2025北京二中高二（上）段考二数学试题及答案

高中2025北京二中高二（上）二学段段考数学得分：________一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）1.过点（1，0）且与直线=平行的直线方程式（）A. B. C. D.2.下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）A. B.C. D.3.若直线与圆相离，则点（）A.在圆O外 B.在圆O内 C.在圆O上 D.与圆O的位置关系不确定4.已知直线过定点，与圆交于两点，则的最小值为（

）A.2 B.3 C.4 D.65.已知是正实数，则“”是“圆与圆有公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（）A.（0，0） B.（2，2） C. D.7.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.8.在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（）A. B.C. D.9.已知圆O:，直线，点在直线上。若存在圆O上的点Q，使得(O为坐标原点)，则的取值范围是（）A. B.[0,1] C. D.10.曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（）①当时，曲线是轴对称图形②当时，曲线关于中心对称③当时，曲线所围成的面积小于④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上）11.已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为___________．12.已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则______．13.已知，是平面，m，n是直线，给出下列命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，m，n是异面直线，那么n与相交；④若，，则且．其中错误的命题为______．14.已知椭圆的左焦点为，不经过且斜率为的直线交C于A，B两点．当的周长最大时，______．15.数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论：①曲线上任意两点间距离的最大值为；②曲线的周长大于曲线的周长；③曲线与圆有且仅有个公共点.其中正确的序号为________________.三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上）16.已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点．（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程；（3）若为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．17.在中，角的对边分别为.（1）求的大小；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.18.已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点、.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程.19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?20.已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.21.如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.定义为第s行与第t行的积.若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.（Ⅰ）当时，试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）题号12345678910答案ACBCBBABAC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上）11.【答案】由已知可得，双曲线的焦点位于轴上，设C的标准方程为.因为双曲线C经过点，所以，则双曲线的渐近线方程为，所以，所以，C的标准方程为.故答案为：.12.【答案】根据抛物线的对称性可知：由为等边三角形，所以关于坐标轴对称，由,，所以,将代入可得，故答案为：13.【答案】①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，由面面平行的判定定理可知，当不相交时，不一定成立，所以②错误；③中，若，，m，n是异面直线，那么n与相交或，所以③错误；④中，若，，则且，或，所以④错误．故答案为：②③④14.【答案】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为，由椭圆的定义可得，，所以的周长为，又，所以，当且仅当在线段上时取等号，所以当直线过点时，的周长最大，又直线的斜率为，所以直线的方程为，联立，消可得，所以或，所以，所以当的周长最大时，.故答案为：15.【答案】由已知可知小圆与大圆是内切的关系，设小圆的圆心为，则小圆的圆心轨迹为以为圆心，半径为3的圆，即设星形线任意点，则，为参数，其中可知星形线任意点，满足，对于①，星形线上左右两个端点，或上下两个端点，的距离最远，等于8，故①正确；对于②，曲线为过点，，，的正方形，而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线的周长小于曲线的周长，故②错误；对于③，星形线与直线的交点为，即它们到原点的距离为与圆的半径相等，所以曲线与圆相切，即有且仅有个公共点，故③正确；故答案为：①③三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上）16.【答案】（1）因为以点为圆心的圆与直线相切，所以圆的半径为点到直线的距离，即，所以圆的方程为（2）设圆心到过点的动直线的距离为，由（1）知，因为，故，所以当直线的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到的距离为，满足题意；当直线的斜率存在时，设其方程为此时圆心到直线的距离为，解得，故直线的方程为.综上，直线的方程为或（3）根据题意设，线段的中点，所以根据中点公式有：，即，因为，所以，即所以线段的中点的轨迹方程为.17.【答案】（1）在中因为，由正弦定理得，所以，即，又因为，，所以，.（2）设边上的高为，条件①：因为，所以，，所以，根据三角形全等（角角边）可知存在且唯一确定.所以，则，解得，即边上的高为.条件②：由余弦定理得，即，解得，此时满足条件的的三角形有两个，条件②不符合题意.条件③：根据三角形全等（边角边）可得存在且唯一确定，由余弦定理得，即，解得，则，解得，即边上的高为.18.【答案】（1）由题意可得，解得，因此，椭圆的方程为.（2）若直线与轴重合，则，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立可得，则，所以，，由韦达定理可得，，所以，，解得，所以，直线的方程为或，即或.19.【答案】（1）[方法一]：几何法因为，所以．又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则．又因为，所以．又因为，所以平面．又因为平面，所以．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．，．由题设（）．因为，所以，所以．[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面的法向量为，因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．所以，此时．[方法二]：几何法如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．设，过作交于点G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．则，所以，当时，．[方法三]：投影法如图，联结，在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．设，在中，．在中，，过D作的平行线交于点Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．20.【答案】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.（Ⅱ）设联立得，，，.直线，令得，即；同理可得.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.21.【答案】（Ⅰ）答案不唯一.如111（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表.根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1,2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1,3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2,3行中的数为-1”的有w列（如上表所示），则