2025北京育才学校高二3月月考数学试题及答案

高中2025北京育才学校高二3月月考数学一、选择题（每小题4分，10道小题，共40分）1.与的等差中项是（）A. B.C. D.2.某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（）A. B. C. D.3.船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气不好，将损失2000元，根据预测，天气好的概率为0.6，天气不好的概率为0.4，则出海效益的期望是（）A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2600元4.已知数列的通项公式是，那么这个数列是（）A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列5.2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（）A. B. C. D.6.设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（）A.4 B.5 C.6 D.4或57.在数列中，且，则（）A. B. C.2 D.8.已知离散型随机变量服从二项分布，且，则A. B. C. D.9.记为数列的前n项和.若，则（）A.有最大项，有最大项B.有最大项，有最小项C.有最小项，有最大项D.有最小项，有最小项10.世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为，该国女排获胜的概率为，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，5道小题，共20分）11.已知数列为等差数列，，则________．12.若随机变量X的分布列为（如表），X123则______；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)=__________．（用数字作答）13.从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是______.14.随机揶两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为，点数之和大于5的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，则比大小关系是_________．15.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________﹔第n个图形的边数________．三、解答题（4道小题，共40分）16.已知数列中，．（1）求数列的前5项；（2）若等差数列满足，求的前n项和．17.为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：男生组：5，5.5，6，7，7，7.5，8，8.5，9；女生组：5.5，6，6，6，6.5，7，7，8．用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．（1）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；（2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望；（3）原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）18.小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示：语文数学英语物理化学生物第一次879291928593第二次829495889487（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望；（3）现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示：语文数学英语物理化学生物6科成绩均值6科成绩方差第一次第二次将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为.有一种观点认为：若，则.你认为这种观点是否正确？(只写“正确”或“不正确”)19.若数列满足．对任意，都有，则称是“P数列”，（1）若，判断，是否是“P数列”；（2）已知是等差数列，，其前n项和记为，若是“P数列”，且恒成立，求公差d的取值范围；

参考答案一、选择题（每小题4分，10道小题，共40分）1.【答案】B【分析】设2与8的等差中项是，则，进一步解得的值即可．【详解】解：设2与8的等差中项是，则，解得．故选：B．2.【答案】D【分析】根据题意，由次独立重复试验的概率计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，他连续测试3次其中恰有一次通过的概率是.故选：D3.【答案】B【分析】由期望计算公式可得答案.【详解】由题可得出海效益的期望是.故选：B4.【答案】A【分析】作差得出和的大小关系，进而可判断出数列的单调性.【详解】，，，因此，数列是递增数列.故选：A.【点睛】本题考查数列单调性的判断，涉及数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.5.【答案】D【分析】列出前两个孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可.【详解】这个家庭已经有两个男孩的下，计划生育三个小孩的所有可能为（男男女）、（男男男），所以在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为.故选：D6.【答案】D【分析】设公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式，再根据数列的单调性判断即可.【详解】设公差为，由，，所以，解得，所以，令，解得，则数列单调递增，且，所以当或时取得最小值.故选：D7.【答案】C【分析】通过计算可得数列周期性，即可得答案.【详解】注意到，，，，则.故.故选：C8.【答案】D【分析】利用二项分布期望公式求出，再由方差公式可计算出答案．【详解】由于离散型随机变量服从二项分布，则，所以，，因此，，故选D．【点睛】本题考查二项分布期望与方差公式的应用，灵活运用二项分布的期望和方差公式是解本题的关键，意在考查学生对这些知识的理解和掌握情况，属于中等题．9.【答案】A【分析】利用二次函数的性质可判断得有最大项，再分析的正负情况可判断得有最大项，从而得解.【详解】根据题意，，对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，则当时，取得最大值，所以当时，有最大值为16，所以有最大项.又由可解得，则当时，，当时，，当时，，所以当或8时，最大，则有最大项，有最大项.故选：A.10.【答案】A【分析】根据比赛情况,按照比赛总场次分类讨论.当总共比赛三场,中国女排在先胜一局的情况下,则随后两场中国队都获胜;当总共比赛四场,则第二场或第三场中国队获胜,第四场获胜;当总共比赛五场时,则第二场、第三场、第四场中国队获胜一场,第五场中国队获胜即可.根据概率计算,将三种情况下的概率求和即可得解.【详解】每场比赛中国女排获胜的概率为,该国女排获胜的概率为,现中国女排在先胜一局的情况下获胜,有以下三种情况:总共比赛三场,则第二场和第三场中国队获胜,所以此种情况下中国队获胜概率为总共比赛四场,则第二场或第三场中国队获胜,该国胜一场.且第四场中国队获胜,则此种情况下中国队获胜的概率为总共比赛五场,则第五场中国队获胜,第二场、第三场、第四场中国队获胜一场,此种情况下的概率为所以中国队获胜的概率为故选:A【点睛】本题考查了分类讨论求符合要求条件的概率,注意分类讨论要全面,属于中档题.二、填空题（每小题4分，5道小题，共20分）11.【答案】【分析】由等差数列通项公式可得答案.【详解】设公差为d，由题，.故答案为：.12.【答案】①.##0.5②.##【分析】利用概率和等于1以及数学期望的计算公式、性质求解.【详解】Y=2X+1.故答案为：；.13.【答案】【分析】基本事件总数，利用列举法求出剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有4个，由此能求出剩余三个数能构成等差数列的概率．【详解】从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，基本事件总数为.

∴剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：（1，2，3），（1，3，5），（2，3，4），（3，4，5），共4个.

∴剩余三个数能构成等差数列的概率是故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】【分析】由古典概型知识计算各概率即可比较大小.【详解】抛两枚骰子，设第一枚骰子点数为x，第二枚为y，则骰子点数情况记为.总情况数为36，向上的点数之和不超过5的情况有：共10种，则；则超过5点的情况有26种，故.点数之和为偶数的情况有：共18种，故.综上可得.故答案为：.15.【答案】①.②.【分析】根据已知，结合图形，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解.【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的，边数是上一个图形4倍，因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48.设第个图形的边数为，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，则.故答案为：；三、解答题（4道小题，共40分）16.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先证明数列是等比数列，再写出通项即可计算求解；（2）先求出的通项公式，再应用等差数列求和公式求解.【小问1详解】数列中，因为，故，故，所以数列是等比数列，公比是2，又因为，所以．所以；【小问2详解】等差数列满足，设等差数列公差为，所以，所以,所以的前n项和．17.【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为（3）【分析】（1）直接计算该校高三学生的睡眠时间在最佳范围的频率；（2）的所有可能取值为0，1，2，求出分布列，再由期望公式求解；（3）直接判断写出与的大小关系．【小问1详解】设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A，在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围，所以；【小问2详解】由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件B，则，“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C，，由条件可知，的所有可能取值为0，1，2，，，，所以的分布列为：012；【小问3详解】．18.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）不正确【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得结果；（2）计算出的各个取值的概率可得分布列，根据期望公式计算可得数学期望；（3）根据方差公式计算，结合比较可得答案.【详解】（1）共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科，所以从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，该科成绩大于90分的概率为.（2）的所有可能取值为：0，1，2，，，，所以X的分布列为：012数学期望.（3）设，则，则，同理可得，，因为，所以，所以的符号不确定，所以与无法比较大小，，所以，故这种观点不正确.【点睛】关键点点睛：掌握求离散型随机变量的分布列的步骤和数学期望公式是解题关键.19.【答案】（1）见解析