《相似三角形的判定（第四课时）》课件

27.2.1相似三角形的判定九年级下册RJ初中数学第4课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边和夹角判定两个三角形相似定理注意相等的角必须是成比例的两边的夹角对应关系不明确，勿忘分类讨论知识回顾1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.学习目标学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干.美美手上的测量工具只有一个量角器，她该怎么做呢？课堂导入CABA'B'C'与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值.知识点1两角分别相等的两个三角形相似新知探究你有什么发现？证明：在△ABC的边AB上，截取AD=A′B′，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵

AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.CAA'BB'C'DE如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′

.证明：△A′B′C′∽△ABC.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：CABA'B'C'利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.注意：利用此定理证明两三角形相似的关键是找相等的角.如公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.(1)平行线型：如图(1),若DE//BC，则△ADE∽△ABC；(2)相交线型：如图(2),若∠AED=∠B，则△AED∽△ABC；(3)子母型：如图(3),若∠ACD=∠B,则△ACD∽△ABC.常见的相似三角形的类型(4)旋转型：如图(4),若∠1

=∠2,可得∠B′A′C′=∠BAC，需找另一组角对应相等或夹∠B′A′C′与

∠BAC的两边对应成比例.A(A′)B′C′BC12(4)如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠A=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.求证：△ABC∽△BDC.证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°，∴∠A=∠DBC.又∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC.跟踪训练新知探究解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC.

例2

如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.DABCE

知识点2判定直角三角形相似的方法新知探究对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？其他判定直角三角形相似的方法(1)有一个锐角相等的两个直角三角形相似.(2)两组直角边成比例的两个直角三角形相似.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°,∠C′=90°,

求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.CAA'BB'C'

证明：

则AB=kA′B′，AC=kA′C′.由勾股定理,得

∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.

其他判定直角三角形相似的方法(1)有一个锐角相等的两个直角三角形相似.(2)两组直角边成比例的两个直角三角形相似.(3)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则图中的相似三角形有()A.0对

B.1对C.2对

D.3对D跟踪训练新知探究∠ACD=∠B，∠BCD=∠A.△ADC∽△CDB∽△ACB.1.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE=60°.求证：△ADC∽△DEB.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠ADB=∠CAD+∠C=∠CAD+60°.∵∠ADE=60°，∴∠ADB=∠BDE+60°，∴∠CAD=∠BDE，∴△ADC∽△DEB.随堂练习这个条件告诉我们什么？证明两三角形相似的基本思路1.若已知条件中有平行线，一般可利用平行线直接判定两三角形相似；2.若已知一对等角，则找另一对等角，或证明夹这对等角的两边成比例；3.若已知两边成比例，则证明这两边的夹角相等，或证明三边成比例.2.如图，已知在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD，BC相交于点E.求证：(1)△ACE∽△BDE；证明：(1)∵∠ACB=∠ADB，∴∠ACE=∠BDE，又∠E=∠E，∴△ACE∽△BDE.2.如图，已知在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD，BC相交于点E.求证：(2)BE·CD=AB·DE.

1.将等积式转化为比例式.2.观察比例式中的线段是否分别在两个形状相同的三角形中.若在，可证明这两个三角形相似.若不在，可利用如下方法转化：①等线段转化；②中间比转化；③添加辅助线构造相似三角形转化.利用相似三角形证明等积式的步骤可采用三点定形法;也可在图中标出这些线段,通过观察确定3.根据相似三角形对应边成比例或中间的转化得到比例式，再化为等积式.3.如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是边BC上的一点QP⊥AP交DC于点Q，设BP=x，△ADQ的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)点P在何位置时，△ADQ的面积最小？最小面积是多少？

更多同类练习见《教材帮》数学RJ九下27.2.1节方法帮两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定两个三角形相似的定理课堂小结判定直角三角形相似的方法有一个锐角相等的两个直角三角形相似两组直角边成比例的两个直角三角形相似斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似1.（贵港中考）下列命题是真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两角分别相等的两个三角形相似

对接中考D2.（包头中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为____________．