2025北京十四中高二5月月考数学试题及答案

高中2025北京十四中高二5月月考数学2025.5注意事项1.本试卷共6页，共25道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.出题人：高二备课组审核人：高二备课组第一部分（选择题共60分）一､选择题共15小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.2.已知命题，则是（）A. B.C. D.3.如果实数，，满足：，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.4.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.5.从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是()A. B. C. D.6.在等差数列中，，设数列的前项和为，则（）A.12 B.99 C.132 D.1987.函数的图象大致为（）A.B.C. D.8.袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（）A. B. C. D.9.已知偶函数在区间上单调递减．若，则x的取值范围是（）A. B.C. D.10.《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则A.64 B.96 C.128 D.16011.若随机变量的分布列如下表所示，则的最小值为（）0123A. B.C. D.12.若数列满足则“”是“为等比数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件13.如果圆柱轴截面的周长为定值12，那么该圆柱体积的最大值为（）A. B. C. D.14.数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（）A.2025 B.2024 C.1013 D.101215.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第二部分（非选择题共90分）二､填空题共6小题，每小题5分.16.已知集合，若，则实数的取值范围是__________.17.已知实数，则函数的最小值为____________．18.在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙两人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是．假设甲、乙两人回答问题正确与否相互独立．那么乙答对这道题的概率为_________．19.能够说明“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为___________.20.已知函数（是自然对数的底数），则过原点且与曲线相切的直线方程为__________．21.在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：①；②；③，使得当时，总有④，使得当时，总有．其中，所有正确结论的序号是_________三､解答题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.22.已知等差数列的公差为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和；（3）若等比数列满足，设数列的前项和为.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.23.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）当时，恒成立，求的取值范围.24.2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条､段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园､积水潭､牛街､草桥､新发地､新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：下车站上车站牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫合计牡丹园///5642724积水潭12///20137860牛街57///38124草桥1399///1638新发地410162///335新宫25543///19合计363656262125200（1）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；（2）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；（3）为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上､下车情况，“”表示上车，“”表示下车.相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上､下车情况，直接写出方差，，大小关系.25.如果无穷数列是等差数列，且满足：①、，，使得；②，、，使得，则称数列是“数列”.（1）下列无穷等差数列中，是“数列”的为___________；（直接写出结论）、、、、、、、、、、、、（2）证明：若数列是“数列”，则且公差；（3）若数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式.

参考答案第一部分（选择题共60分）一､选择题共15小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】先求出一元二次不等式的解集，再按照补集的定义求解即可.【详解】因为，解得，所以.因为，所以.故选：C2.【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可解.【详解】因为命题，所以：，故选：B.3.【答案】D【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果．【详解】对于选项A，当c=0时，ac2=bc2，故选项A错误；对于选项B，当时，a2＞b2＞c2错误；对于选项C，当a=1，b=0，时，a+c＞2b错误；对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出，故选项D正确．故选：D．4.【答案】B【分析】根据自变量范围代入分段函数对应解析式，求得，再计算即为所求.【详解】,，又，，，故选：B.5.【答案】D【分析】设事件为“第i次抽到偶数”，i＝1，2，则所求概率为【详解】设事件为“第i次抽到偶数”，i＝1，2，则事件“在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数”的概率为：.故选：D.6.【答案】C【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解.【详解】，，.故选：C7.【答案】D【分析】化简函数解析式，由此可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，且，因此，函数的图象为选项D中的图象.故选：D.8.【答案】D【分析】根据超几何分布公式计算即可.【详解】设事件A表示“取出3个球中恰好有2个黄色乒乓球”，则，故选：D.9.【答案】C【分析】根据偶函数的对称性得到在区间上单调递增，再根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增；则等价于，即，即，解得，即原不等式的解集为；故选：C10.【答案】C【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，因为，，可得，可得，又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.故选：C.11.【答案】C【分析】先利用分布列的性质得到的关系式与范围，再利用基本不等式即可得解.【详解】依题意，得，且，即，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.12.【答案】A【分析】,不妨设，则可证充分性；为等比数列且时得不到，可知必要性不成立【详解】不妨设，则为等比数列；故充分性成立反之若为等比数列，不妨设公比为，，当时，所以必要性不成立故选：A．13.【答案】B【分析】设出圆柱的底面半径和高，根据已知条件求得底面半径和高的关系式，结合基本不等式求得体积的最大值．【详解】设圆柱的底面半径为，高为，均为正数，则，即圆柱的体积，当且仅当时等号成立．所以该圆柱体积的最大值为.故选：B．14.【答案】D【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可.【详解】由函数，得，令，则，两式相加得，解得.故选：D.15.【答案】A【分析】由知只要函数与的图象在时有交点即可．也即在上有解，分离参数后求出相应函数的值域即得．【详解】∵存在非零实数，使得成立，由把关于轴对称后的图象与有交点，它们都过原点，如图，，，，即的图象在原点处切线斜率为1，∴，即．故选：A．第二部分（非选择题共90分）二､填空题共6小题，每小题5分.16.【答案】【分析】把转化为，借助数轴即可求出实数的取值范围.【详解】因为，所以，因为，所以，所以实数的取值范围为.故答案为：17.【答案】3【分析】利用基本不等式即可求得的最小值为3.【详解】易知，所以，当且仅当时等号成立；所以的最小值为3.故答案为：318.【答案】【分析】利用独立事件和对立事件概率公式，即可求解.【详解】设甲答对这道题为事件，乙答对这道题为事件，则，则，.故答案为：19.【答案】1，1（答案不唯一）【分析】若是假命题，可推出，故只需列举出满足条件的两个正整数即可．【详解】若是假命题，则，又，，都是正数，，，，故当时，是假命题，故答案为：1，1（答案不唯一）．20.【答案】【分析】因为函数，设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，即可求得所求的切线方程．【详解】设切点坐标为，，，，则曲线在点处的切线方程为：，由于该直线过原点，则，得，则过原点且与曲线相切的直线方程为，整理得：，故答案为：．21.【答案】①②③【分析】由得即可判断①正确；由，即可判断②正确；由，当时，，即可判断③正确；由，当时，，即可判断④错误.【详解】因为，两式作差得，故为常数列，即，故，①正确；因为，又，为正实数数列，故，故，②正确；由上知，，因为为常数，为单增数列，故当时，，又，故，使得当时，总有，③正确；，又，故，因为为常数，为单增数列，故当时，，，故④错误.故答案为：①②③.三､解答题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.22.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据递推式，利用赋值法写出方程组，解方程组即可；（2）根据裂项相消可直接求和；（3）根据等比数列求和公式可求，再利用恒成立可求参数范围.【小问1详解】已知等差数列的公差为，，，所以.【小问2详解】因为，所以.【小问3详解】数列为等比数列，，所以首项为1，公比为的等比数列，则，又对任意，不等式恒成立，所以.23.【答案】（1）；（2）的单增区间为，单减区间为；（3）【分析】（1）直接计算，求导计算，写出切线方程即可；（2）直接求导确定导数的正负，写出单调区间即可；（3）先根据必要性得到，再证明当时，，结合（2）中单调性证得，即满足充分性，即可求解.【小问1详解】，当时，，，，，故曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】易得定义域为，当时，，令，或，当或时，单调递减；当或时，单调递增；故的单增区间为，单减区间为；【小问3详解】“，即”是“当时，恒成立”的必要条件.当，时，，令，由（2）知，在单调递减，在单调递增，故，即，所以的取值范围是.24.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，数学期望：1（3）【分析】（1）用频率估计概率即可；（2）服从二项分布，分别计算概率，列出分布列计算期望（3）根据两点分布方差公式可得答案.【小问1详解】设选取的乘客在积水潭站上车､在牛街站下车为事件，由已知，在积水潭站上车的乘客有人，其中在牛街站下车的乘客有人，所以.【小问2详解】由题意可知，；；；.随机变量的分布列为所以随机变量的数学期望为.【小问3详解】.（两点分布：）25.【答案】（1）、（2）证明见解析（3）或【分析】（1）根据“数列”的定义可得出结论；（2）验证成立，利用①②推导出，假设，可得出等差数列是递减数列，结合①得出，结合可得出或，，再结合不等式的基本性质以及数列的单调性推出矛盾，从而说明不成立，即可证得结论成立；（3）由（2）知，，可得知数列是递增数列，推导出不成立，可得出，分、两种情况讨论，验证、满足①②，即可得出结果.【小问1详解】解：由“数列”的定义可知，数列、为“数列”.【小问2详解】证明：若，则由①可知，所以或，且公差，以下设.由①，、，，，两式作差得，因为，所以.由①，、，，，两式作差得，因为，所以，因