2025北京北师大实验中学高二5月月考数学试题及答案

高中2025北京北师大实验中学高二5月月考数学2025年5月本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题，共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合，则（）A. B. C. D.2.记等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.3.设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（）A. B. C. D.5.离散型随机变量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.6.某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（）A. B.C. D.7.已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（）A.1 B. C.2 D.8.若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9.若，则()A. B.C. D.10.定义在R上的函数和的导函数分别为，，则下面结论正确的是①若，则函数的图象在函数的图象上方；②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于点（，0）对称；③函数，则；④若是增函数，则.A.①② B.①②③ C.③④ D.②③④第二部分（非选择题，共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.一个袋子中装有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是______.12.已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________．13.已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组a，b的值为a=_______，b=_______．14.设曲线y＝xn＋1（n∈N*）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn则x1·x2·…·xn等于_________15.已知数列满足，给出下列四个结论：①存在唯一的正实数，使得是常数列；②当时，是等比数列；③若是递增数列，则；④若对任意的正整数，都有，则．其中所有正确结论的序号为_____．三､解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程．16.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.17.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）.18.已知数列中，，.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，为数列的前n项和，证明：.19.某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：颜色小学生初中生高中生愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意黑色802040202020白色604030303010假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率．（1）从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率；（2）从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望；（3）假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明）20.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若曲线与x轴交于A，B两点，AB的中点横坐标为，证明：.21.有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件：①对于任意的，（），；②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项．（1）若，且，，，，求的值；（2）证明：，，不可能是数列中的项；（3）求的最大值．

参考答案第一部分（选择题，共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】A【分析】解指数不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式得：，则，而，又，所以.故选：A2.【答案】C【分析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值.【详解】因为等差数列的前项和为，且，则.故选：C.3.【答案】C【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.4.【答案】D【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可.【详解】甲获得冠军分以下二类：第一类：甲获胜的概率为：；第二类：甲获胜的概率为：；所以甲获胜的概率为，故选：D.5.【答案】D【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误.【详解】由题设，则，A对；由，则，联立，所以，则，D错；，B对；，C对.故选：D6.【答案】A【分析】根据题意列式即可得解.【详解】依题意，，.故选：A.7.【答案】D【分析】根据双对称关系求周期，然后即可得解.【详解】因为为奇函数，所以，用代替得，又为定义在上的奇函数，所以，所以，是以4为周期的周期函数，因为，所以.故选：D8.【答案】B【分析】根据函数极值点和导函数之间的关系，求出函数极值点的含参代数式，列出大于零的不等式，解出参数取值范围.【详解】已知，则，令即，化简得，当时无解，当时，解得，由题意得，即，根据对数函数性质可得，因为，解得.故选：B.9.【答案】C【详解】试题分析：对于A，B作出图象如图所示，可见时，既有单调减函数区间，单调增函数区间，故都不正确；对于C，设，作如图所示，因，此时，在上为减函数，故有，得，故C正确，D不正确，故选C.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的图象及数形结合思想的应用.10.【答案】C【详解】试题分析：①时，说明函数比函数增加的快，但函数的图像不一定在函数图像的上方，故①不正确；②若函数与的图象关于直线对称，则.若（m为常数），此时满足，所以②不正确；③因为，所以，故③正确.④由导数的几何意义可知是增函数即函数切线的斜率单调递增，所以函数是“凹型函数”，则必有.故④正确.综上可得结论正确的是③④.故选：C.考点：函数的简单性质.第二部分（非选择题，共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】由于第一次摸到红球已经发生，故第二次摸球的时候袋子中有1个红球，3个白球，即得到答案【详解】第一次摸到红球的条件下,第二次摸球的时候袋子中有1个红球，3个白球，所以第二次摸到白球的概率为，故答案为：12.【答案】【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解【详解】，因为函数在上是单调函数，故只能满足在上恒成立，即，，解得故答案为:13.【答案】①.4（不唯一）②.5（不唯一）【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解.【详解】当时，无极小值，故，，由可得或，当时，由时，有极小值可知，即，当时，由时，有极小值可知，即.所以的一组取值可取，故答案为：4；5（答案不唯一，满足或即可）.14.【答案】【详解】试题分析：对y＝xn＋1（n∈N*）求导得，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为不妨设y=0，则考点：导数的几何意义及直线方程15.【答案】①②④【分析】由是常数列，得，，可解出，判断①正确；当时，由可得，可得是等比数列，判断②正确；由是递增数列，可得，可解得，判断③错误；由已知可得的通项，由，可得，通过讨论，可得，判断④正确．【详解】若是常数列，则，又，则，代入，得，解得，故①正确；当时，，则，则，又，所以，所以是以1为首项，为公比的等比数列，故②正确；若是递增数列，则，即，又，则，由，得，解得，故③错误；由，得，则，则，当，即时,则，又，所以，则，所以，即对任意的正整数，都有，当，即时,则，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，若对任意的正整数，都有，则，所以，整理得，当，即且时，，该式恒成立，当，即时，该式不恒成立，综上，对任意的正整数，都有，则，故④正确．故答案为：①②④.三､解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程．16.【答案】（1）；（2）最大值为4，,最小值为0.【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.【小问1详解】，由题意得，解得此时，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以在时取得极大值.所以.【小问2详解】由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.17.【答案】（1）（2）的分布列见解析，（3）【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可；（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.【小问1详解】由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，所以该天乙获得流量大于丙获得流量的概率为；【小问2详解】由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，因此，，，，所以的分布列如下图所示：012；【小问3详解】根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的数据最分散，所以，.18.【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【分析】（1）通过等式左右两侧取倒数，结合等差数列的定义可证明结论.（2）根据（1）可得数列的通项公式，由此可得结果.（3）利用裂项相消法可求得，分析性质可证明结论.【小问1详解】∵，∴，即，∴是以为首项，2为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）得，，∴.【小问3详解】由（2）得，，∴，∵，∴，且随着的增大而减小，∴，当时，，∴.19.【答案】（1）（2）分布列见解析，；（3）.【分析】（1）根据表中数据求出相应频率，用频率估计概率即可；（2）的可能取值为，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（3）分别求出小学生、初中生、高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率，结合所占的权重求得并与的大小比较即可.【小问1详解】由表可知200名顾客中愿意购买黑色新品跑鞋的人数为140人，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；【小问2详解】用频率估计概率，由表可知从初中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为，从高中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为，由题意的可能取值为，，，.所以的分布列为.【小问3详解】小学生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为；初中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为；高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为.所以.20.【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求导，分和两种情况求解即可；（3）结合（2）分析易得，设，，则,将问题转化为证明，设函数，进而结合导数求证即可.【小问1详解】若，，则，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】由，得，，①若，则恒成立，所以在上单调递减；②若，令，得，且当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．【小问3详解】由（2）知，若，则曲线与x轴最多有1个交点，故．不妨设，，则,要证，即证，只需证，即证．设函数，则，当时，，所以在上单调递减，因为，所以，即，又，，在上单调递增，所以，即．从而原命题得证．21.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）利用①推出的范围．利用②求解的值