门；(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门【解析】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把点代入，得，解得，∴抛物线的函数表达式为，当时，，∴球不能射进球门；（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入得，解得（舍去），，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．14．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）一男生在体育课上进行投掷实心球测试，实心球的运动轨迹可以近似看成一条抛物线．通过测量他在投掷中球脱手时的高度为，当球运动的水平距离为时，达到最大高度．(1)求实心球运动路线的函数表达式；(2)在实心球测试中，男子满分标准为，这位同学的本次投掷成绩能否满分，并说明理由．【答案】(1)；(2)这位同学本次投掷成绩不能满分，理由见解析【解析】（1）解：解：设抛物线的表达式为，∵当球运动的水平距离为时，达到最大高度，∴，，又∵球脱手时的高度为，此时，，∴，即，解得，∴抛物线表达式为．（2）解：这位同学本次投掷成绩不能满分，理由如下：当时，，即，∴，解得，（舍去），∵，∴这位同学本次投掷成绩不能满分．15．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在正方形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接，．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为．(1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系图②中，画出函数的图象；(3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围．【答案】(1)(2)图见解析(3)当时，函数的图象与直线有两个交点【解析】（1）解：①解：由题意知，，，当时，点P在上，，当时，点P在上，，，综上可得：；（2）解：根据（1）中解析式列表得：x24568y81615120作图如下：（3）如图，当过点时，，此时与的图象只有一个交点，当过点时，，此时与的图象只有一个交点，当时，与的图象有2个交点；故．16．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2025年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元．

(1)求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x之间的函数解析式；(2)设2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？【答案】(1)(2)甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为42000元【解析】（1）解：当时，设，由图象经过点和可得：，解得；∴；当时，；∴；（2）解：①当时，∴抛物线对称轴为直线，∴当时，W取最小值42000元；②当时，，∴当时，W取最小值为（元）；∵，∴甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为42000元．17．（2025·乌鲁木齐兵一·模拟预测）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米(1)求抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙；【答案】(1)；(2)石块能飞越防御墙【解析】（1）∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，∴抛物线解析式为：，将点代入，得，解得：，∴抛物线解析式为，，即；（2）∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米，∴，当时，，∴石块能飞越防御墙．18．（2025·乌鲁木齐·三月学业测试）某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系如图所示．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)物价部门规定每件商品的利润率不得超过50%，那么将该商品售价定为多少元时，每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)；(2)将售价定为每件115元时利润最大，最大利润为1225元【解析】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，代入点，得，，解得：，，每件成本为80元，销量，，；（2）解：设每天销售该商品的利润为W元，，，又由题意可得，，解得，，当时，W有最大值，最大值为1225元．答：将售价定为每件115元时，每天获得的利润最大，最大利润为1225元．19．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图1，抛物线过点，点．(1)求抛物线的表达式；(2)点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值；(3)如图2，点，连接，将抛物线的图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，直接写出的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）解：∵过点、∴解之得∴抛物线的表达式为；（2）解：∵点C在抛物线上，点C的横坐标为h∴∵轴，∴点的纵坐标为，设直线表达式为：，∵点，点，∴，解得：，∴直线表达式为，把代入得∴点∴∵点C为直线下方的抛物线上一动点∴∴当时，的最大值为；（3）解：设的解析式为∵直线过点、∴解之得∴直线的解析式为当时，，直线对应点为，当时，，直线对应点为．设抛物线的图象向上平移个单位得到抛物线为当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个公共点，如图：当抛物线经过点时，有抛物线与线段两个公共点．如图此时：，∴当抛物线与直线有唯一的公共点时，如图：解之得∴当时，若抛物线与直线有两个交点，m的取值范围为．20．（2025·吐鲁番市·三模）【问题背景】2025年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．【素材呈现】素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．【问题解决】(1)问题一：求出两种书架的单价；(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．【答案】(1)1200元；1000元(2)；购买A种书架8个，B种书架12个(3)120【解析】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．由题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意，．答：两种书架的单价分别为1200元，1000元．（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用，即，由题意得，a应满足：，解得．，∴w随着a的增大而增大，当时，w的值最小，最小值为，费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．（3）解：由题意得，解得．21．（2025·吐鲁番市·二模）某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．(1)若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？(2)若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？【答案】(1)每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元(2)购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大【解析】（1）解：设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，，答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；（2）解：设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，根据题意得：，解得：，设商店共获利w元，则，即，，∴w随m的增大而增大，且，∴当时，w取得最大值，答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大．22．（2025·吐鲁番市·模拟预测）如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落入篮球框内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离m．以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，篮球框的中心D的坐标为，对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C．(1)求抛物线的表达式，(2)求点O到所在直线的距离及点B到地面的距离．【答案】(1)；(2)m，m【解析】（1）解：，点，．将点代入，解得，抛物线的表达式为．（2）解：抛物线的表达式为，对称轴为直线，点O到所在直线的距离为m．当时，，点B到地面的距离为m．23．（2025·吐鲁番市·一模）某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）．

(1)分别求出y与x，W与x的函数解析式；(2)当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价；(3)为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？【答案】(1)，(2)20元/件或30元/件(3)商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元【解析】（1）解：由题意可设，

则解得，所以．所以，，即．（2）解：由题意可得，．解得．答：该商品的定价是20元/件或30元/件．（3）解：因为，由二次函数图象性质可知，W有最大值．当时，（元）．答：商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元．24．（2025·吐鲁番市·一模）设二次函数（m为常数）的图象为f．【特例感悟】（1）当，时，二次函数（m为常数）的最小值是______、最大值是______；【类比探索】（2）当直线与图象f在第一象限内交A、B两点（点A在点B的左边），A点横坐标a，点B的横坐标b，，求在范围内二次函数（m为常数）的最大值与最小值的差；【纵深拓展】（3）①不论m为何实数时，图象f一定会经过一个定点，求出这个定点坐标；②当时，二次函数（m为常数）的最大值为9，那么图象f的对称轴与x轴的交点横坐标会大于0小于2吗？试说明你的理由，并指出满足条件的对称轴与定点之间的距离．【答案】（1）；（2）最大值与最小值的差为；（3）①定点坐标为；②当时，图象的对称轴与轴的交点横坐标不能大于0小于2．理由见详解，定点分别到直线、的距离都是2．【解析】解：（1）当，时，，函数的对称轴为直线，则，当时，，故答案为：，；（2）依题意得：，整理得，故，是其两实根，，；又，故，整理得，解得，（不合题意）；，，图象的对称轴为，当时，随增大而增大，当，且时，，当时，，．最大值与最小值的差为．（3）①，当时，无论为何实数，都有，即定点坐标为；②当时，图象的对称轴与轴的交点横坐标不能大于0小于2．理由：，图象的对称轴为，当时，抛物线开口向上，在时，随的增大而减小，函数在时随的增大而增大，当时，有最大，，解得，抛物线对称轴为，当时，有最大，，解得，抛物线对称轴为，图象的对称轴与轴的交点横坐标不在大于0小于2的范围内．由于抛物线开口向上，对称轴为直线时，函数在时随的增大而增大，当时，有最大，，解得，抛物线对称轴为符合题意，当对称轴为时，函数在时随的增大而减小，当时，有最大，，解得，抛物线对称轴为符合题意，定点分别到直线、的距离都是2．25．（2025·昌吉·一模）某批发市场批发甲，乙两种水果，经市场调查发现，甲种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足正比例函数关系，如图1；乙种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足二次函数关系，如图2；部分数据如图所示．(1)分别求，与x之间的函数表达式；(2)如果市场准备进甲，乙两种水果共10吨，求这两种水果各进多少吨时，获得的销售利润总和最大．【答案】(1)；(2)甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润之和最大【解析】（1）解：设，把，代入可得：，解得：，∴，设，∴，解得，∴，（2）解：设乙种水果进货m吨，则甲种水果进货吨，10吨水果销售利润之和为W万元，根据题意，，∵，∴当时，W的最大值为，∴，答：甲、乙两种水果分别进货4吨，6吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是万元．26．（2025·新疆喀什·模拟预测）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为米，距地面的竖直高度为米，现测得与的几组对应数据如下：水平距离0123456…垂直高度…小华根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；(2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米；(3)求出关于的函数关系式；(4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）【答案】(1)见解析；(2)；(3)；(4)【解析】（1）解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：，将以上坐标在下图中找出，并连接成光滑的曲线：（2）解：通过表中数据得知，当时水流最高，此时水流到达地面距离为米，（3）解：设二次函数解析式为，由（2）知，对称轴为，最高点为，∴顶点坐标为，∴，∴把代入中得：，解得：，∴抛物线表达式为：．（4）解：根据题意把代入中得：米．∴大理石雕塑的高度约为．27．（2025·新疆喀什·模拟预测）某工厂计划投资生产、两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图①所示：产品的利润（万元）与投资量（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．(1)请直接写出利润与关于投资量的函数关系式______，______；(2)如果工厂以9万元资金投入生产、两种产品，要求产品的投资金额不超过产品的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)；(2)投资A产品3万元，投资B产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元【解析】（1）解：设，点在该函数的图象上，，，，设，点在该函数图象上，，，，故答案为：，；（2）解：设投资产品万元，则投资产品万元，由题意可得：，解得：，该工厂能获得的利润为：，∵对称轴为，当时，利润随着的增大而减小，当时，取得最大值，最大值是，投资产品3万元，则投资产品6万元时，该工厂能获取最大利润，最大利润为33万元．28．（2025·喀什地区·三模）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．(1)直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围）(2)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？(3)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【答案】(1)s＝﹣t2+16t，v＝﹣t+16(2)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m(3)6秒时两车相距最近，最近距离是2m【解析】（1）解：由图可知：二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为，一次函数表达式为，二次函数经过，，，解得：，二次函数表达式为．一次函数经过，，，解得：，一次函数表达式为．故答案为：，；（2）解：，当时，，解得，，当时，，当甲车减速至9时，它行驶的路程是87.5；（3）解：当时，甲车的速度为16，当时，两车之间的距离逐渐变大，当时，两车之间的距离逐渐变小，当时，两车之间距离最小，将代入中，得，将代入中，得，此时两车之间的距离为：，秒时两车相距最近，最近距离是．29．（2025·喀什地区·二模）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C，∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把，分别代入，得，解得，∴抛物线的解析式为．（2）∵抛物线与x轴交于点A，∴，解得，，∴点A的坐标为，∴，，在中，，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴．（3）设点D的坐标为则点E的坐标为∴=∵，∴当时，线段DE的长度最大．此时，点D的坐标为，∵，∴点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时最小．连接CM交直线DE于点F，则，点F的坐标为，∴，∵∴的最小值．．30．（2025·新疆喀什·一模）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个40元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为元．(1)求与之间的函数关系式；(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于52元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？（取）【答案】(1)(2)销售单价定为60元时，每天的销售利润最大，最大利润是400元(3)销售单价应定为46元