2025北京陈经纶中学高二10月月考数学试题及答案

高中2025北京陈经纶中学高二10月月考数学一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内含3.在空间直角坐标系中，，，，则是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.形状不确定4.在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.平面与所有坐标轴相交 D.原点一定不在平面内5.已知，则下列说法错误的是（）A.若分别是直线的方向向量，则所成角余弦值是B.若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角正弦值是C.若分别是平面ABC、平面BCD的法向量，则二面角的余弦值是D.若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角余弦值是.6.已知直线，，则“”是“直线与相交”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.过直线上一点作圆的切线，切点为．则四边形的面积的最小值为（）A. B. C. D.8.如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是（）A. B. C. D.9.若点在直线上运动，则的最小值为（）A. B. C.13 D.10.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若直线：和直线：（）垂直，则__________.12.以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为__________.13.如图，在四面体中，是的重心，G是上的一点，且，若，则___________；若四面体是棱长为2的正四面体，则___________.14.在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标__________.15.如图，在正方体中，为棱的中点.动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：（1）存在点，使得；（2）存在点，使得平面；（3）的面积越来越小；（4）四面体的体积不变.其中所有正确的结论的序号是__________.三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知直线过点，直线.（1）若，求直线的一般式方程；（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的一般式方程.17.如图，正方体的棱长为2，E为BC的中点.点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题.条件①：条件②：；条件③：平面.（1）求证：为的中点；（2）求直线EM与平面所成角的大小，及点E到平面的距离.18.已知圆过原点和点，圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（3）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程.19.在梯形中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）.将沿AC折起到位置，使得平面平面（如图2）.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）线段上是否存在点Q，使得CQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20.对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．（1）写出集合和；（2）证明：对任意，存在，使得；（3）设集合求证：中的元素个数是完全平方数．

参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910DCBCCACBCD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】由得：，化简得：，解得：

或

.故答案为：或12.【答案】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1，故圆的标准方程是.故答案为：13.【答案】，则将两边同时平方得：故答案为：；.14.【答案】点在平面内，所以四点共面，则，所以，所以，则，所以满足即可令，满足，所以符合题意的点的坐标可以为.故答案为：（答案不唯一）.15.【答案】设正方体棱长为，由平面平面得，同理，所以，由得，存在使得，（1）正确，正方体中，平面，所以到平面的距离不变，即到平面的距离不变，而面积不变，因此三棱锥，即四面体的体积不变，（4）正确;以为轴建立空间直角坐标系，如下图，正方体棱长为2，则，，，所以不可能与垂直，故平面也不可能成立，故（2）错误；设，所以设到直线的距离为，则由二次函数性质知时，递减，所以递减，又不变，所以的面积为递减，（3）正确，综上：（1）（3）（4）正确故答案为：（1）（3）（4）三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）直线的斜率为，若，则直线的斜率为，直线的方程为.（2）点在直线上，当直线的斜率为时，直线的方程为，此时直线与轴和直线无法围成三角形，不符合题意.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时围成三角形的面积为，符合题意.当直线的斜率存在，且不为零时，设直线的方程为，令，解得，所以，解得，此时直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.17.【答案】（1）选条件①：由，根据正方体的对称性，此时点为上的任意一点，所以不成立；选条件②：，连接，在正方体中，由平面，因为平面，所以，又因为，，所以，因为平面，所以，又因为为的中点，所以为的中点．选择条件③：平面，连接，因为平面，平面，且平面平面，所以，因为为的中点，所以为的中点．（2）在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则．于是，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为.18.【答案】（1）解：设圆心为，由题意可得，则，解得，所以，圆的半径为，故圆的方程为.（2）解：由题意可知，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，直线的方程为，即..综上所述，直线的方程为或.（3）解：设点，其中，则，设点，因为，则，可得，可得，因为点在圆上，则，即.故点的轨迹方程为.19.【答案】（1）在梯形中，，，，P为AB的中点，可得为等边三角形，四边形为菱形，故，而平面，平面，平面，（2）由（1）得，，，故，，而平面平面，平面平面，平面，，平面，两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则取得，平面的一个法向量为，故，二面角的大小为，（3）设，则，,,的，，设平面的一个法向量为CQ与平面所成角的正弦值为，化简得，解得（舍去）故存在，使得CQ与平面所成角的正弦值为．20.【答案】（