2025北京顺义一中高二10月月考数学试题及答案

高中2025北京顺义一中高二10月月考数学2025.10（考试时间120分钟满分150分）一、单选题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知，分别是平面，的法向量，且，则t的值为（

）A．1 B．2 C． D．2．设点在平面上的射影为，则等于（

）A． B．5 C． D．3．已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（

）A．B．C．D．l与相交，但不垂直4．“”是“直线的倾斜角大于”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，在平行六面体中，与的交点为，设，，，若，则（

）

A．1 B．0C． D．26．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，7．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（

）A． B． C． D．8．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（

）A． B． C． D．9．已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（

）A．B．C．D．10．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（

）

A．存在点E，使平面B．三棱锥的体积随动点E变化而变化C．直线与所成的角不可能等于D．存在点E，使平面二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11．如图，直线的斜率的大小关系是

12．直线的倾斜角是，在轴上的截距为.13．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为．14．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为.15．如图在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.给出下列结论：①；②平面；③直线与直线所成角的范围是；④点到平面的距离是.其中所有正确结论的序号是.解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（本题13分）已知，且.(1)求的值；(2)求.17．（本题14分）已知的三个顶点的坐标分别为，.(1)求过点且与直线平行的直线的方程；(2)求边上的高所在直线的方程.18．（本题14分）如图，在边长为的正方体中，为线段的中点.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)直线与平面所成角的正弦值.19．（本题14分）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，，，，M为中点.(1)用空间的一个基底表示，；(2)求异面直线DM与所成角的余弦值.20．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21．（本题15分）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记.(1)若，求；(2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）.②若，求直线与平面的所成角的正弦值；(3)证明，并用表示三棱锥的体积.

参考答案题号12345678910答案BDBABAACDD11．【答案】设直线的倾斜角分别为，由图可得：，则.故答案为：.12．【答案】直线的斜率为，所以倾斜角为.令，得到，所以纵截距为.故答案为：；13．【答案】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，所以，，所以，则直线与所成角的余弦值为，故答案为：.14．【答案】为的中点，，又平面，平面，点到平面的距离即为直线到平面的距离，以点为原点，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则点，，设平面的法向量为，则，令，则，，平面的法向量为，，．故答案为：．15．【答案】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有、、、、、、、，则、、、、、、，设，，则，，故，故①正确；设平面的法向量为，则有，即，取，则，有，故，又平面，则平面，故②正确；当时，有，此时，即，即此时直线与直线所成角为，故③错误；由，，则，故④正确.故答案为：①②④.16．【答案】（1）因为，若，则，可得，即，若，则，可得；所以，.（2）由题意可知：，，则，所以.17．【答案】（1）由，可知，故所求直线的方程为，即.（2）易知，则所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即.18．【答案】（1）证明：在正方体中，且，故四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，因此，平面.（2）解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，点到平面的距离为.（3）解：因为，因此，直线与平面所成角的正弦值为.19．【答案】（1）由题意可得：，.（2）由题意可得：，因为，，，可得，又因为异面直线夹角为锐角或直角，所以异面直线与所成角的余弦值.20．【答案】（1）在菱形中，连接，得等边，因为是的中点，所以，因为平面平面，所以．因为平面平面，且，所以平面．（2）因为平面平面，则有，由(1)知，故两两垂直，如图建立空间直角坐标系，因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形，则，设平面的一个法向量为，则令得，又因为平面，所以平面的一个法向量为，所以，故平面与平面夹角的余弦值为