验证勾股定理（北师版八年级上册数学教案）

1.1探索勾股定理

第2课时验证勾股定理

教学目标

【知识与能力】

1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.

2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.

【过程与方法】

通过拼图法验证勾股定理、使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.

【情感态度价值观】

培养学生大胆探索,不怕失败的精神.

教学重难点

【教学重点】

经历勾股定理的验证过程:能利用勾股定理解决实际问题.

【教学难点】

用拼图法验证勾股定理.

课前准备

【教师准备】教材图1-4,1-5,1-6,1-7的图片.

【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.

教学过程

第一环节：引入新课

导入一：

【提问】直角三角形的三边有怎样的关系？在研究直角三角形三边关系时，我们是通过

测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么，我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性

呢?请跟我一起去探索吧！

导入二：

上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理？

学生思考（测量、数格子）.

第二环节：新知构建

［过渡语］一样的科学结论,可能会有很多的证明方式,人们对勾股定理的验证,就给出

了多种的证明方式,我们也一起来尝试下吧.

1.勾股定理的验证

思路一

【师生活动】

师:投影教材P4图1-4,分别以直角三角形的三条力的长度为边长向外作正方形，你能

利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.

生:割补法进行验证.

师：出示教材P5图1-5和图1-6,想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？

生:讨论交流.

师总结：图1-5是在大正方形的四周补上四个边长为为力，。的直角三角形；图1-6

是把大正方形分割成四个边长为a",c的直角三角形和一个小正方形.图1-5采用的是“补”

的方法，而图16采用的是“割”的方法,请同学们将所有二角形和正方形的面积用a,4c

的关系式表示出来.

(D动笔操作，独立完成.

师：图1-5中正方形/以力的面积是多少？你们有哪些方法求?与同伴进行交流.

(2)分组讨论面积的不同表示方法.

生:得出3b4两种方法.

(3)板书学生讨论的结果.

【提问】你能利用图1-5验证勾股定理吗？

生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.

师：化简之后能得到勾股定理吗？

生:得到，+庐c；即两直角边的平方和等于斜边的平方，验证了勾股定理.

师:你能用图1-6也证明一下勾股定理吗？

独立完成.

师：(强调)割补法是匚何证明中常用的方法，要注意这种方法的运用.

思路二

教师出示教材图1-4及“做一做”，让学生观察图1-5和图1-6.

【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.

(学生以小组为单位展开拼图尝试，同伴之间讨论、争辩、互相启发，将拼好的图形画下

来)

【思考】“做一做”的三个问题.

教师讲评验证勾股定理的方法.

2.勾股定理的简单应用

思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.

400

【问题】（1）图中三角形的三边长是否满足力^力入旅？

（2）要想求敌方汽车的速度,应先求什么？你能利用勾股定理完成这道题吗？

（学生独立完成，教师指名板演）

出示教材P8图1-E.

【提问】

（学生以组为单位合作完成，分别计算出每个正方形的面枳.独立完成,有困难的可以合

作完成）

思路二

例题我方侦察员小王在距离东西向公路400m处彼察，发现一辆敌方汽午在公路上疾

驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500叫你能帮

小王计算敌方汽车的速度吗？

（解析）根据题意，可以画出右图,其中点力表示小王所在位置，点C,点4表示两个时

刻敌方汽车的位置..由于小王距离公路400m,因此NC是直角，这样就可以由勾股定理来解决

这个问题了.

解：由勾股定理，可以得到A#=Bd+AC,也就是5002=^+4002,所以册300.

敌方汽车10S行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300X6X60=108000（m）,即它行

驶的速度为108km/h.

［知识拓展〕利用面积相等来验证勾股定理，关键是利用不同的方法表示图形的面积，

一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.

解析：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为C,里面

的小四边形也为正方形,边长为b-a,则有衿数X4+3a）；整理得c2=a^b\故选A.

3.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是

两种结果相等，推得勾股定理是.

解析：如图所示，大正方形的面积是（资⑸）另一种计算方法是4X^c2,即（才6）：4X

会仍“彳化简得cf+b2=c.

答案：（a+A）’4X^/H-（?2e?2+/?2=c2

4.操作：剪若干个大小形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a,仇c（如图⑴所

示），分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图（2）（3；所示的形状，图（2）中的两个小正方

形的面积题£与图（3）中小正方形的面积S有什么关系。你能得到耳力,。之间有什么关系？

解析:根据已知图形的形状得山面积关系，进一步证明勾股定理即可求解.

解:分别用4张直角三角形纸片，拼成如图⑵⑶所示的形状，观察图⑵（3）可发现，图

（2）中的两个小正方形的面积之和等于图（3）中的小正方形的面积，即S+S=S,这个结论用关

系式可表示为a'+lf=c.

第五环节：布置作业

1.教材作业

【必做题】

教材第6页随堂练习.

【选做题】

教材第7页习题1.2第3题.

2.课后作业

【基础巩固】

1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的•个小正方形

拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角

形的两直角边长分别为a,“那么（a-。”的值是)

A.1B.2C.12D.13

2.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形边

他必在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是（

A.S^EDA=S^CEBB-S△皿+S“E8=SACDE

++A

CS四边形CD/1ES四边形CDEBD，SAEDAS3CDECEB,四边形的。。

3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.

（1）它可以看做是由四个边长分别为a,&。的直角三角形拼成的，请从面积关系出发，写出一

个

关于a,0,c的等式.（要有过程）

（2）请用四个这样的直角三舛形再拼出另一个几何图形，也能验证（1）中所写的等式.（不用写

出验证过程）

（3）如果才+炉刁oo,济求此直角三角形的面积.

【能力提升】

4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则

弦五”的记载.如图（1）所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积

关系验证勾股定理.图⑵是由图⑴放入矩形内得到的，/以用90°,力后6,力/8,点

D,E,F,G,H,/都在矩形任以的边上,则矩形化”的面积为.

(1)(2)

5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小

正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较

长直角边为a,较短直角边为b,则J+夕的值为（）

A.35B.43C.89I）.97

6.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，你能说说其中的道理吗?

7.如图所示，在平面内，把矩形ABCD绕点、6按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设

/I庐a,BOb,BAc.请利用该图验证勾股定理.

【拓展探究】

8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如

图⑴所示）.图⑵是由弦图变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中

正方形ABCD,正方形EF6H、正方形MNKT的面积分别为5,S,W.若S+S+S=16,则发的值是

9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感,

他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图（1）或图⑵摆放时，都可以用“面积法”来证明,

下面是小聪利用图⑴证明勾股定理的过程.

I）

将两个全等的直角三角形按图（1）所示摆放,连接DC,其中/川跳90°,求证a^b2=c2.

证明：连接DB,过点〃作比边上的高分;则l）I^EC=b-a.

•‘s四边形=s&+二鼻"'卡?3"

-J"ADC8ACDABC22

乂TS四边形=S“8+S”8=#+9（S），

ADCB

A-/?'+-ab=^-c:+-a（b-a）,

2222

:.a।音=2.

请参照上述证法,利用图⑵完成下面的验证过程.

将两个全等的直角三角形按图（2）所示摆放，其中N%后90°,连接BE.

验证/+炉:上

证明：连接,

■S匕应，HACKED

又TS五边形4c8E：-------1

【答案与解析】

LA（解析：根据勾股定理可得才+户13,四个直角三角形的面积和是9^X4=13-1=12,即

2ab=12,则（/一6）2=）一2@>炉=13-12=1.故选A.）

2.1）（解析：由几+%+S&=S四边形，可知5a加;。2+；@炉］（m•⑸：.・.

EDACDECEB四心"'A8CD2222

5+2a为/2a〃片整理得於庐占...证明中用到的面积相等的关系是5打取十$但+

S>=S四边形•故选D.）

CEB^^^ABCD

3.解：（1）大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积，即c2=4x|aZH-（a-d）W+^

⑵如图所示.⑶•・,2赤（什历2-（/+g）=196-100=96,・•・a炉48,・•・伊；.炉48=24.

4.440(解析：如图所示，延长AB交KL于丹延长"交ZV于Q,则△月片屋A外侬△仇:&工

畛力建8,8/1斤6,•••图⑵是由图⑴放入矩形内得到的，，/片8+6+8=22,给6+8+6=20,・••矩

形KLMJ的面积=22X20=440.故答案为44().)

5.D(解析：依题意、有：才+人大正方形的面积=13,2ag四个直角三角形的面积和

=131=12,a拈6,贝ij2步4=(/"2)22(ab)2=1322X62=16972=97.故选D.)

6.解:根据题意，第一个图形中间空白小正方形的面积是自第二个图形中空白的两个小正方

形的面积的和是/+瓦•・•它们的面积都等于边长为a+b的正方形的面积/个直角边分别为

a,b的直角三角形的面积和，・・・42+炉=。2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方

和.

7.解:连接〃力依题意，图中的四边形的为直角梯形，△〃劭'为等腰直角三角形,Rt△

DAB和RtABC'D'的形状和大小完全一样，设梯形DAC'D'的面积为S,则

咛⑶份(讲而渡+川+屹又2,—,尾巾乂净海数,...*+.+但c

因此才+氏生

8.日(解析：•・•八个直角三角形全等，四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形，，

CG-NGtC用於N声GK,:.

$=(6%＞三8+况42偌•DG=GF+2CG・戊;,$=函，$=(跖-渺)三格+八斤念柘・NF,：,

S\+S户SFG户+2CG*叱犷十八海渺A户3G#=16,・••萧=竺，・・・S*.故答案为竺.)

333

9.证明：连接做过点,作"边上的面附则B2a,.；S皿eSMS*产

A质a加°~+gab,又■:S五边形/jcsraFSAXC^SA版+SAHDF-ga加c+~a(bT),・1

I)

板书设计

1.1.2

1.勾股定理的验证.

2.勾股定理的简单应用.

教学反思

成功之处

在课堂教学中，始终注意了调动学生的枳极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼

图，还是历