2025北京首师大附中高二6月月考数学试题及答案

高中2025北京首都师大附中高二6月月考数学第I卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.下面导数运算错误的是（）A. B. C. D.2.函数y=x2㏑x的单调递减区间为A.（1,1] B.（0,1] C.[1，+∞） D.（0，+∞）3.已知等差数列的前项和为，若，，则公差（）A. B. C.2 D.34.建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.下列叙述中正确的是（）A.在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0B.在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率C.甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率D.乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率5.2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有（）A.60种 B.种 C.276种 D.432种6.关于函数，下列结论错误的是（）A.的解集是 B.是极小值，是极大值C.没有最小值，也没有最大值 D.有最大值，没有最小值7.（）A. B. C. D.8.已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件9.甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie，VisualC++，VisualFoxpro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC++编程语言”，则下列结论错误的是（）A.事件A与B相互独立 B.事件A与C不是互斥事件C. D.10.数列的前项和为，若数列与函数满足：（1）的定义域为；（2）数列与函数均单调递增；（3）使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列四个结论：①与具有“单调偶遇关系”；②与具有“单调偶遇关系”；③与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；④与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.其中所有正确结论的序号为（）A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②④第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）11.若随机变量的分布列如下，则随机变量的数学期望________，方差________．0112.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为，则该构件通过质检的概率为________．13.若函数无极值点，则实数的取值范围是_________．14.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；并且所有项的系数之和为1，则含的项的系数为________（用数字作答）．15.法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件：①的图象在闭区间上是连续不断的；②在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数，使得.这就是著名的“拉格朗日中值定理”，其中称为拉格朗日中值.请阅读以上内容，回答以下问题:（1）函数在区间上的拉格朗日中值为____________；（2）下列函数，是否存在以0为拉格朗日中值的区间?若存在，请将函数对应的序号全部填在横线上____________.①；②；③；④；⑤三、解答题（本大题5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.在等差数列中，，．（1）求通项公式及其前项和的最小值；（2）若数列为等比数列，且，，求的前项和．17.某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：青少年组中年组老年组愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意第一款402080202020第二款303060403010第三款501080201030假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.（1）从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；（2）从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望；（3）用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差的大小关系．18.已知椭圆的焦距为，直线与在第一象限的交点的横坐标为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，，试探究直线与直线能否关于直线对称．若能对称，求此时直线的斜率；若不能对称，请说明理由．19.已知函数．（1）若曲线在处的切线与轴平行，求的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个极值点，，证明：．

参考答案第I卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】D【分析】根据求导公式和法则计算、逐一判断即可．【详解】解

，故A正确；故B正确；故C正确，故D错误.故选：2.【答案】B【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域3.【答案】D【分析】利用，可得答案.【详解】若，，则，，解得公差.故选：D.4.【答案】D【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得.【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误；对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误；对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于，乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于，故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误；对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快，故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确.故选：D.5.【答案】B【分析】结合组合知识，再采用正难则反的思想，利用间接法即可求解【详解】从个节气中选择个节气，总共不同的选法有种，从个节气中选择个节气，且个节气在同一个季节，不同的选法有，所以从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，不同的选法有种；故选：B.6.【答案】C【分析】解不等式判断A；利用导数探讨函数的极值、最值判断BCD.【详解】函数的定义域为R，对于A，，解得，即的解集是，A正确；对于BCD，，当或时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，因此是极小值，是极大值，B正确；显然当时，恒成立，当时，，，而当时，函数的值域为，而，因此有最大值，没有最小值，C错误，D正确.故选：C7.【答案】B【分析】借助二项式定理可得，即可得解.【详解】.故选：B.8.【答案】B【分析】先分析出:有唯一的最大值的充要条件为：且，根据等比数列的性质从充分性和必要性两方面论证即可求解.【详解】根据已知条件有，设公比为，则有，有唯一的最大值的充要条件为：且，若，则有，又因为，所以；又根据，即，因为，所以，综上不能推出有唯一的最大值，若有唯一的最大值，则且，因为，，所以有，又因为，所以，此时可推出成立，所以“”是“有唯一的最大值”的必要不充分条件.故选：B9.【答案】A【分析】由古典概率公式求出,再利用相互独立事件和互斥事件的定义判断A,B，利用条件概率公式计算判断C,D.【详解】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有种安排方案，甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualC++编程语言，各有种方案，∴；甲、乙均学习VisualBasic编程语言，有种方案，∴；甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC＋＋编程语言，有种方案，∴，对于A，∵，∴事件A与B不相互独立，故A错误；对于B，∵，∴事件A与C不是互斥事件，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：A10.【答案】D【分析】根据“单调偶遇关系”的新定义可判断选项①，②；以一次函数为例，可判断③；令，通过计算可判断④．【详解】对于①：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足（1），数列和均单调递增满足（2），数列的前项和，由得，解得，所以使成立，满足（3），故①正确；对于②：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足（1），数列和均单调递增满足（2），的前项和，由得恒成立，所以使成立满足（3），故与具有“单调偶遇关系”，故②说法正确；对于③：以一次函数为例，，，，即，整理得，只要方程有正整数解且即可，如方程中取，则有，即，对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数组，故③说法不正确；对于④：中令．由得，取，即可保证恒有解，故选项④正确．故选：D．【点睛】关键点点睛：通过①可想到③中以一次函数为例，通过②可想到④中令，通过举例达到解决问题的目的.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）11.【答案】①.②.【分析】根据分布列的性质求出的值，再利用数学期望和方差的公式求解即可.【详解】根据分布列的性质，，解得，所以，，.故答案为：，.12.【答案】【分析】运用条件概率求解即可.【详解】设表示第次打击后该构件没有受损，，则由已知可得，，所以，即该构件通过质检的概率为.故答案为：.13.【答案】【分析】本题首先可根据函数解析式得出导函数，然后根据函数无极值点得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为，所以，因为函数无极值点，所以，解得，实数的取值范围是，故答案为：.14.【答案】①.8②.【分析】根据已知易得，再由所有系数和得，最后应用展开式通项公式可求含的项的系数.【详解】由只有第5项的二项式系数最大，易知，所有项的系数之和为1，令有，可得或（舍），所以二项式为，其展开式通项，令，解得，所以含的项为，所以含的项的系数为.故答案为：8；.15.【答案】（1）1（2）存在，①③⑤【分析】(1)根据“拉格朗日中值定理”中值的条件对函数进行分析计算可得值.(2)先对每个函数进行求导，然后根据“拉格朗日中值定理”中值的条件对函数进行分析计算，然后再进行判断，详细见详解.【详解】(1)由题意知在区间上的拉格朗日中值，所以，，，根据“拉格朗日中值定理”可得，解得，又因，故.(2)根据题意知①，故，所以，代入可得，若，则，即，存在区间；根据题意知②，故，所以，代入，若，则，即，不存在以0为拉格朗日中值的区间；根据题意知③，故，所以，代入可得，若，则，变形可得，可设，即，则，令可得，当时，，所以单调递减，当时，，所以单调递增，，连续不间断函数，所以存在使得故存在.根据题意知④，，，代入，若，则，变形可得，可设，，则，所以单调递减，故不存在.根据题意知⑤，故，所以，代入，变形可得，可设，，令，可得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，，连续不间断函数，所以存在使得存在.故填：①③⑤三、解答题（本大题5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.【答案】（1），最小值为（2）【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果；（2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果；【小问1详解】设等差数列的公差为.因为，所以，解得，所以.所以.因为，所以当或时取得最小值，且最小值为.【小问2详解】由（1）可得：，，所以等比数列公比为，所以，所以等比数列前项和.17.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【分析】（1）根据表中数据求出相应频率，用频率估计概率即可；（2）的可能取值为，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（3）根据离散型随机变量的概率公式求解即可.【小问1详解】由表可知200名顾客中愿意购买第一款新品的人数为人，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率为.【小问2详解】用频率估计概率，由表可知从青少年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为，从中年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为，从老年组中抽取1人，愿意购买第二款新品的概率为，由题意的可能取值为，，，，，所以的分布列为.【小问3详解】用频率估计概率，由表可知顾客愿意购买第款新品的概率为，顾客愿意购买第款新品的概率为，顾客愿意购买第款新品的概率为，所以，，所以，，所以.18.【答案】（1）（2）直线与直线能关于直线对称，此时直线的斜率【分析】（1）由题意可得，由在上，可得，进而可求得椭圆方程；（2）将代入，设，，进而可得，，若直线与直线关于直线对称，则，求解判断即可.【