2025北京人大附中高二（上）统练一数学试题及答案

高中2025北京人大附中高二（上）统练一数学一、选择题（共10道小题，每题5分，共50分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案填在答题纸上）1.已知点是法向量为平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（）A. B. C. D.2.过点且斜率为1的直线方程是（）A. B.C. D.3.已知两条直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.5.如图，在平行六面体中，，为线段CH的中点，则可表示为（）A B.C. D.6.如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（）A. B.C. D.8.在棱长为2正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（）A.- B. C.- D.9.如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（）A. B. C. D.10.给定两个不共线空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（）A.B.C.D.二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案填在答题纸上）11.已知直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则______.12.已知，，，若四点共面，则实数___________.13.如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．14.已知直线过点．（1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________（2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________．15.如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.给出下列四个结论；①三棱锥中，点到面的距离为定值②过点且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为③直线与面所成角的正弦值的范围为④当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：（共2道小题，共25分．请把正确答案填在答题纸上）16已知直线过点，直线：．（1）若，求直线的方程；（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．17.如图，在四面体中，平面，点为中点，且，，.（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在；求的值；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题（共10道小题，每题5分，共50分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案填在答题纸上）12345678910BDABBADADB二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案填在答题纸上）11.【答案】因为直线，且的方向向量为，平面的法向量为，所以，解得.故答案为：12.【答案】因为四点共面，所以存在实数，使得，即，所以，解得，所以.故答案为：.13.【答案】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，所以，，所以，则直线与所成角的余弦值为，故答案为：.14.【答案】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即；当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得，所以所求直线方程为，即．综上可得，所求直线方程为：或．（2）依题意，设点，（，），直线的方程为，又点在直线上，于是有，利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立，，即的面积的最小值为4．故答案为：或；4.15.【答案】以A为坐标原点，分别以为轴建系如图：,，，设,则，所以，设面的一个法向量为，则，令得，对于①：到平面的距离为，故①正确；对于②：连接，因为四边形为平行四边形，，又面，面，面，同理可证面，又，所以面面，所以过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为，它是边长为的等边三角形，故面积为，故②错误；对于③：设直线与面所成角为，则，，，所以直线与面所成角的正弦值的范围为，故③正确；对于④：当点P为中点时，设三棱锥的外接球球心，，，解得，所以外接球半径满足：，三棱锥的外接球表面积为，故④错误；故答案为：①③三、解答题：（共2道小题，共25分．请把正确答案填在答题纸上）16.【答案】（1）设直线的斜率为，直线的斜率为因为，所以又因为，所以又因为直线过点直线的方程为，即．（2）若直线斜率不存在，则直线：此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题意．若直线斜率存在，设直线的斜率为设直线：，与轴交点为点令，解得所以点坐标为直线与直线的交点为点因为直线与轴和直线围成的三角形面积为即即，可求得则直线的方程为综上：直线的方程为或．17.【答案】（1）因，则，即，又因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，由平面，可得.（2）以A坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得,设平面的法向量为，则，令，则