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文档简介
专题6.5数列求和(举一反三复习讲义)
【全国通用】
1、数列求和
数列求和是高考的重点、热点内容,命题形式多种多样,大小均有,属
于高考的必考内容之一。从近三年的高考情况来看,数列求和在选择、填空
命题规律题中考查较为简单,主要考查等差、等比数列的前n项和及前n项和性质,
难度不大;在解答题中,往往在解决数列基本问题后考查数列求和,数列求
分析和问题有时会与不等式、函数、导数等知识结合,难度中等,数列求和方法
多种多样,需要灵活求解。
近几年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景问题,综合性强,难度
大,需要灵活求解。
考点2023年2024年2025年
新课标Ⅱ卷:第8题,
5分
高考真题新课标Ⅱ卷:第18题,新课标Ⅱ卷:第12题,全国一卷:第16题,
12分5分15分
全国甲卷(文数):全国甲卷(文数):全国二卷:第7题,5
统计数列求和
第5题,5分第17题,12分分
全国甲卷(理数):全国甲卷(理数):全国二卷:第9题,6
第17题,12分第18题,12分分
全国乙卷(文数):
第18题,12分
预测在2026年全国卷高考数学中,数列求和的考情将继续维持稳定态
势。选择题、填空题仍然以单独考查等差、等比数列的前项和为主,分值
年n
2026稳定在5分左右,难度较易;解答题中主要考查几类常见数列求和公式的灵
活运用,也可能会与不等式、函数、导数等模块结合命题,难度中等。核心
命题预测考查数列求和公式的灵活运用,注重公式的运用和数学运算能力,复习时要
加强这方面的训练,学会灵活运用数列求和公式。
知识点1数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式:
.
②等比数列的前n项和公式:
=.
2.分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后
相加减.
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如类型,可采用两项合并
求解.
3.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即
可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
4.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
常见的裂项技巧:
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
5.倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的
前n项和即可用倒序相加法求解.
知识点2特殊数列求和
1.奇偶项讨论求和
通项公式分奇、偶项有不同表达式;例如:.
角度1:求的前2n项和T2n;
角度2:求的前n项和Tn.
2.通项含有(-1)n的数列求和
通项含有(-1)n的类型;例如:.
【方法技巧与总结】
常用求和公式:
(1).
(2).
(3).
(4).
【题型1公式法求和】
【例1】(2026·山东枣庄·模拟预测)记等差数列的前n项和为,公差为d,若,
则()�����4=�8+7,�8+1=2�4
�A5.=15B.25C.35D.45
【答案】C
【解题思路】根据等差数列的前项求和公式,结合已知条件求出首项和公差的值,再代入等差数列的前
项求和公式得出.��1�
【�解答过程】因为�5,,
4884
所以�=�+7�+1,=2�
4×(4−1)
411
�=4�+2�=4�,+6�,
�将8上=述�1式+子(8代−入1已)�知=条�件1+得7:��4=�1+(4−1)�=�1+3�
,解得,
4�1+6�=�1+7�+7�1=3
11
所�以+7�+1=2(�+3�)�=2.
5×(5−1)5×4
�5=5�1+2�=5×3+2×2=35
故选:C.
【变式1-1】(2026·云南·模拟预测)记为等比数列的前项和,已知,若的公比小于
零,则()������1=1,�3=7��
A.�155=B.C.31D.61
【答案】D−20
【解题思路】设等比数列的公比为,根据等比数列前项和的定义求得,进而结合等比数列
求和公式运算求解.���<0��=−3
【解答过程】设等比数列的公比为,,
因为,则���,�<0
2
即�1=1,�3=,7得1+�或+�=7(舍去),
2
所以�+�−6=0�=−3�=2
5.
1−−3
5
故选:�D=.1+3=61
【变式1-2】(2026·重庆九龙坡·一模)已知为等差数列,其前n项和为,,则
(){��}��2�4+�7=�2+�10+3
�5=A.10B.15C.20D.30
【答案】B
【解题思路】通过等差数列的通项公式将已知等式转化为关于首项和公差的式子,化简得到中间项的值,
再利用前项和与中间项的关系求出.�3
【解答过程�】将�5转化为:,
展开得:2�4+�7=�2+�10+32�,1+3�+�1+6�=�1+�+�1+9�+3
合并同类项2�:1+6�+�1+6�=�1+�+�,1+9�+3
化简得:3�1+1,2�即=2�1+.10�+3
�1+2�=3�3=3
前5项和,由等差数列性质知,,
5�1+�5
�5=2�1+�5=2�3
故.
5×2�3
�5=2=5�3=5×3=15
故选:B.
【变式1-3】(2025·广东肇庆·一模)设为正项等比数列的前n项和,若,,
则()�����5+3�6=8�8+3�9=64
3
�A.=B.C.D.2
111
1442
【答案】C
【解题思路】根据等比数列通项基本量的运算求得,代入等比数列求和公式求解即可.
1
【解答过程】设等比数列的公比为,∵�,�,∴.
�5+3�6�5+3�61
33−3
����8+3�9=�5�+3�6�=�=8�=2
由得,∴
3.
1
451�1−�1
5611111431−�2
故选�:+C3.�=��+3��=112�=8�=�==
【题型2错位相减法求和】
【例2】(2026·江苏镇江·模拟预测)已知等比数列的前项和为,,.
(1)求的通项公式;������1=1�4=�3+4�2−1
(2)设数��列的前项和为,求.
【答案】(1)���或����10
�−1
(2)55或��=1��=(−2)
【解题思−路3】52(71)设公比为,求出公比即可得解.
(2)由(1)得到的通��项公式,�先写出,然�后乘以公比得到,利用错位相减法,通过化简得到,
最后将��代�入求出.��−2−2����
【解答过�程=】10(1)设��公�比10为,则由和可得,
3
即��,解�得�4或=�3+4�,2−1�1=1�−3�+2=0
�(�+1或)(�−1)=2(�−1)�=1�=−2
�−1
(∴2�)�①=当1��=时(,−2).,数列是首项为1,公差为1的等差数列,
��
所以�=1��=,���
(1+10)×10
10
②当�=时2,=55,
�−1
�=−2���=�⋅(−2)①,
012�−2�−1
∴所�以�=1⋅(−2)+2⋅(−2)+3⋅(−2)+⋯+(�−1)⋅(−2)+�⋅(−2)②,
12�−2�−1�
由①-−②2�得�=1⋅(−2)+2⋅(−2)+⋯+(�−2)(−2)+(�−1)⋅(−2)+�⋅(−2)
12�−1�
�
3�=1+(−2)+(−2)+⋯+(−2),−�⋅(−2)
�
11−(−2)�1��
=1−(−2)−�⋅(−2)=31−(−2)−�⋅(−2)
�10
1−(3�+1)⋅(−2)1−31×2
∴��=,∴�10==−3527.
【变式2-1】(20296·河北沧州·一模)已知数列9满足.
(1)证明:存在非零实数,使得数列��是等比�1数=列2;, �2=12, ��+2=4��+1−��
���+1+���
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)�证�明见解�析��
(2)
�+1
【解�题�=思6路+】(2�1−)3利用×等2比数列定义可得答案;
(2)利用第(1)小问求出的通项,再利用错位相减求和即可.
【解答过程】(1)因为��.
�+2�+1�
所以�=4�−�,
��+2+���+14��+1−��+���+14+���+1−4��
��+1+���=��+1+���=��+1+���
若数列是等比数列,又,则,解得.
4+�−4
��+1+����≠01=��=−2
此时.
��+2−2��+1
�+1�
由�−2�=2,得,
所以�1当=2, �2=时12,数列�2−2�1=8是以8为首项、2为公比的等比数列.
�+1�
(2)由(�=1)−得2�−2�,所以,
��+1��
�−1�+2�+1�
��+1−2��=8×2=22−2=2
即数列为等差数列,且公差为2,所以,
�����1
��
即2.则2=2+2�−1=2�−1,
�23�−1�
��=2�−1⋅2��=1×2+3×2+5×2+⋯+2�−3×,2+2�−1×2
234��+1
2所�以�=1×2+3×2+5×2+⋯+2�−3×2+2�−1×2
234��+1
�
−�=2+2×2+2×2+2×2+⋯+2×2−2�−,1×2
2�−1
21−2�+1�+1
所=以2+2×1−2−2�−1.×2=−6+3−2�×2
�+1
【变式��2=-2】6+(220�26−·新3疆×·模2拟预测)已知数列的前项和.
2
(1)证明:;�����=�
(2)若�2�=2��+1,求数列的前项和.
�−2
【答案�】�=(1)证��明+过1程×见2解析;�����
(2)
�
��=�−1×2+1
【解题思路】(1)根据得到通项公式,进而得到;
�1,�=1
��=�2�=2��+1
(2)得到,由错�位�−相�减�−法1,求�和≥得2到答案.
�−1
【解答过程�】�=(�1)×当2时,,
2
当时,�=1�1=�1=1=1,
22
�≥2��=��−��−1=�−�−1=2�−1
由于,故对,,
∗
所以�1=2×1−,1=而1�∈N��=2�−1,
故�2�=4�−;12��+1=22�−1+1=4�−1
(2�)2�=2��+1,
�−2�−2�−1
故��=��+1×2=2�×2=�×2①,
23�−1
则��=1+2×2+3×2+4×2+⋯+�×2②,
234�
�
式子2�①=②1得×2+2×2+3×2+4×2+⋯+�×2,
-�
23�−1�1−2��
�1−2
故−�=1+2.+2+2+⋯+2−�×2=−�×2=1−�×2−1
�
【变�式�=2-3�】−(120×262·辽+宁1沈阳·一模)已知数列是公差为2的等差数列,其前8项和为64,数列是公
比大于0的等比数列.����
(1)求数列的�通1项=公3,式�3;−�2=18
��
(2)记�,�,求数列的前项和.
��
��=���∈�,�≥1�����
【答案】(1)
�
��=2�−1,��=3
(2)
�+1
�
��=1−3
【解题思路】(1)利用等差数列的求和公式和通项公式可求,利用等比数列的基本量运算可求;
����
(2)先求,利用错位相减法可求.
2�−1
�
��=3��
【解答过程】(1)因为数列是公差为2的等差数列,其前8项的和为64,
�
所以,解�得,所以;
8×7
8�1+2×2=64�1=1��=1+2�−1=2�−1
数列是公比大于0的等比数列,设公比为,则,
因为��,,所以�,解�得>0或(舍),
2
所以�1=3�3−�2=.183�−3�=18�=3�=−2
�−1�
�
(2)由�(=13)×知3=3,
��2�−1
�
��=��=3
则,可得,
1352�−111352�−1
23�234�+1
��=3+3+3+⋯+33��=3+3+3+⋯+3
两式相减可得
212222�−1
23��+1
3��=3+3+3+⋯+3−3
11,
19−3�+12�−122�+2
1�+1�+1
=3+21−3−3=3−3
所以.
�+1
�
��=1−3
【题型3裂项相消法求和】
【例3】(2025·甘肃金昌·模拟预测)已知数列的前n项和,则()
111
����=��+1�+2�1+�2+⋯+��=
A.B.C.D.
1�33�
6�3�+1��+1
【答案】B
【解题思路】根据关系求出,再用裂项相消计算即可.
【解答过程】��,����,=则3��+1,则,,
而时,��=��+1满�足+2��−1=,�故−对1⋅��,+1��=��−,��−1=3��+1�≥2
∗
11��
故�=1�=�=6�=3��+1�∈��=3��+1.
1111111111111�
�1+�2+⋯+��=3×1×2+2×3+⋯+��+1=3×1−2+2−3+⋯+�−�+1=3�+1
故选:B.
【变式3-1】(2026·广东湛江·一模)在数列中,,令,则数列的
21
���1=1,��+1=��+1��=��+1+����
前15项的和为()
A.2B.3C.D.4
【答案】B15
【解题思路】根据递推公式判断是等差数列,进而求出,将裂项,相消求和.
2
【解答过程】因为�,�所以,即����,
22222
故为首项是�,�+公1差=为��的+等1差数列�,�+所1=以��+1,��+1−.��=1
22
���
�11,�=��=�
11
���+1+���+1+�
所�以=数列=的前项的=和�+1−�,
故�����=�+1−1,
故选�15:=B.15+1−1=16−1=4−1=3
【变式3-2】(2026·吉林白山·一模)已知等差数列的前n项和为,,.
(1)求的通项公式;����2�2+�5=21�6=51
�
(2)若�,求数列的前n项和.
1
��=����+1����
【答案】(1)
�
(2)�=3�−2
�
3�+1
【解题思路】(1)利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式;
��
(2)由(1)可推得,进而利用裂项相消法求即可.
111
��=33�−2−3�+1��
【解答过程】(1)设等差数列的首项为,公差为,
�1
由题意得��,解得�,
2�1+�+�1+4�=3�1+6�=21
�1=1,�=3
所以6�1+15�=.51
(2)由��(=11)+知�−1×3=,3则�−2,
��+1
所以�=3�−2�=3�+1,
11111
��=����+1=3�−23�+1=33�−2−3�+1
得.
11111111�
��=31−4+4−7+⋯+3�−2−3�+1=31−3�+1=3�+1
【变式3-3】(2026·重庆九龙坡·一模)设等比数列的前项和为,已知,.
(1)求和;������2=99�1+�3=54
��
(2)设��,证明:.
111
��=log9���1�2+�2�3+⋅⋅⋅+����+1<4
【答案】,
(1)�+1
�3−3
��
(2)证明见解�析=3�=2
【解题思路】(1)利用等比数列的通项公式和前项和公式列式求解;
(2)利用裂项相消法求前项和即可证明.�
【解答过程】(1)由为�等比数列,,可得,
9�2
��9�1+�3=54�+�2�=54
即,,解得,
812
�+9�=54�−6�+9=0�=3
所以,,
��+1.
�2�−1�31−33−3
�1=�=3��=3×3=3��=1−3=2
(2),,
�11411
2���+1
�9�3��+1
�=log�=log3=2��=2×2=��+1=4�−�+1
,
111111111
�1�2+�2�3+⋅⋅⋅+����+1=41−2+2−3+⋅⋅⋅+�−�+1=41−�+1<4
因为,所以,
11
�+1>01−�+1<1
从而.
111
�1�2+�2�3+⋅⋅⋅+����+1<4
【题型4分组(并项)法求和】
【例4】(2025·浙江台州·一模)已知等比数列满足:.设,
记数列的前项和为,则()���1+�3=10,�2+�4=20��=��+log2��+1
������6=
A.149B.153C.155D.157
【答案】B
【解题思路】根据等比数列的通项公式求解,从而可得的通项公式,根据分组求和可得的值.
1�6
【解答过程】设等比数列的公比为,则�,��,�
�2+�420
�13
则�,可得�,所�以+�=�=,10=2
�
则�1+�3=�1+4�1=10�1=2��=,2
��+1�
��2�+12
所以�=�+log�=2+log2=2+�+1
7.
1262−22+7×6
6
故选:�B=.2+2+⋯+2+2+3+⋯+7=1−2+2=153
【变式4-1】(2025·江苏·三模)设,数列为等比数列,数列是公差不为零的等差数列,
且,,,��则=数��列+��的前�项�和为()��
�1A=.�1=1�2=�B2.�4=�3��C.10D.
【答案】A10781077567550
【解题思路】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,其中,由题意得出,可得
2
出,进而可得出�关�于的方程�,结合�可�得出的值�,进而�可≠求0出的值,可得�出2这=两�1个�3数列的
2
通项�2公=式�1,�4再利用分组求和法可�求得数列的�≠前0项和.��
【解答过程】设等差数列的公差为,等��比数列10的公比为,其中,
由题意,即��,即���,整理得��,≠0
2222
因为�2=,�所1�以3�2,=故�1�41+�=1+3��,−�=0
�1
所以�≠0,�则=1�=,�故+�−1�=1+�,−1=�
�2�−1�−1
�2=�2=2�=�1=2��=�1�=2
又因为,
�−1
所以数列��=�的�+前��=项�和+为2
��10�10=�1+�2+�3+⋯+�10+�1+�2+�3+⋯+�10
10.
10×1+101−2
故=选:2A.+1−2=1078
【变式4-2】(2026·广西柳州·二模)设等差数列的前项和为,且,.
(1)求的通项公式;������2=2�5=15
(2)设��,求数列的前项和.
��
【答案�】�=(1)2+�������
��=�
(2)2
�+1�+�
【解2题思−路2】+(12)根据题设结合等差数列的基本量计算解出,,进而求解即可;
(2)先得到,然后利用分组求和求出.�1=1�=1
�
【解答过程】�(�=1)2设+等�差数列的公差为.��
�
由题意可得�,解得�,,
21
�=�+5�4=2
�1=1�=1
则�5=5�1+2.�=15
(2�)�由=(11+)(�可−知1)×1=,�则,
���
故��=���=2+��=2+�
123�
��=�1+�2+�3+⋯+��=2+1+2+2+2+3+⋯+2+�
123�
=2+2+2+⋯+2+(1+2+3+⋯+�)
�2.
2×1−2(1+�)��+1�+�
【=变式1−42-3】+(22026·=云2南昭−通2·模+拟2预测)已知各项递增的等比数列,等差数列其前n项和分别为,
,满足,,.������
(�1�)求,�2=�的2=通6项公�式4=;30�4=20
(2)将数��列��与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列,求数列的前50项和.
【答案】(1)����,�����50
�
(2)��=2��=2�
【解2题10思6路】(1)设等比数列的首项为,公比为,根据等比数列求和公式得到方程组,解得、
即可求出的通项公式,利用�基�本量法列出�1方程组可�求的通项公式;�1�
(2)依题意��可知新数列的前50项中,数列的项只有��前6项,数列有44项,再利用分组求和法
计算可得.������
【解答过程】(1)设等比数列的首项为,公比为,
显然且.{��}�1�
�>0�≠1
2
由已知得�11−�,两式相除可得(负值舍去),所以,
1−�=6
4
�11−��=2�1=2
所以;1−�=30
�
�
�=2,
�2=�1+�2=6
∴�4=�1,+�2+�,3+所�以4=2�1+.�2+4�=20
(2�)1数=列2�=中2的项从小�到�=大2依�次为2,4,8,16,32,64,128,…,
{��}
依题意可知新数列的前50项中,数列的项只有前6项,数列有44项,
所以{��}{��}{��}
�50=(2+4+8+16+32+64)+(2+4+6+8+⋯+88)
6.
2(1−2)44×(2+88)
=1−2+2=126+1980=2106
【题型5倒序相加法求和】
【例5】(25-26高一上·重庆·月考)已知函数,
�111
()��=2+2��2025+�2024+⋯+�2+�(2)+⋯+
�(20A2.4)+�(2025)=B.C.D.
4048404940504051
4444
【答案】A
【解题思路】确定,通过倒序相加即可求解.
11
��+��=2
【解答过程】由,可得1,
�1�1
2
��=2+2���=2+�=2�+2
所以,
11�1
��+��=2�+2+2+2�=2
令,
111
�=�2025+�2024+⋯+�2+�(2)+⋯+�(2024)+�(2025)
,
111
所�=以�(2025)+�,(2024)+⋯+�(2)+�2+⋯+�2024+�2025
即2�=2,024
故选�=:1A0.12
【变式5-1】(25-26高二·全国·假期作业)已知数列是各项均为正数的等比数列,若是方程
2
的两个根,则��的值为()�2,�2025�−
21222322026
3�+A2.=0B.lo1g01�3+log�+logC.�2+02⋯3+log�D.1022
2026
3
【答案】B
【解题思路】先根据韦达定理得到,再利用等比数列的性质得到
,最后利用倒序相�加2⋅法�2求02和5=.2��⋅�2027−�=2,�∈
*
【1解,2答02过6程,�】∈由�韦达定理,可得,
由等比数列性质可得�2⋅�2025=2.
*
设��⋅�2027−�=2,�∈1,202,6,�∈�
所以�=log2�1+log2�2+log2�3+⋅⋅⋅+log2�2026
�=log2�2026+log2�2025+log2�2024+⋅⋅⋅+log2�1
则,
得2�=log2�1+log2�2026+log2�2+log2�2025+⋅⋅⋅+log2�2026+log2�1,
所以2�=log2�.1⋅�2026+log2�2⋅�2025+⋅⋅⋅+log2�2026⋅�1=log22+log22+⋅⋅⋅+log22=2026
故选:�=B.1013
【变式】(高二全国专题练习)设,,求的值.
5-22025··�
4122020
�
【答案】�(�)=4+2�=�2021+�2021+⋯+�2021�
【解题思路�=】1计01算0得出为常数,再运用倒序相加法求和即可.
【解答过程】因为��+�,(1−�)
�
4
�
�(�)=4+2
所以
�1−�
44
�1−�
�(�)+�(1−�)=4+2+4+2
.
��
444+2
���
=4+2+4+2×4=4+2=1
故
122020
2�=2�2021+�2021+⋯+�2021
,
120202201920201
所=以�2021+�.2021+�2021+�2021+⋯+�2021+�2021=2020
�=1010
【变式5-3】(2025·上海·模拟预测)已知,数列的前项和为,点均
1
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