2025北京平谷五中高二12月月考数学试题及答案

高中2025北京平谷五中高二12月月考数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.直线的斜率为（）A.2 B. C. D.2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A. B. C. D.3.直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（）A. B. C. D.4.若直线是圆的一条对称轴，则（）A. B. C.1 D.5.已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（）A. B. C.2 D.36.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.7.在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（）A.170 B.145 C.120 D.808.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=A. B.8 C. D.169.等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是A. B. C. D.10.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（）A. B.C. D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则___________．12.已知点在直线上，则的最小值为_______.13.已知双曲线的渐近线方程为，则__________．14.在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为______.15.已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论：①曲线关于原点对称；②曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线围成区域的面积大于8；④曲线上任意一点到原点的距离都不小于．其中正确结论的序号是_________________.三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知的三个顶点分别为，求：（1）所在直线的方程；（2）过点与边平行的直线方程；（3）边的垂直平分线的方程．17.为了解两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得平台问卷100份，平台问卷80份．问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3分、1分，数据统计如下：好评中评差评A平台75205B平台6488假设用频率估计概率，且买家对平台的满意度评价相互独立．（1）估计买家对平台的评价不是差评的概率；（2）从所有在平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出好评的概率；18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，分别是的中点，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．19.已知是等差数列，是等比数列，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）求数列前项和的最大值．20.已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．21.已知椭圆．（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．题号12345678910答案CCCABDBBCC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】对椭圆，，所以，所以椭圆的右焦点坐标为，又抛物线的焦点为，由.故答案为：412.【答案】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.故答案为：13.【答案】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得；故答案为：14.【答案】因为点的轨迹是圆心在原点,半径为1的圆,直线过定点,如图所示:过作,垂足为,则,所以,取等的条件是与重合,此时.故答案为3.15.【答案】曲线，将换成，将换成，方程不变，故曲线关于原点对称，①正确；，得，要使均为整数，则可得整点有、、、共9个，故②错误；曲线，将换成，方程不变，故曲线关于轴对称，故曲线围成区域的面积大于8，只需在曲线第一象限的面积大于2，当，时，，得，故，因与轴，轴构成的三角形面积为，故曲线围成区域的面积大于8，故③正确；由对称性，根据得，得，故曲线上的点到原点的距离为，故④正确，故答案为：①③④三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.【答案】（1）如图，因为，所以直线的斜率为，由点斜式可得直线的方程为，即.（2）因为所求直线与直线平行，由（1）知可设所求直线方程为，又直线过点，所以将的坐标代入可得，解得，所以所求直线方程为.（3）因为，且其斜率都存在，所以，解得.又直线过线段的中点，由点斜式可得直线的方程为，即.17.【答案】（1）设“买家对平台的评价不是差评”为事件，由统计表可知.（2）设“这4人中恰有2人给出好评”为事件，由统计表可知买家在平台好评的概率为，在平台好评的概率为，事件包括：平台2个好评，平台0个好评；平台1个好评，平台1个好评；平台0个好评，平台2个好评；所以.18.【答案】（1）证明：取中点，连接，如上图：又因为为的中点，所以且，因为底面为矩形，为的中点，故，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为，底面为矩形，平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，取的中点为，连接，则有，所以，所以，则，所以，平面，故，所以可知两两垂直，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图，则，于是，而平面的一个法向量为，显然，又平面，由（1）知，，设平面的法向量为，则，令，得，显然平面的一个法向量为，设平面与平面夹角的余弦值为，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.【答案】（1）因为，所以等比数列的公比为，所以.所以，所以等差数列的公差为，所以.（2）由（1）知，所以.（3）由等差数列的前项和公式知，由二次函数的性质知，当时，取得最大值75.20.【答案】（1）由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为；（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，从而设，，联立，化简并整理得，由题意，即应满足，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线方程中令，得，所以，此时应满足，即应满足或，综上所述，满足题意，此时或.21.【答案】试题分析：（1）由椭圆C的方程可以求椭圆C的离心率（2）设椭圆C的椭圆方程，结合，得出结果.（1）由题意，椭圆C的标准方程为，所以，从而，因此，故椭圆C的离心率.（2）设点A，B的坐标分别为，其中，因为，所以，即，解得，又，