2025北京人大附中高二（上）统练三数学试题及答案

高中2025北京人大附中高二（上）统练三数学2025年12月8日一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.椭圆：的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，2.在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（）A.2 B.3 C. D.3.已知点P与共线，则点P的坐标可以为（）A. B.C. D.4.设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（）A. B.C. D.5.已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为A. B.C. D.6.对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（）A. B.C. D.8.如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是A. B. C. D.9.双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（）A.2 B.4 C.8 D.1410.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（）A. B. C. D.1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11.曲线与曲线的公共点的个数是______．12.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于__________.13.若对，直线与双曲线最多有一个公共点，则该曲线的离心率为______．14.双曲线的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则双曲线的渐近线方程为______．15.在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线相切，则圆C面积的最小值为___．16.已知曲线．①若为曲线上一点，则；②曲线在处的切线斜率为0；③与曲线有四个交点；④直线与曲线无公共点当且仅当．其中所有正确结论的序号是_____________．三、解答题：本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：；条件②：.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.18.已知椭圆的离心率为，焦距为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点.是否存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678910答案BDBDDBBABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11.【答案】曲线与曲线联立得：，即，解得：或,当时，，解得：，点也在曲线上，满足条件；当时，，此方程无解；综上曲线与曲线的公共点为，即公共点的个数是；故答案为：12.【答案】设|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|，若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝，故曲线Γ的离心率等于或点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13.【答案】由得，因为对，直线与双曲线最多有一个公共点，所以，即，所以双曲线方程为，若双曲线焦点在轴，则标准方程为，所以，，此时离心率为；若双曲线焦点在轴，则标准方程为，所以，此时离心率，故答案为：或.14.【答案】由双曲线：，可得左焦点，右顶点，其中一条渐近线的方程为，即，则顶点到的距离为，焦点到的距离为，由题可得，即，因为，即，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：.15.【答案】由题意，圆心到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则，则，．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆，则半径就是圆心到原点的距离，所以圆心到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.【答案】当，时，曲线的方程为，即，曲线是双曲线的一部分；当，时，曲线的方程为，即，曲线是椭圆的一部分；当，时，曲线的方程为，曲线不存在；当，时，曲线的方程为，即，曲线是双曲线的一部分；双曲线和有一条共同的渐近线，综上，可作出曲线的图象，如图：由图象可知曲线的图象上的点都在直线的下方，所以当在曲线上时，有，故①正确；设过点的直线的方程是，若直线与椭圆相切，则由得，，得；若直线与双曲线相切，则由得，则且，得，此时直线的方程是，与曲线相切，故②正确；直线是表示与直线平行或重合的直线，由曲线的图象可知，直线与曲线不可能有四个交点，故③错误；设直线与椭圆相切，则由得，所以，解得，结合曲线的图象，取，即直线与曲线相切，所以若直线与曲线无公共点，结合曲线的图象，或，故④错误.故答案为：①②.三、解答题：本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.【答案】（1）选择条件①：（1）因为平面平面，所以平面.又因为平面，平面平面，所以.选择条件②：解法同上（2）选择条件①：因为平面，平面，所以.又因为，所以.因此，即两两垂直.如图，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，所以.由（1），得，且为棱的中点，所以点为棱的中点.，故.设平面的一个法向量为，则，取，则，即.所以点到平面的距离.选择条件②：因为平面，平面所以，又因为与相交，平面，所以平面，平面，所以，即两两垂直.以为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上；（3）选择条件①：设，则.所以.设直线与平面所成角为，所以；化简得，