2025北京理工大附中高二6月月考数学试题及答案

高中2025北京理工大附中高二6月月考数学（2025.06）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活.已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为，超过1000次的概率为，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1000次的概率是（）A. B. C. D.3.曲线，下列说法正确的是（）A. B.C.恒成立 D.方程有实数解4.小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（）A. B. C. D.5.甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为（）A.0.0123 B.0.0234 C.0.0345 D.0.04566.已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，则实数k为（）A.0 B.1 C.－1 D.27.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A.26 B.24 C.19 D.188.若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（）A. B. C. D.9.已知无穷等差数列前项和为，若，则“有最大值”是“公差”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.位同学参加学校组织的某棋类单循环制比赛，即任意两位参赛者之间恰好进行一场比赛．每场比赛的计分规则是：胜者计分，负者计分，平局各计分．所有比赛结束后，若这位同学的得分总和为分，且平局总场数不超过比赛总场数的一半，则平局总场数为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.在的展开式中，的系数为______．（用数字作答）12.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）超过1000小时的概率都是0.5，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为____________.13.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________．14.若随机事件在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示在1次试验中发生的次数，则方差的最大值为______；的最大值为____________15.已知数列满足，，给出下列四个结论：①存在，使得为常数列；②对任意的，为递增数列；③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列；④对于任意的，都有.其中所有正确结论的序号是_______________.三、解答题（本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，由此得到样本的频率分布直方图（如图），用频率估计概率．（1）根据频率分布直方图，估计该流水线质量超过505克产品的概率；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列和数学期望；（3）从该流水线上任取2件产品，记为质量超过505克的产品数量．试比较和（2）中的大小．（只需写出结论）17.已知函数.（1）若曲线在点处的切线为轴，求的值；（2）讨论在区间内极值点的个数；（3）若在区间内有零点，求证：.18.2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条､段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园､积水潭､牛街､草桥､新发地､新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：下车站上车站牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫合计牡丹园///5642724积水潭12///20137860牛街57///38124草桥1399///1638新发地410162///335新宫25543///19合计363656262125200（1）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；（2）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；（3）为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上､下车情况，“”表示上车，“”表示下车.相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上､下车情况，直接写出方差，，大小关系.19.已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯．（1）若数列：，求数列和；（2）设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列；（3）当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.【答案】B【分析】利用交集的定义去求即可.【详解】.故选：B.2.【答案】B【分析】利用条件概率的计算公式计算即可得到结果.【详解】记事件为“该充电宝循环充电超过500次”，则，记事件为“该充电宝循环充电超过1000次”，则，易知，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决条件概率问题的关键分清两个事件的关系，分清事件同时发生的概率.3.【答案】C【分析】应用基本函数的导数公式及减法、复合函数的求导法则求导，进而判断各项的正误.【详解】由题设在R上恒成立，所以A、B、D错，C对.故选：C4.【答案】B【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求.【详解】设小明投中次数为，则由题意可知，则，，因为投中一次得2分，没投中得0分，所以，则，.故选：B.5.【答案】C【分析】用独立事件和互斥事件概率公式即可求得.【详解】所求概率为：.故选：C.6.【答案】C【分析】根据，求出和时，的通项，再根据数列{an}是公比为3的等比数列，列出方程，解得即可得出答案.【详解】解：由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k(n∈N*)，当n＝1时，a1＝S1＝3＋k；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－(3n－1＋k)＝2×3n－1.因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1.故选：C.7.【答案】C【分析】根据分类加法计数原理计算．【详解】由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3，4，6，6，由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为.故选：C．8.【答案】D【分析】求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D.【详解】选项A：，则，由，可得则在处的切线的斜率为1.选项B：，则，由，可得则在处的切线的斜率为1选项C：，则，由，可得则在处的切线的斜率为1选项D：，则，则，则不存在斜率为1的切线故选：D9.【答案】C【分析】根据等差数列项的符号特点和前项和最值的关系进行分析.【详解】充分性：等差数列的前项和为，前项和可看做关于的函数，若有最大值，则，满足充分性；必要性：等差数列的前项和为，若、公差，则等差数列每一项都是负数，显然取到最大值，必要性成立.故选：C.10.【答案】B【分析】设平局总场数为，且所有比赛的场数为，根据总得分为分可得出，结合题意得出，可得出关于的不等式，解出正整数的值，即可得出平局的局数.【详解】设平局总场数为，且所有比赛的场数为，由题意可知，，由于能决定胜负的每场选手的得分之和为分，每场平局选手的得分之和为分，由题意可得，所以，，因为平局总场数不超过比赛总场数的一半，则，整理可得，因为，解得，所以，平局的局数为.故选：B.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.【答案】【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解.【详解】在的展开式中，所以的系数为.故答案为：.12.【答案】##【分析】根据题意，求出超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常和元件3正常的概率，再利用独立事件的概率公式求解即可.【详解】因为三个电子元件的使用寿命（单位：小时）超过1000小时的概率都是0.5，即，记事件超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常，事件超过1000小时时，元件3正常，事件该部件的使用寿命超过1000小时，则，，因为事件为相互独立事件，事件为同时发生的事件，所以．故答案为：．13.【答案】【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，然后利用分离参数法即可得出答案.【详解】解：，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，又在上递减，所以，所以的取值范围是.故答案为：.14.【答案】①.②.【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合二次函数的最值问题和均值不等式即可求解.【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为0，1，并且，，所以，，所以当时取得最大值；，当且仅当即时等号成立，所以的最大值为，故答案为：；15.【答案】②③④【分析】若为常数列，可得，显然不成立，可判断①；由，可判断②；若是等差数列，可得常数，得到矛盾；若是等比数列，根据递推公式，得到矛盾判断③；两边平方得，迭代计算可判断④./【详解】对于①，若为常数列，则，根据递推公式，可得，进而可得，解得，又，故不存在，使得为常数列，故①错误；对于②，对于，由递推公式，可得，所以，，所以，所以数列是递增数列，结论②正确；对于③，若是等差数列，则为常数，可得常数，则可得是常数数列，则，与矛盾，故对任意的，既不是等差数列，若是等比数列，则为常数。根据递推公式，即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾，所以对任意的，不是等比数列；综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故③正确；对于④，由，两边平方得，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题（本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.【答案】（1）（2）分布列见解析；（件）（3）【分析】（1）结合频率分布直方图求解；（2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列；（3）先分析Y服从二项分布，再利用公式求解．【小问1详解】因用频率估计概率，故质量超过505克的产品的概率为.【小问2详解】重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，则X的取值为0，1，2，X服从超几何分布，则，，，故X的分布列为X012P则【小问3详解】根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，，，则.17.【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【分析】（1）先求函数的导函数，若在点处的切线为轴，只需，求解即可；（2）针对导函数，分和两种情况讨论求解即可；（3）当时显然在区间内无零点；当时，构造函数并研究其单调性即可.【小问1详解】由得：，依题意，，得.经验证，在点处的切线为，所以.【小问2详解】由题得.（i）若，当时，恒成立，所以在区间上单调递增，所以无极值点.（ii）若，当时，，故在区间上单调递减，当时，，故在区间上单调递增.所以为的极小值点，且无极大值点.综上，当时，在区间内的极值点个数为0；当时，在区间内的极值点个数为1.【小问3详解】由（2）知当时，在区间上单调递增，所以，在区间内无零点.当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.所以.若在区间内有零点，则.而，设，则.设，则，所以在区间上单调递增.所以，即.所以在区间上单调递增.所以，即.又，所以.18.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，数学期望：1（3）【分析】（1）用频率估计概率即可；（2）服从二项分布，分别计算概率，列出分布列计算期望（3）根据两点分布方差公式可得答案.【小问1详解】设选取的乘客在积水潭站上车､在牛街站下车为事件，由已知，在积水潭站上车的乘客有人，其中在牛街站下车的乘客有人，所以.【小问2详解】由题意可知，；；；.随机变量的分布列为所以随机变量的数学期望为.【小问3详解】.（两点分布：）19.【答案】（1），（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）根据题设中的新定义，进行运算，得到答案；（2）根据题设中新的变换，得到仍为递增数列，进而得到仍为递增数列，证得仍为递增数列，以此类推，对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列；（3）设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对，得到，得到数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，分情况讨论，即可得证.【小问1详解】解：由题意得，数列，数列，故数列．