2025北京清华附中高二（上）统练五数学试题及答案

高中2025北京清华附中高二（上）统练五数学2025.12第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.2.双曲线的焦距为（）A.2 B.4 C.6 D.123.经过点，且与直线垂直的直线方程为（）A. B.C. D.4.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.5.已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.6.已知点，直线：，当，在变化时，点到直线的距离的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.47.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则（）A.12 B.10.5 C.9 D.7.59.吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（）A. B.C. D.10.已知点，点在曲线上，则的面积（）A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，______.12.已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是______.13.已知直线与：交于，两点，且，则______.14.若直线与双曲线没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围为___________.15.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.设曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，给出下列四个结论：①曲线关于轴对称；②曲线恰好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③面积的最大值为1；④（为坐标原点）.其中正确结论的序号是__________.三、解答题共3道小题，共35分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知椭圆：的右焦点，离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆上一动点，且点不在坐标轴上，轴于点，，且交直线于点，直线交轴于点，求证：为定值.17.设函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求的值；（2）设函数，求的单调区间；（3）求的极值点个数．18.若有限数列A：的各项均为正整数，且对，都有，则称数列A具有性质P.将数列A各项之和记为.（1）分别判断下列两个数列：1，6，2，4，3，：1，2，3，4，5，…，10，是否具有性质P，并说明理由.（2）若数列A具有性质P，且项数m为6，求的最小值.（3）对具有性质P且项数固定为m的数列A，记的最小值为.判断是否存在正整数使得.若存在，求出所有的m；若不存在，请说明理由.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案DDACACBCDD第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11.【答案】点在双曲线上，而，则点在该双曲线的左支上，又，分别为该双曲线的左、右焦点，因此，所以.故答案为：12.【答案】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，由圆与圆有3条公切线，得圆与圆外切，则，即，而，所以.故答案为：13.【答案】如图，作于,由圆知，圆心，因为，所以,即，所以,即圆心到直线的距离，解得或，故答案为：或14.【答案】∵双曲线的渐近线方程：，且直线与双曲线没有公共点，∴即又，∴.故答案为：15.【答案】曲线上的任意点，其关于的对称点为，代入曲线左侧有，即点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，①对；由方程易知，均在曲线上，曲线至少经过4个整数点，②错；由，即，且，根据曲线关于轴对称，只需研究时的曲线性质，对于，当且仅当时取等号，对于在上单调递增，则，令，则，可得，结合曲线的对称性有，所以，最大，③对；在上，才能保证最大，令且，此时，所以，且，所以，当且仅当取等号，④对.故答案为：①③④三、解答题共3道小题，共35分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）因为椭圆：的右焦点，所以，因为离心率，解得，由，解得，因此椭圆的标准方程为.（2）设点在椭圆上且，则，即，当时，，直线为，因为，故直线为，为直线与的交点，即，直线的轴截距点，此时，所以.当时，因为轴于点，所以，故的斜率为，因，故的斜率为，所以直线的方程为，令得点纵坐标为，故，直线的斜率为，代入，直线的方程为，令，解得，故，因此为定值.综上所述，为定值.17.【答案】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.18.【答案】（1）对于数列因为因为存在两个连续三项的和相等，所以数列不具有性质；对于数列因为所有连续三项的和互不相等，所以数列具有性质.（2）因为数列的各项均为正整数，所以为了使最小，数列的项应尽可能小，从1开始尝试，构造数列，，要求互不相等，当数列A的项全为1时，，所有连续三项的和为，不满足互不相等；当数列A的项有5个1时，若有4个或5个1相邻，不满足互不相等，当有3个1相邻时，如，不满足互不相等；当数列A的项有4个1时，若有4个1相邻，不满足互不相等，若有3个1相邻，如或或，均不满足互不相等；当数列A的项有3个1时，如或，满足题意；此时数列的和最小，最小值为.（3）记，又因为为互不相等，即，且所以，。由于要用到，我们先计算，将按从小到大重新排序，不影响的值，不妨设为，要使最小，则相邻间的间隔最小，只能为1，即所以，那么，（其中取）所以，①当时，。这就是说，当时，