2025北京理工大附中高二10月月考数学试题及答案

高中2025北京理工大附中高二10月月考数学时间：90分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1.下列说法正确的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两条直线平行C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一直线的两个平面平行2.下列四个命题中为真命题的是（）A.已知是空间中任意五点，则B.若向量，满足．则C.若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量D.若，则四点共面3.已知平面平面，，下列结论中正确的是（）A.若直线平面，；B.若平面平面，则；C.若平面直线l，则；D.若直线直线，则.4.如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是（）A. B.平面C. D.平面5.如图，在正四棱台中，点，分别是棱，的中点，，则下列判断错误的是（）A.,，，共面 B.平面C.，，交于同一点 D.平面6.已知平面，，直线，直线，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（）A. B. C. D.8.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即中点在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈)．则楔体的体积为(体积单位：立方丈)（）A.10 B.8 C. D.9.已知平面平面，，，AB与两平面，所成的角分别为，，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为，，则（）A. B. C. D.10.已知矩形ABCD，AB＝2，，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（）A.存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直11.如图所示，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离和分别为6米和8米，的长为21米，的长为23米，则水库底面与水坝斜面所成二面角的余弦值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）12.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积_____13.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______.14.有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.15.在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是__________．三、解答题（共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在平行六面体中，分别为棱，的中点，记，，，满足，，，.（1）用表示，并求的长度；（2）求直线与所成角的余弦值.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，Q为棱PD的中点，．（1）求证：平面ACQ；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；（3）若点M在线段BC上，且平面PAB，求证：M是BC的中点．18.已知空间向量.（1）若，求的值；（2）若，求的最小值及此时的值；（3）若，求的最大值.19.如图1，在平面四边形PDCB中，，，，，将沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如图2所示，点Q是线段SC的中点．（1）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：；（2）求平面SCD与平面SAB所成角的余弦值；（3）设点M是线段SA的中点，点N在线段SD上，且，判断直线BQ是否在平面BMN内，并说明理由．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1234567891011DDCCDDDDABA二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）12.【答案】如图，由直观图知原图形是平行四边形，，，，所以．故答案为：．13.【答案】由题意，设母线长为，∵圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有，解得，∴该圆锥的母线长为.故答案为：.14.【答案】如图，把圆柱的侧面展开图再延展一倍，所以铁丝的最短长度即为的长，又，填.15.【答案】根据题意，在平面内，过点作分别交于，在平面内，过作交于，在平面内，过作交于，连接，作图如下，因为，则，所以∽，设其相似比为，则，因为，所以在中，，因为，所以，即，因为，则，所以，，即，因为，所以，即，同理∽，即，因为，平面，平面，所以平面，因为，所以平面，平面，因为平面，所以，因为所以因为，所以∽，所以，因为，所以，因为，所以，所以四边形是矩形，即，所以，由二次函数的性质知，当时，有最大值.故答案为：.三、解答题（共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.【答案】（1），的长度为.（2）【解析】（1）由图可知，..因为，，.所以.所以，的长度为.（2）因为，，所以.由（1）得，而，所以直线与所成角的余弦值为.17.【答案】（1）证明见详解（2）（3）证明见详解【解析】（1）由底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD可知，可以以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则由题意可知，，，，，Q为PD中点，故，所以，，，设平面ACQ的法向量为，则，即。令，可得，所以，可得，又不在平面ACQ上，所以平面ACQ．（2）向量，设直线PC与平面ACQ所成角为，则，又，，，所以．（3）设，因为点M在线段BC上，所以，如图所示，则，又底面，，故平面PAB，所以为平面PAB的法向量，由平面PAB，得，即，解得，所以，即M是BC的中点．18.【答案】（1）（2）的最小值为，此时（3）【解析】（1）因为，所以，当时，，所以，不存在，所以；当时，可得，解得，所以（2）因为，所以，即，所以当时，y的最小值为（3），因为，所以，即，由，解得则所求，所以当时，的最大值为19.【答案】（1）证明见详解（2）（3）BQ不在平面BMN内，理由见详解【解析】（1）依题意，，因为，所以，由于平面平面，且平面平面，平面ABCD，所以平面SAB，因为l是平面SDC与平面SAB的交线，所以平面SAB，故．（2）由（1）知，平面SAB，则平面SAB，而，以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题意可得，，，，，，所以，，设平面SCD的一个法向量