完全平方公式的认识课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册1.3.3完全平方公式的认识第一章

整式的乘除学习目标1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式.2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.

从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗?

明明订购了一个6寸的大披萨，不久店员打电话告知6寸的披萨卖完了，问能否换购一个4寸和一个2寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？大披萨的面积：S=π·32=9π.小披萨的面积之和：S

=π·22

+π·12=5π.你发现了什么？

(2

+

1)2≠

22+12.所以不应该同意.【合作探究】观察下列算式及其运算结果，你有什么发现?(1)(m+3)2

=(m+3)(m+3)=________________=______________=______________.

(2)

(2

+3x)2=(2

+3x)(2

+3x)=______________________=____________________=______________.发现(a＋b)2=

.a2+2ab+b2m2+3m

+3m+9m2+2×3m

+9m2+6m

+922+2×3x

+2×3x+9x24

+2×2×3x

+9x24

+12x

+9x2探究点:完全平方公式aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：你能根据图中的面积解释完全平方公式吗?【想一想】探究点:完全平方公式(a－b)2=

？你是怎样做的？(a－b)2

=[a＋(－b)]2=a2＋2a(－b)＋(－b)2=a2－2ab＋b2(a－b)2

=(a－b)(a－b)=a2－2ab＋b2发现(a－b)2=

.a2－2ab+b2【议一议】探究点:完全平方公式(a－b)2=a2－2ab+b2请你设计一个图形解释这一公式.【做一做】探究点:完全平方公式a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2=(a−b)2a−baaabb(a−b)bb(a−b)2几何解释：(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2差的完全平方公式：a−b探究点:完全平方公式(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的

2倍.这两个公式叫作完全平方公式.

简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”完全平方公式【知识要点】探究点:完全平方公式

公式特征：1.积为二次三项式；2.积中的两项为两数的平方；3.另一项是两数积的2倍，且与原式中间的符号相同；4.公式中的字母

a，b可以表示数、单项式和多项式.探究点:完全平方公式例1

利用完全平方公式计算：解：(2x－3)2==4x2(1)(2x－3)2；(a－b)2=a2

－2ab+b2(2x)2－

2•(2x)•3+32－12x+9；探究点:完全平方公式(2)(4x＋5y)2；(2)(4x＋5y)2=(4x)2＋2•(4x)•5y＋(5y)2(a＋b)2=a2

＋2ab

＋

b2=16x2＋40xy＋25y2；(3)(mn－a)2.(3)(mn－a)2

=(mn)2－

2•mn•a＋a2=m2n2－2amn＋a2.探究点:完全平方公式1.利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.【练一练】探究点:完全平方公式思考：(a+b)2与

(-

a-

b)2

相等吗?(a-

b)2与(b-

a)2相等吗?(a-

b)2与

a2-

b2

相等吗?为什么?解：(-a-b)2=(-a)2-

2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.(b-a)2

=b2

-

2ba+a2

=a2

-

2ab+b2

=

(a-b)2.(a-b)2

与a2

-b2

不一定相等，只有当

b

=

0

或

a

=

b

时，(a

-

b)2

=

a2

-

b2.探究点:完全平方公式例2

如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求

m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2

方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．∴m＝59或－61.∴m＋1＝±60.∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y.＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，探究点:完全平方公式完全平方公式文字描述几何验证两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的2倍(a±b)2=a2±2ab＋b2多项式乘多项式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd符号表示c=a，d=b1.计算(m－n)2的结果是(

C

)A.

m2－n2B.

m2＋n2C.

m2－2mn＋n2D.

m2＋2mn＋n2C2.

下列各式利用完全平方公式计算正确的是（

）A.(x＋3)2＝x2＋9B.(－2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2C.(a－2b)2＝a2－2ab＋4b2D3.若(2x－3)2＝4x2＋kx＋9，则k的值是(

D

)A.

－6B.6C.12D.

－12D4.

如图所示的图形验证了一个等式，则这个等式是

⁠.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

5.

若a2＋ab＋b2＋M＝(a－b)2，则M＝

⁠

⁠.－3ab

(2)(－xy＋5)2；解：(1)原式＝x2－2xy＋y2.(2)原式＝x2y2－10xy＋25.

7.

已知ab＝2，求(2a＋3b)2－(2a－3b)2的值.解：原式＝4a2＋12ab＋9b2－(4a2－12ab＋9b2)＝24ab.当ab＝2时，原式＝24×2＝48.返回B1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是(

)A．(x－2y)(2y＋x)B．(x－2y)(－2y＋x)C．(x＋y)(y－x)D．(2x－3y)(3y＋2x)2．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则m，n的值为(

)A．m＝2，n＝3B．m＝－2，n＝－3C．m＝2，n＝－3D．m＝－2，n＝3B返回3.[教材P25习题T10(2)]若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(

)A．2 B．4 C．6 D．8返回【点拨】因为(x2＋9)(x＋3)(x－3)＝(x2＋9)(x2－9)＝x4－81，所以xn－81＝x4－81，所以n＝4.B4．填空：(1)(5m＋3n)(5m－3n)＝_________；(2)(－3x＋y)(－3x－y)＝________；(3)(2a＋b)________＝b2－4a2.25m2－9n2

返回9x2－y2(b－2a)5．已知9m2－n2＝24，且3m－n＝4，则3m＋n等于_____．返回6返回(2)a4－(1－a)(1＋a)(1＋a2)．【解】原式＝a4－(1－a2)(1＋a2)＝a4－(1－a4)＝2a4－1.7．化简(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2的结果为(

)A．4ab＋4bc

B．4acC．2ac

D．4ab－4bc【点拨】(a＋b＋