2025北京三十五中高二5月月考数学试题及答案

高中2025北京三十五中高二5月月考数学2025.05一.选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1.已知集合，则集合中的元素个数为A.5 B.4 C.3 D.22.是等差数列的前n项和，如果，那么的值是（）A.48 B.36 C.24 D.123.若为数列的前项和，且，则等于（）A. B. C. D.304.下列四个求导运算中运算结果错误的是（）A. B.C. D.5.函数的图象大致是（）A.B.C.D.6.某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（）A. B. C. D.7.已知数轴上两点O，P的坐标为，，现O，P两点在数轴上同时相向运动．点O的运动规律为第一秒运动2个单位长度，以后每秒比前一秒多运动1个单位长度；点P的运动规律为每秒运动5个单位长度．则点O，P相遇时在数轴上的坐标为（）A.30 B.35 C.40 D.458.已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的（）A. B. C.是递增数列 D.存在最小值9.设随机变量的分布列如下：则下列说法中不正确的是（

）12345A.B.的通项公式可能为C.若为等差数列，则D.当时，10.已知函数，有如下3个结论：①当时，在区间上单调递减；②当时，有两个极值点；③当时，有最大值.其中，正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3二.填空题(共6小题，每小题5分，共30分)11.一个家庭中有两个小孩，在其中有一个是男孩的条件下，则另一个是女孩的概率是_______．12.设等差数列前项和为，，，则_____，的最小值为______.13.已知等比数列的第5项是二项式展开式中的常数项，则______．14.已知在处取得极值，则的最小值为__________.15.某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．则使用4年该车的总费用（包括购车费用）为______；这种新能源汽车使用______年报废最合算（即该车使用的年平均费用最少）？16.已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论：①可能为等差数列；②中最大的项为；③不存在最大值；④的最小值为36．其中所有正确结论的序号是________．三.解答题(共4小题，共50分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)17.两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；②：③（）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题.（1）求数列，的通项公式；（2）记，求数列的前项和.注：请考生从给出的条件①、②、③中任选一个作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选条件对应的题号涂黑，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值；（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列；（3）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生日平均阅读时间在(单位：小时)内的概率，其中.当最大时，写出的值.（只需写出结论）19.已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.20.已知函数，.（1）当时，求函数的在点处的切线；（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；（3）若函数的图象上存在两点，，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由.

参考答案一.选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1.【答案】D【详解】由已知得中的元素均为偶数，应为取偶数，故，故选D.2.【答案】C【分析】由求和公式结合等差数列的性质得出的值.【详解】因为，所以故选：C3.【答案】D【分析】根据数列通项与前n项和的关系求解.【详解】因为，所以，所以，故选：D4.【答案】B【分析】根据导数四则运算法则及复合函数求导公式即可判断．【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：B5.【答案】A【分析】先求解函数零点，排除C、D，再用导函数求解单调区间，排除B.【详解】令，解得：或，排除C、D；，当或时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故选：A6.【答案】D【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可.【详解】甲获得冠军分以下二类：第一类：甲获胜的概率为：；第二类：甲获胜的概率为：；所以甲获胜的概率为，故选：D.7.【答案】B【分析】根据题意结合等差数列分析可得第秒时，两点，的坐标为，，列式求解即可．【详解】解：设点第秒运动个单位长度，前秒运动总长度为，则，，所以是以首项为2，公差为1的等差数列，则，可得，设点第秒运动个单位长度，前秒运动总长度为，则，，故第秒时，两点，的坐标为，，由题意可得：，解得或（舍去），即，所以点，相遇时在数轴上的坐标为故选：B．8.【答案】C【分析】取，推导出，结合数列的单调性可判断ABD选项；利用数列的单调性可判断C选项.【详解】对于A选项，若，则对任意的，，，但，A错；对于B选项，若，则对任意的，，则，B错；对于C选项，对任意的，，则，则，所以，是递增数列，C对；对于D选项，若，则对任意的，，，则，则数列是每一项均为负数的递减数列，此时不存在最小值，D错.故选：C.9.【答案】B【分析】利用概率的性质，等差数列的性质以及裂项法求和求解即可．【详解】选项．由已知得，其中，，则，所以选项正确，不符合题意；选项B．，则，即的通项公式不可能为，所以选项B不正确，符合题意；选项．，解得，所以选项正确，不符合题意；选项D．当时，即，则，所以选项D正确，不符合题意；故选：B．10.【答案】C【分析】①求出函数的导数，根据已知求得，即可求得说法正确；②根据已知将问题转化为两个函数与的图象交点问题，作出图象，求得两个图象有两个交点，从而求得有两个极值点，则说法正确；③结合图象，时，可求得，则单增无最大值，故说法错误.【详解】，，对于①，因为，所以，当时，，则在区间上单调递减，所以①正确.对于②，令，得，令，，当，则，当，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当，，又当趋近于时，趋近于，，当趋近于时，趋近于0，所以可作出函数的大致图象如图所示，

由图可知，当时，直线与的图象有两个交点，即方程有两个不等实根，当或时，，

当时，，则在和上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，故有两个极值点，所以②正确.对于③，当时，，即恒成立，则函数在上单调递增，所以函数无最大值，所以③错误.则说法正确的个数为，故选：C.二.填空题(共6小题，每小题5分，共30分)11.【答案】【分析】由列举法可得答案.【详解】一个家庭中有两个小孩有{男孩，男孩}，{男孩，女孩}，{女孩，男孩}，{女孩，女孩}四种情况，A=“其中有一个是男孩”，B=“其中有一个是女孩”，则A={{男孩，男孩}，{男孩，女孩}，{女孩，男孩}}，B={{男孩，女孩}，{女孩，男孩}，{女孩，女孩}}，{{男孩，女孩}，{女孩，男孩}}，所以，，，故答案为：.12.【答案】①.②.【分析】利用基本量法可求，求出通项后判断其正负可得的最小值.【详解】设等差数列的公差为，则，故，故，故，当时，而时，，当时，，故的最小值为，故答案为：；13.【答案】36【分析】由条件利用二项式的展开式的通项公式求得展开式中的常数项，可得等比数列的第项，再根据求得结果．【详解】二项式展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，即．根据为等比数列，可得，故答案为:36．14.【答案】8【分析】由已知在处取得极值求得，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】解：由，因为函数在处取得极值，所以有，则，因为，所以，当且仅当，结合，即时取等号.故答案为：815.【答案】①.②.【分析】设第的总费用为，根据题意，得到，令时，求得的值，再设该车的年平均费用为万元，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】设第的总费用为，由题意，可得，当时，可得（万元）；设该车的年平均费用为万元，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为（万元），所以这种新能源汽车试验年报废最合理，年平均费用的最小值为万元.故答案为：；.16.【答案】③④【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出的最小值判断④作答.【详解】当时，由得，由得，于是与仅只一个为1，即，因此数列不能是等差数列，①错误；令，依题意，与均为整数，且有且仅有一个为1（即隔项为1），若，则，，而，，因此，当且仅当数列为时取等号，若，则，，而，，因此，当且仅当数列为时取等号，从而的最小值为36，④正确；当时，取，数列为：，满足题意，取，，中最大的项不为，②错误；由于的任意性，即无最大值，因此不存在最大值，③正确，所以所有正确结论的序号是③④.故答案为：③④三.解答题(共4小题，共50分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)17.【答案】（1）选①或③，,（2）【分析】（1）若选①，利用退位相减法可求，若选③，则可直接求出，又利用基本量法可求；（2）利用分组求和法可求.【小问1详解】因为，，故公比即，故.若选①，因为，故对也成立，故，此时数列唯一确定，符合；若选②，则，而，此时数列不能唯一确定，舍；若选③，则，故为等差数列且公差为2，故，此时数列唯一确定，符合；故选条件①或③，此时，数列唯一确定.【小问2详解】,故.18.【答案】（1）（2）分布列见解析（3）【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出的值．（2）由频率分布直方图求出这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．（3）根据对立重复试验的概率公式得到方程组，解得的取值范围，即可得解．【小问1详解】解：由频率分布直方图得：，解得．【小问2详解】解：由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为：0123【小问3详解】解：由（1）可知的概率，所以依题意，即，即，解得，因为为非负整数，所以即当最大时，．19.【答案】（1）（2）当或时，有最大值.【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解即可；（2）求出数列的前n项的乘积为，利用二次函数的性质求最值即可.【小问1详解】由已知得，数列的首项，，设数列的公比为，即∴即，【小问2详解】，即当或5时，有最大值.20.【答案】（1）（2）（3）当时，函数是“拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当时，不是“拉格朗日中值函数”；理由见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义求得函数的在点处的斜率即可求解；（2）利用导数的几何意义可得在上恒成立，参变分离可得即可，求在上的最小值即可得解；（3）假设函数是“拉格朗日中值函数”，设，是上不同的两点，且，代入，当时，整理得，设，上式化为，然后构造函数，根据导数研究此方程是否成立，从而可确定假设是否成立.【小问1详解】由题意可知当时，，，，所以函数的在点处切线的斜率，所以函数