2025北京五中高二10月月考数学试题及答案

高中2025北京五中高二10月月考数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知空间中任意四点，，，，则（）A. B. C. D.2.直线的倾斜角等于（）A. B. C. D.不存在3.已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则＝（）A. B.C. D.4.在空间直角坐标系中，设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（）A.1 B.2 C. D.35.已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（）A. B.C. D.7.经过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为（）A. B.C. D.8.人教版选择性必修第一册教材页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点.由，可得，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.9.如图，在等腰直角三角形中，点是边上异于、的一点.光线从点出发，经过、反射后又回到点.若光线经过的重心，且，则（）A. B. C.2 D.10.已知实数，，，满足：，，，则的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________．12.直线与直线平行，则实数______．13.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________．14.满足条件，的的面积的最大值是______．15.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：①平面截正方体所得的截面图形是五边形；②直线到平面的距离是；③存在点，使得；④面积的最小值是．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．（1）求顶点C的坐标；（2）求直线BC的方程．17.如图，在正四棱柱中，为的中点.平面交棱于点.（1）证明：点为中点.（2）若，求点与平面的距离.18.在△ABC中,（1）求∠B；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长.条件①:；条件②：△ABC的面积为；条件③：AC边上的高等于注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，，、分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）已知为棱上的点，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值；（3）在（2）已知的条件下，设点在延长线上，且.判断直线是否在平面内，并说明理由.20.已知，，是函数图像上的三个点.（1）当时，线段的垂直平分线方程为，求直线的方程；（2）在（1）的条件下，求外接圆的标准方程.（3）过点的两条直线，相互垂直，且直线的斜率为，直线，与轴交点的横坐标为，.若，求的取值范围.21.已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：①；②.则称这样的数表具有性质.（1）若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；（2）对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；（3）对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910CCCBBBBADA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】，由与平行可得，解得.故答案为：212.【答案】由直线与直线平行，得，所以或.故答案为：或13.【答案】当直线过原点时，设直线，代入点，得，得，即；当直线不过原点时，设直线，代入点，得，得，即，化简得.综上可知，满足条件的直线方程为或.故答案为：或.14.【答案】方法一：如图所示，以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，，设，由，由阿波罗尼斯圆的定义得，所以，化简得，故点的轨迹方程为，（注意：当时，三点共线，不满足题意）当点到直线距离最大，即为半径时，的面积最大，最大值为．方法二：由知点在定比为的阿波罗尼斯圆上（记为圆），且圆半径，连接，当时，面积取得最大值，且最大值为．方法三：作高法．作于点．设，，则．由可得，，即，当且仅当时，取最大值8，则的最大值为，可知面积最大为．方法四：设，则，由余弦定理得．的面积为①．由三角形任意两边之和大于第三边可得，解得，即，所以当时①式取得最大值，即的面积的最大值为．故答案为：15.【答案】对于①，如图直线与的延长线分别交于,连接分别交于,连接，则五边形即为所求的截面图形，故①正确；对于②，由题知，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，设点到平面的距离为，由正方体的棱长为2可得，，，所以，，所以由，可得，所以直线到平面的距离是，故②错误；对于③，如图建立空间直角坐标系，则，设，所以，又因为，所以，所以，假设存在点使得，所以，整理得，所以（舍去），或，所以存在点使得，故③正确；对于④，由③知，所以点在的射影为，所以点到的距离为，当时，，所以面积的最小值是，故④正确；故答案为：①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）解：设，∵AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．∴，解得．∴．（2）设，则，解得．∴．∴．∴直线BC的方程为，即为．17.【答案】（1）在正四棱柱中，平面平面，且平面与两平面的交线分别为，所以，同理平面平面，且平面与两平面的交线分别为，则，所以四边形为平行四边形，又，由与全等可得，所以点为中点.（2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，则，设点与平面的距离为，则.18.【答案】（1）由可得，由余弦定理可得：，因为，所以，又因为，所以，所以，因为，所以.（2）若选择①：因为，，所以，所以，则，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①.若选择②：由（1）可得，即，则，解得，再代入可得：，所以△ABC的周长为：.若选择③：由（1）可得，即，由可得：，所以，又因为AC边上的高等于，，所以，解得：，所以，，所以△ABC的周长为：.19.【答案】（1）如图，取中点，连接，因为为的中点，所以且.，因为底面四边形是矩形，为棱的中点，所以且．所以且，故四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）过作于，连接，平面平面，平面平面，平面，因为，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角或其补角，设，由余弦定理得，又，所以，所以，所以，所以，因为平面PMB与平面SAD所成角的余弦值为，所以，平方得，所以，整理得，所以，解得或（舍去），所以．（3）因为是正三角形，，则，，所以，，，由（2）知，则，在中，在中，而，综上，，又都在平面内，则三点共线，由平面，即平面，，则平面，又平面，而，则平面.20.【答案】（1）当时，，即，由线段的垂直平分线方程为，可得，所以方程为：，即，联立，消去，可得：，解得，即，所以，所以直线的方程为：，即（2）由（1）知，，，设圆的方程为：，则，解得：，即圆的方程为：，即.（3）由题意可得：，

，令，因为，可得：，，令，可得：，所以，因为，所以，所以，所以所以，即的取值范围是21.【答案】（1）满足条件的数表为，所以的值分别为5，5，6.（2）若当取最大值时，存在，使得.由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为.①若存在（为偶数，），使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性