2026年高考数学复习系列(全国)专题5.6 解三角形(解析版)_第1页
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文档简介

专题5.6解三角形(举一反三专项训练)

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】...........................................................................................................1

【题型2正、余弦定理判定三角形形状】...............................................................................................................3

【题型3正弦定理判定三角形解的个数】...............................................................................................................4

【题型4求三角形(四边形)的面积】...................................................................................................................6

【题型5三角形的高、中线和角平分线】...............................................................................................................9

【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】.............................................................................................11

【题型7距离、高度、角度测量问题】.................................................................................................................14

【题型8几何图形中的计算】.................................................................................................................................18

【题型9解三角形与三角函数的交汇问题】.........................................................................................................21

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】

1.(2025·陕西西安·模拟预测)在中,,,,则()

A.1B.3△𝐴�C�.�1=或23��=7�D=.620°𝐴=

【答案】B

【解题思路】在中利用余弦定理可解.

【解答过程】在△𝐴�中利用余弦定理可得,,

222

则由题意得△𝐴�,即��=𝐴+��−,2得𝐴⋅��⋅(co负s�值舍去).

2∘2

故选:B.7=𝐴+4−4𝐴⋅cos60𝐴−2𝐴−3=0𝐴=3

2.(2025·陕西·模拟预测)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,则

=()△𝐴��=6�sin�=3

sin�

A.B.C.D.

2111

3236

【答案】B

【解题思路】利用正弦定理解三角形即可.

【解答过程】由正弦定理得,

��

则,sin�=sin�

又�sin�,=�sin�,

所以�=6�sin�,=解3得.

1

6sin�=3sin�=2

故选:B.

3.(2025·湖南永州·模拟预测)在中,,则最大的内角为()

A.B.△𝐴�C�.�=3,��=5,��=7D.△𝐴�

5π3π2ππ

6432

【答案】C

【解题思路】由大边对大角及余弦定理求最大内角.

【解答过程】因为三条边中最大,所以最大的内角为,

由余弦定理得��,�

222222

𝐴+��−��3+5−71

cos�=2𝐴⋅��=2×3×5=−2

由,所以.

0<�<π�=3

故选:C.

4.(2025·陕西西安·模拟预测)中内角,,所对的边分别为,,,若,且,

22228

△𝐴�������sin�=5�+�−�=5��

则()

�=

A.B.C.D.2

332

243

【答案】A

【解题思路】利用余弦定理求出,再结合同角三角函数的基本关系求出,最后利用正弦定理求解即

可.cos�sin�

【解答过程】因为,所以,

22282224

�+�−�=5���+�−�=5×2��

则,由余弦定理得,

222

�+�−�44

因为2��=5,所以,cos�=5

�∈(0,π)sin�>0

由同角三角函数的基本关系得,解得,

2423

sin�+(5)=1sin�=5

由正弦定理得3,故A正确.

�2�sin�2�×53

2

�=2�sin�=2�×5=2

故选:A.

【题型2正、余弦定理判定三角形形状】

5.(2025·陕西渭南·三模)已知中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,

且,则是()△𝐴��cos�+�cos�=�

�A=.�c锐os角�三角△形𝐴�B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【解题思路】由正弦定理和得到,,求出,得到答案.

π

【解答过程】sin�=sin�+��=�cos�=0�=2,

即�c,os故�+�cos,�=�⇒sin�cos�+sin�cos�=sin�⇒sin�+�=sin�

sin�=sin��=�

�=�cos�⇒sin�=sin�cos�⇒sin�+�=sin�co,s�

⇒因为sin�cos�+,co所s�以sin�=sin�,co故s�⇒sin�c,os�=0

因为�∈0,π,所以sin�,≠0cos�=0

π

�∈0,π�=2

故为等腰直角三角形.

故选△:𝐴D�.

6.(2025·河南新乡·二模)在中,内角,,的对边分别为,,,且,,,则

()△𝐴��������=7�=3�=5

A.为锐角三角形B.为直角三角形

C.△𝐴�为钝角三角形D.△𝐴�的形状无法确定

【答案】△C𝐴�△𝐴�

【解题思路】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.

【解答过程】由于

222222,

�+�−�3+5−79+25−49

故为钝角,进而三co角s�形=为钝2�角�三=角形30=30<0

故选�:C.

7.(25-26高三上·北京顺义·期中)在中的角的对应边分别为,且,则

△𝐴��,�,��,�,��cos�+�cos�=�

三角形的形状为()

A.�等��腰三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.直角或等腰三角形

【答案】A

【解题思路】将式子中的余弦转化为边的表达式并化简,得到边的等量关系,进而判断三角形形状.

【解答过程】将用余弦定理展开,

得�cos�+�cos�

222222222222.

�+�−��+�−��+�−��+�−�

由题�⋅设2��+�⋅2��,=故2�.+2�=�

故选:A�c.os�+�cos�=��=�

8.(25-26高三上·河北邢台·月考)已知的三个内角,,所对的边分别为,,,若

22

,△𝐴�,则的�形�状为�()���cos�+sin�−

2

cosA�.−等3边si三n�角sin形�=0sin�+cos�=3B.△等�腰��直角三角形

C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】C

【解题思路】由同角三角函数的基本关系及正余弦定理即可求出,由两角差的余弦公式和辅助角公式求出,

从而可判断的形状.��

【解答过程】△𝐴�,

222

∵cos�+sin�−cos�−3sin�sin�=,0即,

222222

由∴1正−弦s定in理�及+余sin弦�定−理得1−sin�−,3sin�sin�=0,sin�+sin�−sin�=3sin�sin�

222

�+�−�33

2��=2∴cos�=2

∵,∴,

π

�∈(0,π)�=6

又,,整理得,

5��

∵sin�+cos�=3∴sin�+cos6−�=33sin�−6=3

因为,,所以,

5πππ2πππ2π

�∈0,6�−6∈−6,3�−6=2⇒�=3

所以,为等腰三角形.

π

�=6∴△𝐴�

故选:C.

【题型3正弦定理判定三角形解的个数】

9.(2025·湖北黄冈·一模)已知的内角所对的边分别为,,下面可使得

π

△𝐴��,�,��,�,��=3,�=3△𝐴�

有两组解的的值为()

A.B.C.D.

33

【答案】D234e

【解题思路】根据,即可得到答案.

【解答过程】要使得�sin�<�有<两�组解,则,又,得到,

π33

故选:D.△𝐴��sin�<�<��=3,�=32<�<3

10.(25-26高三上·安徽·期中)在中,内角的对边分别为,根据下列条件解三角形,其

中有两解的是()△𝐴��,�,��,�,�

A.B.

∘∘∘

C.�=6,�=60,�=45D.�=15,�=6,�=60

∘∘

【答案】�C=3,�=2,�=45�=8,�=4,�=80

【解题思路】利用正弦定理判断三角形解的情况.

【解答过程】A选项,三角形的三个角确定,一条边确定,则三角形只有一个解,故A错;

B选项,,所以三角形无解,故B错;

C选项,�sin�=33>15=,�所以三角形有两个解,故C正确;

D选项,�sin�,=所2以<3<2,三角形只有一个解,故D错.

°

故选:C.�>��<�=80

11.(2025·湖北·模拟预测)在中,已知,,,若存在两个这样的三角形,

π

则的取值范围是()△𝐴�𝐴=���=22�=4𝐴�

�A.B.C.D.

【答案】C22,+∞0,222,222,2

【解题思路】由正弦定理可得,分析可知关于A的方程:在有两解,结合正弦函

223π

sin�=�sin�=��∈0,4

数图象分析求解.

【解答过程】由正弦定理可得,

𝐴����sin�2

sin�=sin�sin�=𝐴=�

由题意可知:关于A的方程:在有两解,

23π

sin�=��∈0,4

在同一坐标系内分别作出曲线,和水平直线,

3π2

�=sin��∈0,4�=�

因为它们有两个不同的交点,所以,所以.

22

故选:C.2<�<12<�<22

12.(25-26高三上·黑龙江·开学考试)在中,内角所对边分别为,已知,

且三角形有两解,则角A的取值范围是(△)𝐴��,�,��,�,��=3,�=2

A.B.C.D.

πππππ�2�

(0,3)(3,2)(6,3)(3,3)

【答案】A

【解题思路】根据正弦定理可得,再由三角形有两解,可得,可得角的取值范围.

233

sin�=3sin�sin�<2�

【解答过程】由正弦定理可得,

��

sin�=sin�

,可得,

3223

由∴sin�AB=Csi有n�两解知si,n�=有两3个si解n�,

故△,即�

23

sin�<1sin�=3sin�<1

3

∴sin�<2

或,

π2π

∴0<�<33<�<π

又,∴A为锐角,所以,

π

�<�⇒�<�0<�<3

故选:A.

【题型4求三角形(四边形)的面积】

13.(2025·广东·模拟预测)已知中,角,,所对的边分别为,,,若,,,

则的面积为()△𝐴��������=3�=2tan�=−3

△𝐴�

A.B.C.D.

3332

【答案】A233232

【解题思路】由可求出,然后再根据面积公式即可求解.

tan�=−3sin�

【解答过程】因为,所以,

tan�=−3,�∈0°,180°�=120°

则.

11333

Δ𝐴�

故选�:A=.2��sin�=2×3×2×2=2

14.(2025·广东江门·模拟预测)已知的内角,,的对边分别为,,,

22

,且,则△𝐴�面积的最�大值�为�()���5sin�+5sin�−

2

5sinA�.=2sin�sin��=22△𝐴�B.2

C.6D.26

【答案】A55

【解题思路】根据题目条件,使用正弦定理转化为,

2222222

代入计算出最大值,再5使si用n余�弦+定5s理in�−5sin�=2sin�sin�计算出,从而得出�+�,使−用�面=积5�公�

222

����+�−�=2��cos�cos�sin�

式计算出面积的最大值.

1

�=2��sin�△𝐴�

【解答过程】已知,由正弦定理化简得:,

2222222

5sin�+5sin�−5sin�=2sin�sin��+�−�=5��

代入得:

222222

�=22�+�−8=5��⇔�+�−5��=8

,当且仅当“”时取等,

2222

�+�−5��=8≥2��−5��⇒��≤5�=�

由余弦定理可得:,,

2221π

�+�−�=2��cos�cos�=5�∈0,2

由同角三角函数关系可得:,

226

sin�=1−cos�=5

则面积.

1126

maxmax

故选△:𝐴A�.�=2��sin�=2×5×5=6

15.(2025·四川成都·一模)已知在中,,.

(1)求,;△𝐴�sin�+cos�=2sin�+cos2�=0

(2)若��,求的面积.

【答案�】�(=1)2,△𝐴�;

ππ

�=4�=3

(2).

3+3

2

【解题思路】(1)应用辅助角公式有得,再由三角形内角和的性质、诱导公式、二倍

ππ

角公式得,即可得sin;�+4=1�=4

sin�1−2cos�=0

(2)由(1)知,再由正弦定理求边长,最后应用三角形面积公式求的面积.

�=12△𝐴�

【解答过程】(1)由,得,即,

ππ

sin�+cos�=22sin�+4=2sin�+4=1

因为,所以,所以,所以,

ππ5ππππ

�∈0,π�+4∈4,4�+4=2�=4

由,且,得,

3π3π

则sin�+cos2�=0,即2�=2π−�−�=,2−2�sin�+cos2−2�=0

因为sin�−sin2�=0,s则in�1−2co,s�所以=0;

�∈0,π,sin�>0cos�=2�=3

(2)由(1)可得,记的内角,,的对边分别为,,,

�=12△𝐴�������

由,

5πππππππ2+6

sin�=sin12=sin(6+4)=sin6cos4+cos6sin4=4

因为,由正弦定理,得,

��6+2

�=2sin�=sin��=4×22=3+1

所以.

13+3

△𝐴�

16.(�2025·青=海2�·模�s拟in�预=测)在2中,内角,,所对的边分别为,,,

.△𝐴�������2�cos�cos�+2�cos�cos�−�=

(01)求;

(2)已知�,的周长为,求的面积.

【答案】�(1=)2△𝐴�6+23△𝐴�

π

�=3

(2)

【解2题3思路】(1)利用正弦定理边化角,再进行三角恒等变换,即可得解;

(2)由余弦定理得,结合题设条件求出边,利用三角形面积公式计算即得.

22

【解答过程】(1)由�=�+4−2�可得�,

即2�cos�cos�+2�c,os�cos�=�2sin�cos�cos�+2sin�cos�cos�=sin�

因2cos�(sin�cos�+sin�cos�)=sin�,

代入sin上�式co,s�可+得sin�cos�=sin(�+,�)=sin(�−�)=sin�

因,则得2cos�sin�,=sin�

1

sin�≠0cos�=2

又,所以.

π

�∈(0,π)�=3

(2)由余弦定理,,即①

22222

�=�+�−2��cos��=�+4−2�

的周长为,即②

△由①𝐴②�解得�,+�+�=,6+23�+�=4+23

所以的�=面4积�=23.

1

△𝐴��=2��sin�=23

【题型5三角形的高、中线和角平分线】

17.(2025·广西·模拟预测)在中,的平分线交于,则()

π

△𝐴���=3,��=2,�=3,∠������=

A.B.C.D.

333323

【答案】D2323

【解题思路】先根据正弦定理求出,然后根据正弦定理求出.

【解答过程】由题意,根据正弦定理�得��

,解得3,而为三角形内角,

������sin�2×2

sin�=sin�sin�=��=3=1�

所以,所以.

ππ2π

�=2�=6,∠���=3

根据正弦定理,解得.

����223

故选:D.sin∠���=sin���=3=3

18.(2025·黑龙江吉林·模拟预测)在中,已知是边上的中线,则

()△𝐴���=5,𝐴=3,��=7,������=

A.B.C.D.

1519715

【答案】B4227

【解题思路】利用两次余弦定理即可求解.

【解答过程】

由余弦定理得:,

222

𝐴+��−��9+49−2511

cos�=2𝐴⋅��=2×3×7=14

再由余弦定理得:,

2224971119

��=𝐴+��−2𝐴⋅��cos�=9+4−2×3×2×14=4

则,

19

故选��:=B.2

19.(2025·四川自贡·一模)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,.

1

△𝐴�cos�=−3�sin�=22

(1)求a;

(2)若的面积为,求AB上的高CD.

52

【答案△】�(1�)�32

(2)

102

【解题9思路】(1)根据同角关系解得,再使用正弦定理即可求解;

sin��

(2)根据面积求解,再利用余弦定理求得,再次使用面积即可求解.

1

���=2�⋅��

【解答过程】(1)根据,,可知:

22122

sin�+cos�=1cos�=−3sin�=3

因为,即,

��

sin�=sin��sin�=�sin�=22

所以,即;

22

�⋅3=22�=3

(2),解得,

1122525

�=2��sin�=2×3×�×3=2�=2

则25,解得,

2222

�+�−�9+4−�19

5

cos�=2��=2×3×2=−3�=2

则,代入,解得.

1529102

�=2�⋅��=2�=2��=9

20.(2025·四川成都·模拟预测)的内角的对边分别为,已知.

��

△𝐴��,�,��,�,�2�cos�=3−2�cos�

(1)求;

(2)若�,边上的中线长为2,点在上,且为的平分线,求的长.

【答案∠】��(1�)=60𝐴�𝐴��∠�𝐴��

�=23

(2)

6

【解3题思路】(1)利用正弦定理将边化角后,再利用两角和的正弦公式及,得到

,再得出的值;sin�+�=sin�2sin�=

3

3�sin��

(2)由余弦定理得①,又平方可得②,由①②得:

221222

�+�−��=12��=2��+���+�+��=16�+

,故,根据和面积公式可得.

23��6

�=14,��=2�+�=32�△���+�△���=�△𝐴���=�+�=3

【解答过程】(1)因为,

��

2�cos�=3−2�cos�

由正弦定理可得,

3

2sin�cos�=3�sin�−2cos�sin�

则,又

3�

2sin�+�=3sin�sin�+�=sin�

所以,

3

3

因为在2sin�=中,�sin�,所以.

(2)由余△弦𝐴定�理得s:in�>0�=23,即有①;

2222222

设为的中点,即�=�+,�又因−为2��cos�=�+�−,���+�−��=12

1

�𝐴𝐶=2��=2��+��

所以,即②,

212222

4

由①,𝐶②得=:��+𝐴+2��⋅�,��+�+��=16

22

所以�+�=14,��=2,所以.

222

因为(�+为�)=的�平+分�线+,2�所�以=18�+�=32,

△���△���△𝐴�

则��∠�𝐴�+�=,�

111

2�⋅��⋅sin30°+2�⋅��⋅sin30°=2��sin60°

即.

3��236

��=�+�=32=3

【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】

21.(2025·广东佛山·模拟预测)在中,角所对的边为.若,,则

3

的最大值为()△𝐴��,�,��,�,��=2cos�=−56�+5�

A.不存在最大值B.C.D.

11525

【答案】C22115

【解题思路】根据正弦定理、两角和差公式和辅助角公式可将转化为,根据的范围

25

6�+5�2sin�+��,�

即可得解.

【解答过程】,,,,

34���25

4

∵�∈0,πcos�=−5∴sin�=5∴sin�=sin�=sin�=5=2

,,

55

∴�=2sin��=2sin�

252525

∴6�+5�=15sin�+2sin�=15sin�+�+2sin�=15sin�cos�+15cos�sin�+2sin�=12cos�+

(其中,,),

725247π

2sin�=2sin�+�sin�=25cos�=250<�<2

,,,

212π3ππ

∵−2<cos�<−2∴�∈3,4∴�∈0,3

又,,,,

3ππππ5π

sin�>20<,�<2∴�∈3,2∴�+�∈3,6

∴sin(�+�)≤1

∴,最大值为.

2525

6�+5�≤2∴6�+5�2

故选:C.

22.(2025·四川成都·模拟预测)设锐角的三个内角的对边分别为,且,则

的取值范围为()△𝐴��,�,��,�,��=2,�=2��+�

A.B.C.D.

【答案】C2,102+22,102+22,4+234+23,10

【解题思路】根据正弦定理,转化为三角函数,化简后换元,根据二次函数的单调性求范围即可.

【解答过程】在中,由可得,

由正弦定理△𝐴��=得2:��=π−3�

���2sin3�+sin2�2sin�cos2�+cos�sin2�+2sin�cos�2

,sinπ−3�=sin2�=sin��+�=sin�=sin�=24cos�+

2cos�−1

π

又为锐角三角形,所以,解得,

0<�=π−3�<2

πππ

△𝐴�0<�=2�<26<�<4

π

0<�<2

令,则,

23223

�=cos�∈2,2�+�=2(4�+2�−1),�∈2,2

因为在时单调递增,

223

22

所以�=4�+2�−1�∈,则,.

故选:1C+.2<�<2+3�+�∈2+22,4+23

23.(2025·湖北武汉·模拟预测)已知分别为锐角三个内角的对边,且

.�,�,�△𝐴��,�,��cos�+3�sin�−

(�1−)求�=;0

(2)若�;求周长的取值范围.

【答案�】=(13)△𝐴�

π

3

(2)

【解题3+思3路】3,9(1)由正弦定理边化角变形已知等式,再结合两角和的正弦,辅助角公式和诱导公式可得;

(2)由正弦定理边化角和两角差的正弦得到,再结合锐角范围和三角函数值域可得.

【解答过程】(1)�+�.

由正弦定理得∵�cos�+3�sin�−�−�=0

∴在中,sin�cos�+3sin�sin�−sin�−sin�=0

代入△上𝐴式�化简∵得�:+�+�=π,∴sin�=sin�+�=sin�cos�+cos�sin�

因为,所以3sin�sin�−cos�sin,�即−sin�=0

π

sin�≠03sin�−cos�=12sin�−6=1

为锐角,.

π

∵�∴�=3

(2)由正弦定理得

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