2025北京运河中学高二10月月考数学试题及答案

高中2025北京运河中学高二10月月考数学2025.10一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）.1.已知向量则（）A.21 B.－21 C.20 D.－202.已知点，，直线的倾斜角为（）A. B. C. D.3.如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（）A. B.C. D.4.已知直线、的方向向量分别为、，若，则等于（）A.1 B.2 C.0 D.35.已知M为z轴上一点，且点M到点与点的距离相等，则点M的坐标为（）A. B. C. D.6.已知是空间的一组基底，则下列向量中能与，构成一组基底的是（）A. B. C. D.7.下列说法正确的是（）A.若，是两个空间向量，，则不一定共面B.C.若P在线段AB上，则D.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为8.已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.9.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.10.已知向量，若共面，则等于（）A. B.1 C.1或 D.1或011.如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：①存在点，使得；②存在点，使得平面；③的面积越来越小；④四面体的体积不变．其中，所有正确的结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.412.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（）A.1 B.2 C.4 D.8二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）.13.若则______．14.已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是__________.15.长方体中，，，则点到直线的距离等于__________.16.如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为__________.17.正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的取值范围是__________.18.如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直.P为棱AB上的动点，DQ⊥平面EPC，Q为垂足.给出下列四个结论：①EQ=CQ；②线段DQ的长随线段BP的长减小而增大；③存在点P，使得PQ平面EDA；④存在点P，使得.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题（本大题共4小题，共54分）.19.在正方体中，已知为中点，如图所示.（1）求证：平面；（2）求异面直线与夹角的余弦值.20.如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，.（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求到平面的距离.21.如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点.（1）求证平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22.图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且.（1）证明:平面平面；（2）棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）.题号123456789101112答案ABDCCCCBBCCA二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）.13.【答案】,故答案为3.14.【答案】因为直线的一个方向向量是，所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故答案为：.15.【答案】如图，以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，连接，作垂直，垂足为，由，，，得，，所以，又，所以点到直线的距离.故答案为：16.【答案】在平行六面体中，，，，，，∵，∴，∴.故答案为：.17.【答案】由题可设，则.所以.因为，所以.所以的取值范围是.故答案是：.18.【答案】由题意，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令AB=1，设，则，，设平面EPC的一个法向量为，则有，取y=1，可得，由DQ⊥平面EPC于Q，得，即，则，显然，解得，于是，对于①，，故①正确；对于②，在[0，1]上单调递增，当线段BP的长减小时，t增大，此时|DQ|随之增大，故②正确；对于③，平面EDA的一个法向量为，而，由，得λ=t，即，整理得，令显然函数在上的图象连续不断，而因此存在使得，此时PQ⊄平面EDA，因此存在点P，使得PQ平面EDA，故③正确；对于④，，则，若，显然即不存在，使得，④错误；所以所有正确结论的序号是①②③.故答案为：①②③.三、解答题（本大题共4小题，共54分）.19.【答案】（1）证明：在正方体中，因为，，两两垂直，故以为原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图：不妨设正方体的棱长为1，则，故，，，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，所以．从而，得，又平面，所以平面.（2）设,分别为直线与的方向向量，又异面直线与夹角为，则由，，，得.所以异面直线与夹角的余弦值为.`20.【答案】（1），，，，．由直三棱柱中，底面，底面，，．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则，所以与平面所成角的正弦值为；（2）设到平面的距离为，则.21.【答案】（1），为的中点，，侧面底面，侧面底面，平面，平面；（2）底面为直角梯形，其中，，，，又平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，易得平面的法向量，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面与平面所成角为，则，故平面与平面所成角的余弦值为；（3）设线段上存在，使得它到平面的距离为，，到平面的距离，解得或(舍去)，则，则．22.【答案】（1）证明：取的中点，连接，在正方形中，，并且在中，，所以，.因为平面，所以平面而平面，所以平面平面；（