2025北京理工大附中高二12月月考数学试题及答案

高中2025北京理工大附中高二12月月考数学1．直线的倾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知直线，直线.若，则实数（

）A． B． C． D．33．设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则（

）A． B．4 C． D．5．在正四面体中，棱与底面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．6．已知是两个不同的平面，m，n是平面和之外的两条不同的直线，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知双曲线的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．8．已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．.9．集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．10．在正四棱锥中，，侧面与底面所成的角的正切值为2，记正方形及内部区域为，则表示区域的面积为（

）A． B． C． D．11．过点且与直线平行的直线方程为.12．若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是.13．如图，若平行六面体的所有棱长均为2，且，则，异面直线与所成角的大小为.14．已知为坐标原点，抛物线：上一点到焦点的距离为4，设点为抛物线准线上的动点．若为正三角形，则抛物线方程为．15．已知曲线，点为曲线上任意一点，则下列说法正确的有.①曲线关于点对称；②曲线所围成的图形面积小于3；③点的纵坐标的取值范围为；④线段长度的最小值为1.16．已知圆C：(1)求圆C的；(2)若过点的直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程．17．如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（3）求点到平面的距离.18．已知点是离心率为的椭圆上的一点.(1)求椭圆的方程；(2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；(3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程.19．曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离.(1)在平面直角坐标系中，已知点，，求的值；(2)在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值.(3)在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积.

参考答案题号12345678910答案CDBDBAABAD1．C【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为，所以斜率，设倾斜角为，所以，所以，故选：C.2．D【分析】代入两直线垂直的公式，即可求解.【详解】因为，所以，得.故选：D3．B【分析】根据抛物线方程求解出焦点和准线方程，则结果可知.【详解】因为抛物线方程，所以焦点为，准线为，所以焦点到准线的距离为，故选：B.4．D【分析】将直线的方程与抛物线方程联立，得，由焦点弦长公式得弦长.【详解】抛物线的焦点，直线的方程为，联立方程组，得，设，，则，.故选：D.5．B【分析】根据题意作出线面角的平面角，利用线面垂直和勾股定理即可求出正弦值为.【详解】如下图所示：取为底面的中心，为底面的中点，连接；由正四面体性质易知底面，且三点共线，所以即为棱与底面所成角的平面角，取正四面体的棱，可得，由正三角形中心可得，勾股定理可得所以；故选：B6．A【分析】根据充分条件和必要条件的概念，结合点线面的位置关系，即可判断.【详解】充分性：因为，，所以，又因为，所以或，又因为m是平面和之外的直线，所以；必要性：因为，，所以或与相交或，又因为，所以与平行，相交，异面，所以必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7．A【分析】由实轴长得，由焦点到渐近线的距离为，则可得渐近线方程.【详解】由双曲线知，焦点在轴上，设左焦点，其中一条渐近线方程为，即.由实轴长为得，解得；由左焦点到渐近线的距离,则双曲线渐近线方程为.故选：A.8．B【分析】由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.故选：B9．A【分析】由题意可知曲线与圆有8个交点，结合对称性可知曲线与圆在第一象限内有2个交点，联立方程结合二次函数的零点分别运算求解.【详解】若中有8个元素，即曲线与圆有8个交点，对于曲线，用替换，方程不变，可得曲线关于y轴对称；用替换，方程不变，可得曲线关于x轴对称；圆的圆心为，半径，且关于x、y轴对称，可知曲线与圆在第一象限内有2个交点，若，曲线即为，联立方程，消去y可得，构建，则的图象开口向上，对称轴为，可知在内有两个零点，注意到，则，解得，可得，，原题意等价于在内有两个零点，且，可知符合题意，所以a的取值范围是.故选：A.10．D【分析】设，连接，根据正四棱锥的结构特征结合二面角可得，分析可知，进而可知所求区域的特征和面积.【详解】设，连接，则平面，取的中点，连接，则，因为，，则，，可知二面角的平面角为，由题意可知：，可得，连接，因为平面，平面，则，可得，可知点在以为圆心，半径为的圆上或圆内，取临界值，且，，则，可知点在区域内的部分如图阴影部分所示：则，可知，根据对称性可得，，所以表示区域的面积为.故选：D.11．【分析】根据平行得出斜率，利用过点即可得出直线方程.【详解】由题意，与直线平行的直线的斜率为，直线过点，∴过点且与直线平行的直线方程为：，即：.故答案为：.12．【分析】根据双曲线和椭圆的标准方程依次建立不等式（组），解之即可求解.【详解】若方程为双曲线时，，解得或，即实数m的取值范围为；若方程为椭圆时，，解得，即实数m的取值范围为.故答案为：；13．【分析】利用向量数量积计算公式计算可得，由异面直线所成角定义可得异面直线与所成角的大小.【详解】因平行六面体的所有棱长均为2，且，故，因，则，因异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的大小为.故答案为：；.14．【分析】根据抛物线的定义，结合等边三角形的性质进行求解即可.【详解】根据抛物线的对称性，不妨设点在第二象限，因为为正三角形，所以，因为抛物线点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以与准线垂直，，因此有，所以抛物线的方程为，故答案为：.15．③④【分析】根据对称性、面积、图象等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，当时，，当时，，，无解.当时，，解得或，所以曲线过点，这两点不关于对称，所以①错误.③，对于，由于，所以，，，当时，，，所以无解.当时，，解得，所以点的纵坐标的取值范围为，③正确.②，由③可得，故曲线即为，整理得，当时，，故关于的方程有一正一负两个解，设，则，，而，故，故在轴的右侧有曲线在直线的上方，在的下方，而曲线关于轴对称，故在轴的左侧有曲线在直线的上方，在的下方，而直线、直线、直线、直线围成的平面区域即为四边形围成的平面区域，其面积为，故曲线所围成的图形面积大于3，故②错误.④，设，其中，，由于，所以，所以，所以，所以线段长度的最小值为1，此时，所以④正确.故答案为：③④16．(1)；(2)或.【分析】（1）求出直线PC的方程，再与直线联立求出圆心坐标即可求解作答.（2）求出圆心C到直线l的距离，设出直线l的方程，借助点到直线距离公式计算作答.【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为，依题意，点在直线上，即有，解得，于是得圆心C所在直线：，由解得，则圆心，半径，所以圆C的方程为.（2）因直线l被圆C截得的弦AB长为6，则圆心C到直线l的距离，当直线l的斜率不存在时，直线l：，圆心C到此直线的距离为2，则直线l：，当直线l的斜率存在时，设直线，即，圆心C到此直线的距离，解得，于是有，所以直线l的方程为或.17．（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）利用中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理可得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出方向向量及法向量，利用空间向量夹角公式即可得解．（3）求出的坐标，再利用求解即可.【详解】（1）证明：，分别为，的中点，，又在平面，在平面平面；（2）如图建立空间直角坐标系，因为，则，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，设平面的法向量为，则，可取，设直线与平面所成角为，则(3)求得因为平面的法向量，所以点到平面的距离【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18．(1)(2)直线和的斜率之积为定值；(3).【分析】（1）由离心率及过点即可求出椭圆方程；（2）设，可得，从而可得，即可求解；（3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程．【详解】（1）由题可得，，，将代入椭圆方程得，，所以椭圆方程为；（2）依题意得在椭圆上，直线和的斜率和都存在且不为0，设，所以，，，，所以直线和的斜率之积为定值；（3）设直线的方程为，，，由消去，整理得，，则，则，，，点到直线的距离为，，，即，此时直线的方程为.

19．(1)(2)(3)【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可；（2）设，，由曼哈顿距离定义表示，利用函数的单调性结合三角恒等变形可求的最小值即可；（3）利用曼哈顿距离定义求得动点围成的图形为八面体且每个面均为边长为的等边三角形，即可求解其表面积.【详解】（1），所以.（2）设，，，.当且仅当时有最小值，为单调递减函数，所以，当，即时，