第1讲　等差数列、等比数列

专题二数列高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026考点一等差、等比数列基本量运算考点二等差、等比数列性质目录索引考点三等差、等比数列的证明领航高考风向标近五年高考数列命题呈现以下特点:从前几年全国高考来看,对本专题考查多为“一大一小”的形式,有时也只考一道解答题.从2024年数学实行新的试卷结构后,数列解答题不再是单独必考,也不一定是中低档的考题.除了数列的求和等基本运算外,还常与概率统计、导数、不等式等知识综合命制难度较大的题目.[复习策略]1.熟记公式,保障运算的正确率

等差、等比数列的通项公式、前n项和公式等公式是解决数列问题的根本.数学运算素养在本单元中无处不在,需要加强训练.如乘公比错位相减法求和等,要规避易错点,不但要会做,还要做对.2.注重总结规律

本章知识结构清晰,常规题型规律明显.要通过题目总结方法,并了然于胸,如什么情况下选择什么样的方法求数列的通项或前n项和,对症下药,事半功倍.3.关注数学文化背景的数列试题

数列非常适宜与数学文化结合命题,尤其是中国古代数学名著中涉及的一些常见数列题,此类问题关键是阅读理解题意,转化为等差或等比数列等模型解答.4.重视数列与其他知识的融合加深

尤其在压轴题中,数列不一定孤立考查,而是与函数、不等式、解析几何等知识深度融合.例如,通过数列的通项公式构造函数,利用函数的单调性研究数列的最值问题;或者利用数列与不等式的结合,证明数列相关的不等式,这类综合性题目对学生的知识迁移和综合运用能力提出了更高要求.第1讲等差数列、等比数列考点一等差、等比数列基本量运算理知识项目等差数列等比数列基本公式通项公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1(q≠0)前n项和公式链高考

C

2.(2024新高考Ⅱ,12)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=

.

95

例1

(1)(2025北京,5)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10=(

)A.-20 B.-18 C.16

D.18C

A

(3)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=

;数列{an}所有项的和为

.

48384

【对点训练1】(1)(2025广东广州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=11,S10=4a4,则an+Sn取最大值时n的值是(

)A.4 B.5

C.6

D.10B

AD

考点二等差、等比数列性质理知识项目等差数列等比数列常用性质通项公式性质1若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq

等号两边项数一样多,避免出现am+an=am+n的错误.等比数列类似若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq通项公式性质2项目等差数列等比数列常用性质前n项片段和性质奇、偶项和的性质[微提醒]在应用等比数列的此性质时,要注意Sm≠0,m为偶数且q=-1的情况不适用此公式.链高考

B

2.(2021全国甲,文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(

)A.7 B.8

C.9

D.10A解析

设等比数列的公比为q,由题意知q≠1.根据等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.

A

(2)(2023新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(

)A.120 B.85

C.-85 D.-120C

ABD

【对点训练2】(1)(2025山东威海模拟)已知{an}为等差数列,且a6+a15=4,若数列{an}的前m项的和为40,则正整数m的值为(

)【一题多解】A.10 B.20

C.30

D.40B

(2)(2025广东珠海模拟)已知等比数列{an}共有2n项,其和为240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=

.

考点三等差、等比数列的证明理知识等差数列、等比数列的判断与证明

定义法an+1-an=d(d为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列通项公式法an=pn+q(p,q为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列中项法2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列前n项和法Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔{an}是等差数列Sn=Aqn-A(A,q为常