2025年考研数学公式大全pdf

2025年考研数学公式大全pdf

**一、函数、极限与连续**

函数是数学研究的基本对象，极限是微积分的理论基础，连续性是函数的重要性质。这一部分内容是考研数学的基础，也是后续学习的重要铺垫。

1.函数的概念与性质

函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。设变量x和y是两个实数集合A和B中的变量，如果对于每一个x∈A，按照某种法则f，都有唯一确定的y∈B与之对应，那么我们就称f是定义在A上的一个函数，记作f:A→B。其中x称为自变量，y称为因变量，A称为定义域，B称为值域。

函数的性质主要包括以下几个方面：

（1）单调性：如果对于定义域内任意两个数x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么函数f(x)在定义域上单调增加（或单调减少）。

（2）奇偶性：如果对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。

（3）周期性：如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意一个x，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)是周期函数，T是最小正周期。

（4）有界性：如果存在一个正数M，使得对于定义域内的任意一个x，都有|f(x)|≤M，那么函数f(x)是有界函数。

2.极限的概念与性质

极限是微积分的理论基础，它是描述函数在自变量变化过程中函数值的变化趋势。极限有数列极限和函数极限两种形式。

（1）数列极限：设{an}是一个数列，如果存在一个常数a，使得当n→∞时，数列{an}的项an无限接近于a，那么称数列{an}收敛于a，记作lim(an)=a。

（2）函数极限：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果当x→x0时，函数f(x)无限接近于一个常数A，那么称A是函数f(x)当x→x0时的极限，记作lim(f(x))=A。

函数极限的性质主要包括以下几个方面：

（1）唯一性：如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，那么这个极限是唯一的。

（2）局部有界性：如果函数f(x)当x→x0时的极限存在且为A，那么存在一个正数δ，使得当0＜|x-x0|＜δ时，|f(x)|≤M（M为某个正数）。

（3）保号性：如果函数f(x)当x→x0时的极限存在且为A，且A>0（或A<0），那么存在一个正数δ，使得当0＜|x-x0|＜δ时，f(x)>0（或f(x)<0）。

3.函数的连续性

连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在一点附近的变化情况。如果函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，且当x→x0时，函数f(x)的极限存在且等于f(x0)，那么称函数f(x)在点x0处连续。

函数的连续性具有以下几个性质：

（1）如果函数f(x)在点x0处连续，那么函数f(x)在点x0处一定有定义。

（2）如果函数f(x)在点x0处连续，那么当x→x0时，函数f(x)的极限存在且等于f(x0)。

（3）如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么函数f(x)在闭区间[a，b]上有界。

（4）如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么函数f(x)在闭区间[a，b]上一定能取得最大值和最小值。

4.闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数具有几个重要的性质，这些性质在数学中有着广泛的应用。

（1）最大值和最小值定理：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么函数f(x)在闭区间[a，b]上一定能取得最大值和最小值。

（2）介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)和f(b)异号，那么对于介于f(a)和f(b)之间的任何一个数c，都存在一个x0∈(a，b)，使得f(x0)=c。

（3）零点定理：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)和f(b)异号，那么存在一个x0∈(a，b)，使得f(x0)=0。

这些性质在考研数学中经常被用来证明一些结论，考生需要熟练掌握它们。

5.极限的计算方法

极限的计算是考研数学中的一个重要内容，常见的计算方法有以下几种：

（1）利用极限的定义：根据极限的定义，我们可以直接计算出一些简单的极限。

（2）利用极限的运算法则：极限的运算法则包括极限的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则和复合函数的极限法则。利用这些法则，我们可以计算出一些复杂的极限。

（3）利用等价无穷小替换：等价无穷小替换是计算极限的一个非常有效的方法。常见的等价无穷小有：当x→0时，sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln(1+x)～x，(1+x)^α-1～αx，1-cosx～(1/2)x^2，e^x-1～x等。

（4）利用洛必达法则：洛必达法则是计算“0/0”型和“∞/∞”型极限的一个非常有效的方法。洛必达法则的表述如下：如果函数f(x)和g(x)在点x0的某个去心邻域内可导，且g'(x)≠0，且lim(f(x)/g(x))是“0/0”型或“∞/∞”型，那么lim(f(x)/g(x))=lim(f'(x)/g'(x))，其中右侧的极限存在或为无穷大。

（5）利用泰勒公式：泰勒公式是将函数展开成多项式的一种方法，利用泰勒公式可以计算出一些复杂的极限。

（6）利用导数：利用导数可以计算出一些与函数的导数有关的极限，例如：如果函数f(x)在点x0处可导，那么lim(f(x)-f(x0))/(x-x0))=f'(x0)。

6.无穷小与无穷大

无穷小和无穷大是描述函数在自变量变化过程中函数值变化趋势的两个重要概念。

（1）无穷小：如果当x→x0（或x→∞）时，函数f(x)的极限为0，那么称函数f(x)是当x→x0（或x→∞）时的无穷小。

（2）无穷大：如果当x→x0（或x→∞）时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)是当x→x0（或x→∞）时的无穷大。

无穷小和无穷大之间有以下关系：如果函数f(x)是当x→x0（或x→∞）时的无穷大，那么1/f(x)是当x→x0（或x→∞）时的无穷小；反之，如果函数f(x)是当x→x0（或x→∞）时的无穷小，且f(x)≠0，那么1/f(x)是当x→x0（或x→∞）时的无穷大。

无穷小和无穷大在考研数学中经常被用来计算极限，考生需要熟练掌握它们。

7.函数的连续性与间断点

函数的连续性是函数的一个重要性质，而间断点则是函数不连续的点。函数的间断点可以分为以下几种类型：

（1）第一类间断点：如果函数f(x)在点x0的左右极限都存在，但不相等，或者左右极限存在且相等但不等于f(x0)，那么称点x0是函数f(x)的第一类间断点。第一类间断点又可以分为可去间断点和跳跃间断点。

（2）第二类间断点：如果函数f(x)在点x0的左右极限至少有一个不存在，那么称点x0是函数f(x)的第二类间断点。第二类间断点又可以分为无穷间断点和振荡间断点。

函数的连续性和间断点是考研数学中的一个重要内容，考生需要熟练掌握它们。

8.闭区间上连续函数的应用

闭区间上连续函数具有几个重要的性质，这些性质在数学中有着广泛的应用。在考研数学中，这些性质经常被用来证明一些结论。

例如，利用介值定理可以证明方程根的存在性。具体来说，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)和f(b)异号，那么对于介于f(a)和f(b)之间的任何一个数c，都存在一个x0∈(a，b)，使得f(x0)=c。这个结论可以用来证明一些方程根的存在性。

再例如，利用最大值和最小值定理可以证明一些不等式。具体来说，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么函数f(x)在闭区间[a，b]上一定能取得最大值和最小值。这个结论可以用来证明一些不等式。

**二、一元函数微分学**

一元函数微分学是微积分的重要组成部分，它研究函数在某一点处的局部性质，主要包括导数、微分以及它们的应用。这一部分内容在考研数学中占有重要的地位，也是后续学习多元函数微积分的基础。

1.导数的概念与几何意义

导数是描述函数在一点处变化率的数学工具。设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx时，函数相应的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。如果当Δx→0时，极限Δy/Δx存在，那么称这个极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x=x0。导数的几何意义是函数曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率。

导数的物理意义是函数在点x0处的变化率。例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。

2.求导法则

求导法则是指利用已知的导数公式和求导法则来计算函数的导数的方法。常见的求导法则有以下几种：

（1）四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点x处可导，那么函数f(x)±g(x)在点x处也可导，且(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)；如果函数f(x)和g(x)在点x处可导，那么函数f(x)g(x)在点x处也可导，且(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；如果函数f(x)和g(x)在点x处可导，且g(x)≠0，那么函数f(x)/g(x)在点x处也可导，且(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2。

（2）复合函数的求导法则：如果函数u=g(x)在点x处可导，函数y=f(u)在点u=g(x)处可导，那么复合函数y=f(g(x))在点x处也可导，且y'=f'(g(x))g'(x)。

（3）反函数的求导法则：如果函数y=f(x)在区间I上单调可导，且导数f'(x)不为零，那么它的反函数x=f^(-1)(y)在区间I'上也可导，且(f^(-1)(y))'=(1/f'(x))|_(x=f^(-1)(y))。

（4）隐函数的求导法则：如果方程F(x,y)=0确定了一个隐函数y=y(x)，那么可以将方程两边对x求导，然后解出y'。例如，对于方程x^2+y^2=1，两边对x求导得2x+2yy'=0，解出y'得y'=-x/y。

（5）参数方程的求导法则：如果函数x=x(t)和y=y(t)在区间I上可导，且x'(t)≠0，那么参数方程确定的函数y=y(x)在区间I'上也可导，且y'=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。

3.高阶导数

高阶导数是指函数的导数的导数。如果函数y=f(x)在区间I上可导，那么它的导数f'(x)在区间I上也是一个函数，如果f'(x)在区间I上也可导，那么可以继续对f'(x)求导，得到的导数称为f(x)的二阶导数，记作f''(x)或y''。类似地，可以定义f(x)的三阶导数、四阶导数等等。一般地，函数y=f(x)的(n-1)阶导数的导数称为函数y=f(x)的n阶导数，记作f^(n)(x)或y^(n)。

高阶导数在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在力学中，加速度是速度对时间的二阶导数。

4.微分及其应用

微分是描述函数在一点处变化量的数学工具。设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx时，函数相应的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。如果存在一个线性函数L(x)=f'(x0)Δx，使得当Δx→0时，Δy-L(x)是比Δx高阶的无穷小，那么称线性函数L(x)为函数y=f(x)在点x0处的微分，记作dy或df(x)。函数的微分与增量之间的关系为Δy=dy+o(Δx)。

微分的几何意义是函数曲线在点(x0，f(x0))处的切线上的纵坐标的增量。

微分在近似计算中有着重要的应用。例如，当函数f(x)在点x0处可微，且|Δx|很小时，可以用微分dy=f'(x0)Δx来近似代替增量Δy，即f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx。

5.微分中值定理

微分中值定理是连接函数的导数与函数值之间关系的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

（1）罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。

（2）拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

（3）柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且g'(x)在区间(a，b)内处处不为零，那么在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(ξ)/g'(ξ)。

微分中值定理在考研数学中经常被用来证明一些结论，考生需要熟练掌握它们。

6.洛必达法则

洛必达法则是计算“0/0”型和“∞/∞”型极限的一个非常有效的方法。洛必达法则是基于微分中值定理的，它的表述如下：如果函数f(x)和g(x)在点x0的某个去心邻域内可导，且g'(x)≠0，且lim(f(x)/g(x))是“0/0”型或“∞/∞”型，那么lim(f(x)/g(x))=lim(f'(x)/g'(x))，其中右侧的极限存在或为无穷大。

洛必达法则在使用时需要注意以下几点：

（1）洛必达法则只能用于“0/0”型和“∞/∞”型极限，其他类型的极限不能直接使用洛必达法则。

（2）在使用洛必达法则之前，需要先对函数进行化简，例如对分子分母进行因式分解、有理化等等。

（3）如果使用洛必达法则后，极限仍然为“0/0”型或“∞/∞”型，可以继续使用洛必达法则，直到极限不再是“0/0”型或“∞/∞”型为止。

（4）洛必达法则并不是计算所有极限的唯一方法，有时候使用其他方法可以更快地计算出极限。

7.函数的单调性与极值

函数的单调性是指函数在某个区间内是单调增加还是单调减少的性质。如果函数f(x)在区间I上单调增加，那么对于区间I内的任意两个数x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)；如果函数f(x)在区间I上单调减少，那么对于区间I内的任意两个数x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)≥f(x2)。

函数的极值是指函数在一点附近的最大值或最小值。如果函数f(x)在点x0的某个邻域内定义，且f(x0)比它在点x0附近的函数值都要大（或都要小），那么称f(x0)是函数f(x)的极大值（或极小值）。

函数的单调性与极值之间有以下关系：如果函数f(x)在区间I上单调增加（或单调减少），那么函数f(x)在区间I上没有极值；反之，如果函数f(x)在区间I上有一个极值点x0，那么函数f(x)在点x0的左侧单调性不变，在点x0的右侧单调性也不变。

函数的单调性和极值在考研数学中经常被用来证明一些不等式，考生需要熟练掌握它们。

8.函数图形的凹凸性与拐点

函数图形的凹凸性是指函数图形在某个区间内是向上凸还是向下凹的性质。如果函数f(x)在区间I上的图形是向上凸的，那么对于区间I内的任意两个数x1和x2，以及介于0和1之间的任意一个数t，都有f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)；如果函数f(x)在区间I上的图形是向下凹的，那么对于区间I内的任意两个数x1和x2，以及介于0和1之间的任意一个数t，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)。

函数图形的拐点是指函数图形凹凸性发生变化的点。如果函数f(x)在点x0的某个邻域内定义，且在点x0的左侧和右侧函数图形的凹凸性不同，那么称点x0是函数f(x)的拐点。

函数图形的凹凸性与拐点在考研数学中经常被用来描绘函数的图形，考生需要熟练掌握它们。

9.函数图形的描绘

函数图形的描绘是指根据函数的性质，画出函数的图形的方法。描绘函数图形的步骤如下：

（1）确定函数的定义域。

（2）讨论函数的奇偶性和周期性。

（3）求函数的导数，并找出函数的驻点和不可导点。

（4）求函数的二阶导数，并找出函数的拐点。

（5）讨论函数的单调性和凹凸性。

（6）求函数的极限，并确定函数的水平渐近线和垂直渐近线。

（7）根据以上信息，画出函数的图形。

函数图形的描绘在考研数学中是一个重要的内容，考生需要熟练掌握它。

10.函数的最值问题

函数的最值是指函数在某个区间内的最大值和最小值。函数的最值可以在函数的驻点、不可导点或区间端点处取得。

求函数在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：

（1）求函数在区间(a，b)内的驻点和不可导点。

（2）计算函数在驻点、不可导点和区间端点处的函数值。

（3）比较这些函数值的大小，最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。

函数的最值问题在考研数学中经常被用来解决一些实际问题，考生需要熟练掌握它。

**三、一元函数积分学**

一元函数积分学是微积分的另一个重要组成部分，它与微分学互为逆运算，主要研究函数的积分及其应用。积分学包括定积分和不定积分两种形式，它们在数学、物理、工程等众多领域都有着广泛的应用。这一部分内容在考研数学中同样占有重要的地位，是考生必须掌握的重点和难点。

1.不定积分的概念与性质

不定积分是函数的全体原函数，如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，那么函数f(x)的所有原函数可以表示为F(x)+C，其中C是任意常数。函数f(x)的不定积分记作∫f(x)dx，读作“f(x)的对x的不定积分”。不定积分的几何意义是函数f(x)的积分曲线族，积分曲线族中任意一条曲线的方程都可以表示为y=F(x)+C，其中C是常数。

不定积分具有以下性质：

（1）线性性质：如果函数f(x)和g(x)的不定积分存在，且a和b是常数，那么函数af(x)+bg(x)的不定积分也存在，且∫(af(x)+bg(x))dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx。

（2）可加性：如果函数f(x)的不定积分存在，那么函数f(x)+f(x)的不定积分也存在，且∫(f(x)+f(x))dx=2∫f(x)dx。

（3）恒等性质：如果函数f(x)的不定积分存在，那么f(x)的不定积分的导数等于f(x)，即d/dx(∫f(x)dx)=f(x)。

2.基本积分公式

基本积分公式是不定积分计算的基础，考生需要熟练记忆以下常用积分公式：

（1）∫kdx=kx+C（k是常数）。

（2）∫x^αdx=x^(α+1)/(α+1)+C（α是常数，且α≠-1）。

（3）∫1/xdx=ln|x|+C。

（4）∫e^xdx=e^x+C。

（5）∫a^xdx=a^x/(lna)+C（a是常数，且a>0，a≠1）。

（6）∫sinxdx=-cosx+C。

（7）∫cosxdx=sinx+C。

（8）∫tanxdx=ln|secx|+C。

（9）∫cotxdx=ln|sinx|+C。

（10）∫secxdx=ln|secx+tanx|+C。

（11）∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C。

（12）∫sec^2xdx=tanx+C。

（13）∫csc^2xdx=-cotx+C。

（14）∫secxtanxdx=secx+C。

（15）∫cscxcotxdx=-cscx+C。

（16）∫1/sqrt(1-x^2)dx=arcsinx+C。

（17）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+C。

（18）∫1/(sqrt(1-x^2))dx=arcsecx+C。

基本积分公式是计算不定积分的基础，考生需要熟练记忆它们。

3.换元积分法

换元积分法是计算不定积分的常用方法，它通过适当的变量代换，将复杂的积分转化为简单的积分，从而计算出结果。换元积分法分为第一类换元积分法和第二类换元积分法两种。

（1）第一类换元积分法：如果被积函数可以分解为f(g(x))g'(x)的形式，那么可以通过变量代换u=g(x)，将积分∫f(g(x))g'(x)dx转化为∫f(u)du，从而计算出结果。第一类换元积分法也称为凑微分法。

例如，计算∫(2x+1)e^(x^2+x+1)dx。令u=x^2+x+1，则du=(2x+1)dx，因此∫(2x+1)e^(x^2+x+1)dx=∫e^udu=e^u+C=e^(x^2+x+1)+C。

（2）第二类换元积分法：如果被积函数含有根式，或者含有三角函数，那么可以通过适当的三角代换或根式代换，将复杂的积分转化为简单的积分，从而计算出结果。

例如，计算∫1/(xsqrt(x^2-1))dx。令x=secu，则dx=tanucdu，因此∫1/(xsqrt(x^2-1))dx=∫1/(secu*tanu*tanu)secucdu=∫cosu/cos^2u*tanudu=∫sinu/cosudu=ln|tanu|+C=ln|x/sqrt(x^2-1)|+C。

4.分部积分法

分部积分法是计算不定积分的另一种常用方法，它通过积分的分部公式，将复杂的积分转化为简单的积分，从而计算出结果。分部积分公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v是x的函数。

分部积分法适用于被积函数含有乘积形式的积分，例如∫xsinxdx、∫x^2lnxdx等等。在使用分部积分法时，需要适当地选择u和dv，一般来说，选择u的优先顺序是：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数。

例如，计算∫xsinxdx。令u=x，dv=sinxdx，则du=dx，v=-cosx，因此∫xsinxdx=-x*cosx-∫(-cosx)dx=-x*cosx+sinx+C。

5.有理函数的积分

有理函数是指两个多项式之比，即R(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是多项式。有理函数的积分可以通过部分分式分解的方法，将复杂的积分转化为简单的积分，从而计算出结果。

部分分式分解是将有理函数分解为若干个简单的分式之和的方法，这些简单的分式包括以下几种类型：

（1）线性分式：A/(x-a)。

（2）二次不可约分式：B/(x^2+px+q)。

有理函数的积分步骤如下：

（1）将分子分母进行因式分解。

（2）将分子分母进行约分。

（3）将复杂分式分解为简单的分式之和。

（4）对每个简单分式进行积分。

例如，计算∫(x+1)/(x^2+x+1)dx。令x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4，则(x+1)/(x^2+x+1)=1/(x+1/2)^2+3/4，因此∫(x+1)/(x^2+x+1)dx=∫1/(x+1/2)^2+3/4dx=2/√3*arctan((2x+1)/√3)+C。

6.简单无理函数的积分

简单无理函数是指含有根式的函数，例如√x、√(ax+b)等等。简单无理函数的积分可以通过根式代换的方法，将复杂的积分转化为简单的积分，从而计算出结果。

例如，计算∫√(x+1)/xdx。令x=t^2-1，则dx=2tdt，因此∫√(x+1)/xdx=∫√t^2/((t^2-1)+1)2tdt=∫2t^2/(t^2-1+1)dt=∫2t^2/t^2dt=2t+C=2√(x+1)+C。

7.定积分的概念与性质

定积分是积分学的重要组成部分，它与不定积分有着密切的联系，但又有本质的区别。定积分是函数在某个区间上的黎曼和的极限，它表示函数在区间上的累积效应。

定积分具有以下性质：

（1）线性性质：如果函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上可积，且a和b是常数，那么函数af(x)+bg(x)在区间[a，b]上也可积，且∫[a，b](af(x)+bg(x))dx=a∫[a，b]f(x)dx+b∫[a，b]g(x)dx。

（2）可加性：如果函数f(x)在区间[a，c]和区间[c，b]上可积，那么函数f(x)在区间[a，b]上也可积，且∫[a，b]f(x)dx=∫[a，c]f(x)dx+∫[c，b]f(x)dx。

（3）比较性质：如果函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上可积，且f(x)≤g(x)，那么∫[a，b]f(x)dx≤∫[a，b]g(x)dx。

（4）绝对值性质：如果函数f(x)在区间[a，b]上可积，那么|∫[a，b]f(x)dx|≤∫[a，b]|f(x)|dx。

（5）几何意义：如果函数f(x)在区间[a，b]上非负，那么定积分∫[a，b]f(x)dx表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

8.定积分的计算

定积分的计算可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法进行。牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的基本方法，它将定积分的计算转化为不定积分的计算，从而简化了计算过程。

牛顿-莱布尼茨公式为∫[a，b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是函数f(x)的一个原函数。

换元积分法和分部积分法在定积分计算中的应用与不定积分计算中的应用类似，只是需要在计算完成后，将积分上下限代入计算结果即可。

9.反常积分

反常积分是定积分的推广，它处理的是函数在无穷区间上或者函数在有限区间上无界的情况。反常积分分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分两种类型。

（1）无穷区间上的反常积分：如果函数f(x)在区间[a，+∞)上可积，那么称∫[a，+∞)f(x)dx为无穷区间上的反常积分。如果函数f(x)在区间(-∞，b]上可积，那么称∫(-∞，b]f(x)dx为无穷区间上的反常积分。如果函数f(x)在区间(-∞，+∞)上可积，那么称∫(-∞，+∞)f(x)dx为无穷区间上的反常积分。

（2）无界函数的反常积分：如果函数f(x)在点a的右邻域内无界，那么称∫[a，b)f(x)dx为无界函数的反常积分。如果函数f(x)在点b的左邻域内无界，那么称∫[a，b)f(x)dx为无界函数的反常积分。如果函数f(x)在点c的邻域内无界，那么称∫[a，b)f(x)dx为无界函数的反常积分。

反常积分的计算方法与定积分的计算方法类似，只是在计算完成后，需要对反常积分进行收敛性判断。如果反常积分收敛，那么反常积分有一个确定的值；如果反常积分发散，那么反常积分没有确定的值。

10.反常积分的应用

反常积分在数学、物理、工程等众多领域都有着广泛的应用。例如，在物理学中，反常积分可以用来计算无限长直导线的电场强度、无限大平板的引力等等。在工程学中，反常积分可以用来计算桥梁的挠度、梁的弯矩等等。

反常积分的应用需要考生具备较强的数学分析和解决问题的能力，考生需要熟练掌握反常积分的计算方法和收敛性判断方法，才能更好地解决实际问题。

11.定积分的应用

定积分在数学、物理、工程等众多领域都有着广泛的应用。定积分可以用来计算面积、体积、弧长、功、液体的静压力等等。

（1）计算平面图形的面积：如果函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)≤g(x)，那么由曲线y=f(x)、曲线y=g(x)、直线x=a以及直线x=b所围成的平面图形的面积为S=∫[a，b](g(x)-f(x))dx。

（2）计算旋转体的体积：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，那么由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积为V=π∫[a，b]f(x)^2dx。如果曲边梯形绕y轴旋转一周，那么旋转体的体积为V=2π∫[a，b]xf(x)dx。

（3）计算平面曲线的弧长：如果函数f(x)在区间[a，b]上具有连续的导数，那么曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b所围成的平面图形的弧长为L=∫[a，b]sqrt(1+(f'(x))^2)dx。

（4）计算变力所做的功：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)表示作用在物体上的变力，那么物体在变力f(x)的作用下从x=a移动到x=b所做的功为W=∫[a，b]f(x)dx。

（5）计算液体的静压力：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)表示液体的密度，那么液体对曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b以及液面所围成的平面图形的静压力为P=∫[a，b]f(x)g(x)ds，其中g是重力加速度，s是曲线的弧长元素。

定积分的应用是考研数学中的一个重要内容，考生需要熟练掌握定积分的计算方法和应用技巧，才能更好地解决实际问题。

12.反常积分的审敛法

反常积分的审敛法是判断反常积分收敛性的方法，常见的反常积分审敛法有以下几种：

（1）比较审敛法：如果函数f(x)和g(x)在反常积分的积分区间上可积，且0≤f(x)≤g(x)，那么如果∫f(x)dx收敛，那么∫g(x)dx也收敛；如果∫g(x)dx发散，那么∫f(x)dx也发散。

（2）极限比较审敛法：如果函数f(x)和g(x)在反常积分的积分区间上可积，且lim(f(x)/g(x))=l（l是一个正数），那么∫f(x)dx和∫g(x)dx具有相同的收敛性。

（3）比值审敛法：如果函数f(x)在反常积分的积分区间上可积，且lim(f(x+1)/f(x))=l，那么如果l<1，那么∫f(x)dx收敛；如果l>1，那么∫f(x)dx发散；如果l=1，那么比值审敛法失效。

（4）根值审敛法：如果函数f(x)在反常积分的积分区间上可积，且lim(sqrt(f(x)))=l，那么如果l<1，那么∫f(x)dx收敛；如果l>1，那么∫f(x)dx发散；如果l=1，那么根值审敛法失效。

反常积分的审敛法是判断反常积分收敛性的重要工具，考生需要熟练掌握这些方法，才能更好地解决