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文档简介
专题5.6解三角形(举一反三专项训练)
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】...........................................................................................................1
【题型2正、余弦定理判定三角形形状】...............................................................................................................3
【题型3正弦定理判定三角形解的个数】...............................................................................................................4
【题型4求三角形(四边形)的面积】...................................................................................................................6
【题型5三角形的高、中线和角平分线】...............................................................................................................9
【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】.............................................................................................11
【题型7距离、高度、角度测量问题】.................................................................................................................14
【题型8几何图形中的计算】.................................................................................................................................18
【题型9解三角形与三角函数的交汇问题】.........................................................................................................21
第二部分分层突破
A组基础跟踪练
B组培优提升练
【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】
1.(2025·陕西西安·模拟预测)在中,,,,则()
A.1B.3△𝐴�C�.�1=或23��=7�D=.620°𝐴=
【答案】B
【解题思路】在中利用余弦定理可解.
【解答过程】在△𝐴�中利用余弦定理可得,,
222
则由题意得△𝐴�,即��=𝐴+��−,2得𝐴⋅��⋅(co负s�值舍去).
2∘2
故选:B.7=𝐴+4−4𝐴⋅cos60𝐴−2𝐴−3=0𝐴=3
2.(2025·陕西·模拟预测)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,则
=()△𝐴��=6�sin�=3
sin�
A.B.C.D.
2111
3236
【答案】B
【解题思路】利用正弦定理解三角形即可.
【解答过程】由正弦定理得,
��
则,sin�=sin�
又�sin�,=�sin�,
所以�=6�sin�,=解3得.
1
6sin�=3sin�=2
故选:B.
3.(2025·湖南永州·模拟预测)在中,,则最大的内角为()
A.B.△𝐴�C�.�=3,��=5,��=7D.△𝐴�
5π3π2ππ
6432
【答案】C
【解题思路】由大边对大角及余弦定理求最大内角.
【解答过程】因为三条边中最大,所以最大的内角为,
由余弦定理得��,�
222222
𝐴+��−��3+5−71
cos�=2𝐴⋅��=2×3×5=−2
由,所以.
2π
0<�<π�=3
故选:C.
4.(2025·陕西西安·模拟预测)中内角,,所对的边分别为,,,若,且,
22228
△𝐴�������sin�=5�+�−�=5��
则()
�
�=
A.B.C.D.2
332
243
【答案】A
【解题思路】利用余弦定理求出,再结合同角三角函数的基本关系求出,最后利用正弦定理求解即
可.cos�sin�
【解答过程】因为,所以,
22282224
�+�−�=5���+�−�=5×2��
则,由余弦定理得,
222
�+�−�44
因为2��=5,所以,cos�=5
�∈(0,π)sin�>0
由同角三角函数的基本关系得,解得,
2423
sin�+(5)=1sin�=5
由正弦定理得3,故A正确.
�2�sin�2�×53
2
�=2�sin�=2�×5=2
故选:A.
【题型2正、余弦定理判定三角形形状】
5.(2025·陕西渭南·三模)已知中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,
且,则是()△𝐴��cos�+�cos�=�
�A=.�c锐os角�三角△形𝐴�B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
【答案】D
【解题思路】由正弦定理和得到,,求出,得到答案.
π
【解答过程】sin�=sin�+��=�cos�=0�=2,
即�c,os故�+�cos,�=�⇒sin�cos�+sin�cos�=sin�⇒sin�+�=sin�
sin�=sin��=�
�=�cos�⇒sin�=sin�cos�⇒sin�+�=sin�co,s�
⇒因为sin�cos�+,co所s�以sin�=sin�,co故s�⇒sin�c,os�=0
因为�∈0,π,所以sin�,≠0cos�=0
π
�∈0,π�=2
故为等腰直角三角形.
故选△:𝐴D�.
6.(2025·河南新乡·二模)在中,内角,,的对边分别为,,,且,,,则
()△𝐴��������=7�=3�=5
A.为锐角三角形B.为直角三角形
C.△𝐴�为钝角三角形D.△𝐴�的形状无法确定
【答案】△C𝐴�△𝐴�
【解题思路】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【解答过程】由于
222222,
�+�−�3+5−79+25−49
故为钝角,进而三co角s�形=为钝2�角�三=角形30=30<0
故选�:C.
7.(25-26高三上·北京顺义·期中)在中的角的对应边分别为,且,则
△𝐴��,�,��,�,��cos�+�cos�=�
三角形的形状为()
A.�等��腰三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.直角或等腰三角形
【答案】A
【解题思路】将式子中的余弦转化为边的表达式并化简,得到边的等量关系,进而判断三角形形状.
【解答过程】将用余弦定理展开,
得�cos�+�cos�
222222222222.
�+�−��+�−��+�−��+�−�
由题�⋅设2��+�⋅2��,=故2�.+2�=�
故选:A�c.os�+�cos�=��=�
8.(25-26高三上·河北邢台·月考)已知的三个内角,,所对的边分别为,,,若
22
,△𝐴�,则的�形�状为�()���cos�+sin�−
2
cosA�.−等3边si三n�角sin形�=0sin�+cos�=3B.△等�腰��直角三角形
C.等腰三角形D.直角三角形
【答案】C
【解题思路】由同角三角函数的基本关系及正余弦定理即可求出,由两角差的余弦公式和辅助角公式求出,
从而可判断的形状.��
【解答过程】△𝐴�,
222
∵cos�+sin�−cos�−3sin�sin�=,0即,
222222
由∴1正−弦s定in理�及+余sin弦�定−理得1−sin�−,3sin�sin�=0,sin�+sin�−sin�=3sin�sin�
222
�+�−�33
2��=2∴cos�=2
∵,∴,
π
�∈(0,π)�=6
又,,整理得,
5��
∵sin�+cos�=3∴sin�+cos6−�=33sin�−6=3
因为,,所以,
5πππ2πππ2π
�∈0,6�−6∈−6,3�−6=2⇒�=3
所以,为等腰三角形.
π
�=6∴△𝐴�
故选:C.
【题型3正弦定理判定三角形解的个数】
9.(2025·湖北黄冈·一模)已知的内角所对的边分别为,,下面可使得
π
△𝐴��,�,��,�,��=3,�=3△𝐴�
有两组解的的值为()
�
A.B.C.D.
33
【答案】D234e
【解题思路】根据,即可得到答案.
【解答过程】要使得�sin�<�有<两�组解,则,又,得到,
π33
故选:D.△𝐴��sin�<�<��=3,�=32<�<3
10.(25-26高三上·安徽·期中)在中,内角的对边分别为,根据下列条件解三角形,其
中有两解的是()△𝐴��,�,��,�,�
A.B.
∘∘∘
C.�=6,�=60,�=45D.�=15,�=6,�=60
∘∘
【答案】�C=3,�=2,�=45�=8,�=4,�=80
【解题思路】利用正弦定理判断三角形解的情况.
【解答过程】A选项,三角形的三个角确定,一条边确定,则三角形只有一个解,故A错;
B选项,,所以三角形无解,故B错;
C选项,�sin�=33>15=,�所以三角形有两个解,故C正确;
D选项,�sin�,=所2以<3<2,三角形只有一个解,故D错.
°
故选:C.�>��<�=80
11.(2025·湖北·模拟预测)在中,已知,,,若存在两个这样的三角形,
π
则的取值范围是()△𝐴�𝐴=���=22�=4𝐴�
�A.B.C.D.
【答案】C22,+∞0,222,222,2
【解题思路】由正弦定理可得,分析可知关于A的方程:在有两解,结合正弦函
223π
sin�=�sin�=��∈0,4
数图象分析求解.
【解答过程】由正弦定理可得,
𝐴����sin�2
sin�=sin�sin�=𝐴=�
由题意可知:关于A的方程:在有两解,
23π
sin�=��∈0,4
在同一坐标系内分别作出曲线,和水平直线,
3π2
�=sin��∈0,4�=�
因为它们有两个不同的交点,所以,所以.
22
故选:C.2<�<12<�<22
12.(25-26高三上·黑龙江·开学考试)在中,内角所对边分别为,已知,
且三角形有两解,则角A的取值范围是(△)𝐴��,�,��,�,��=3,�=2
A.B.C.D.
πππππ�2�
(0,3)(3,2)(6,3)(3,3)
【答案】A
【解题思路】根据正弦定理可得,再由三角形有两解,可得,可得角的取值范围.
233
sin�=3sin�sin�<2�
【解答过程】由正弦定理可得,
��
sin�=sin�
,可得,
3223
由∴sin�AB=Csi有n�两解知si,n�=有两3个si解n�,
故△,即�
23
sin�<1sin�=3sin�<1
,
3
∴sin�<2
或,
π2π
∴0<�<33<�<π
又,∴A为锐角,所以,
π
�<�⇒�<�0<�<3
故选:A.
【题型4求三角形(四边形)的面积】
13.(2025·广东·模拟预测)已知中,角,,所对的边分别为,,,若,,,
则的面积为()△𝐴��������=3�=2tan�=−3
△𝐴�
A.B.C.D.
3332
【答案】A233232
【解题思路】由可求出,然后再根据面积公式即可求解.
tan�=−3sin�
【解答过程】因为,所以,
tan�=−3,�∈0°,180°�=120°
则.
11333
Δ𝐴�
故选�:A=.2��sin�=2×3×2×2=2
14.(2025·广东江门·模拟预测)已知的内角,,的对边分别为,,,
22
,且,则△𝐴�面积的最�大值�为�()���5sin�+5sin�−
2
5sinA�.=2sin�sin��=22△𝐴�B.2
C.6D.26
【答案】A55
【解题思路】根据题目条件,使用正弦定理转化为,
2222222
代入计算出最大值,再5使si用n余�弦+定5s理in�−5sin�=2sin�sin�计算出,从而得出�+�,使−用�面=积5�公�
222
����+�−�=2��cos�cos�sin�
式计算出面积的最大值.
1
�=2��sin�△𝐴�
【解答过程】已知,由正弦定理化简得:,
2222222
5sin�+5sin�−5sin�=2sin�sin��+�−�=5��
代入得:
222222
�=22�+�−8=5��⇔�+�−5��=8
,当且仅当“”时取等,
2222
�+�−5��=8≥2��−5��⇒��≤5�=�
由余弦定理可得:,,
2221π
�+�−�=2��cos�cos�=5�∈0,2
由同角三角函数关系可得:,
226
sin�=1−cos�=5
则面积.
1126
maxmax
故选△:𝐴A�.�=2��sin�=2×5×5=6
15.(2025·四川成都·一模)已知在中,,.
(1)求,;△𝐴�sin�+cos�=2sin�+cos2�=0
(2)若��,求的面积.
【答案�】�(=1)2,△𝐴�;
ππ
�=4�=3
(2).
3+3
2
【解题思路】(1)应用辅助角公式有得,再由三角形内角和的性质、诱导公式、二倍
ππ
角公式得,即可得sin;�+4=1�=4
sin�1−2cos�=0
(2)由(1)知,再由正弦定理求边长,最后应用三角形面积公式求的面积.
5π
�=12△𝐴�
【解答过程】(1)由,得,即,
ππ
sin�+cos�=22sin�+4=2sin�+4=1
因为,所以,所以,所以,
ππ5ππππ
�∈0,π�+4∈4,4�+4=2�=4
由,且,得,
3π3π
则sin�+cos2�=0,即2�=2π−�−�=,2−2�sin�+cos2−2�=0
因为sin�−sin2�=0,s则in�1−2co,s�所以=0;
1π
�∈0,π,sin�>0cos�=2�=3
(2)由(1)可得,记的内角,,的对边分别为,,,
5π
�=12△𝐴�������
由,
5πππππππ2+6
sin�=sin12=sin(6+4)=sin6cos4+cos6sin4=4
因为,由正弦定理,得,
��6+2
�=2sin�=sin��=4×22=3+1
所以.
13+3
△𝐴�
16.(�2025·青=海2�·模�s拟in�预=测)在2中,内角,,所对的边分别为,,,
.△𝐴�������2�cos�cos�+2�cos�cos�−�=
(01)求;
(2)已知�,的周长为,求的面积.
【答案】�(1=)2△𝐴�6+23△𝐴�
π
�=3
(2)
【解2题3思路】(1)利用正弦定理边化角,再进行三角恒等变换,即可得解;
(2)由余弦定理得,结合题设条件求出边,利用三角形面积公式计算即得.
22
【解答过程】(1)由�=�+4−2�可得�,
即2�cos�cos�+2�c,os�cos�=�2sin�cos�cos�+2sin�cos�cos�=sin�
因2cos�(sin�cos�+sin�cos�)=sin�,
代入sin上�式co,s�可+得sin�cos�=sin(�+,�)=sin(�−�)=sin�
因,则得2cos�sin�,=sin�
1
sin�≠0cos�=2
又,所以.
π
�∈(0,π)�=3
(2)由余弦定理,,即①
22222
�=�+�−2��cos��=�+4−2�
的周长为,即②
△由①𝐴②�解得�,+�+�=,6+23�+�=4+23
所以的�=面4积�=23.
1
△𝐴��=2��sin�=23
【题型5三角形的高、中线和角平分线】
17.(2025·广西·模拟预测)在中,的平分线交于,则()
π
△𝐴���=3,��=2,�=3,∠������=
A.B.C.D.
333323
【答案】D2323
【解题思路】先根据正弦定理求出,然后根据正弦定理求出.
【解答过程】由题意,根据正弦定理�得��
,解得3,而为三角形内角,
������sin�2×2
sin�=sin�sin�=��=3=1�
所以,所以.
ππ2π
�=2�=6,∠���=3
根据正弦定理,解得.
����223
故选:D.sin∠���=sin���=3=3
18.(2025·黑龙江吉林·模拟预测)在中,已知是边上的中线,则
()△𝐴���=5,𝐴=3,��=7,������=
A.B.C.D.
1519715
【答案】B4227
【解题思路】利用两次余弦定理即可求解.
【解答过程】
由余弦定理得:,
222
𝐴+��−��9+49−2511
cos�=2𝐴⋅��=2×3×7=14
再由余弦定理得:,
2224971119
��=𝐴+��−2𝐴⋅��cos�=9+4−2×3×2×14=4
则,
19
故选��:=B.2
19.(2025·四川自贡·一模)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,.
1
△𝐴�cos�=−3�sin�=22
(1)求a;
(2)若的面积为,求AB上的高CD.
52
【答案△】�(1�)�32
(2)
102
【解题9思路】(1)根据同角关系解得,再使用正弦定理即可求解;
sin��
(2)根据面积求解,再利用余弦定理求得,再次使用面积即可求解.
1
���=2�⋅��
【解答过程】(1)根据,,可知:
22122
sin�+cos�=1cos�=−3sin�=3
因为,即,
��
sin�=sin��sin�=�sin�=22
所以,即;
22
�⋅3=22�=3
(2),解得,
1122525
�=2��sin�=2×3×�×3=2�=2
则25,解得,
2222
�+�−�9+4−�19
5
cos�=2��=2×3×2=−3�=2
则,代入,解得.
1529102
�=2�⋅��=2�=2��=9
20.(2025·四川成都·模拟预测)的内角的对边分别为,已知.
��
△𝐴��,�,��,�,�2�cos�=3−2�cos�
(1)求;
(2)若�,边上的中线长为2,点在上,且为的平分线,求的长.
∘
【答案∠】��(1�)=60𝐴�𝐴��∠�𝐴��
�=23
(2)
6
【解3题思路】(1)利用正弦定理将边化角后,再利用两角和的正弦公式及,得到
,再得出的值;sin�+�=sin�2sin�=
3
3�sin��
(2)由余弦定理得①,又平方可得②,由①②得:
221222
�+�−��=12� � =2� � +� � �+�+��=16�+
,故,根据和面积公式可得.
23��6
�=14,��=2�+�=32�△���+�△���=�△𝐴���=�+�=3
【解答过程】(1)因为,
��
2�cos�=3−2�cos�
由正弦定理可得,
3
2sin�cos�=3�sin�−2cos�sin�
则,又
3�
2sin�+�=3sin�sin�+�=sin�
所以,
3
3
因为在2sin�=中,�sin�,所以.
(2)由余△弦𝐴定�理得s:in�>0�=23,即有①;
2222222
设为的中点,即�=�+,�又因−为2��cos�=�+�−,���+�−��=12
1
�𝐴𝐶=2� � =2� � +� �
所以,即②,
212222
4
由①,𝐶②得=:��+𝐴+2��⋅�,��+�+��=16
22
所以�+�=14,��=2,所以.
222
因为(�+为�)=的�平+分�线+,2�所�以=18�+�=32,
△���△���△𝐴�
则��∠�𝐴�+�=,�
111
2�⋅��⋅sin30°+2�⋅��⋅sin30°=2��sin60°
即.
3��236
��=�+�=32=3
【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】
21.(2025·广东佛山·模拟预测)在中,角所对的边为.若,,则
3
的最大值为()△𝐴��,�,��,�,��=2cos�=−56�+5�
A.不存在最大值B.C.D.
11525
【答案】C22115
【解题思路】根据正弦定理、两角和差公式和辅助角公式可将转化为,根据的范围
25
6�+5�2sin�+��,�
即可得解.
【解答过程】,,,,
34���25
4
∵�∈0,πcos�=−5∴sin�=5∴sin�=sin�=sin�=5=2
,,
55
∴�=2sin��=2sin�
252525
∴6�+5�=15sin�+2sin�=15sin�+�+2sin�=15sin�cos�+15cos�sin�+2sin�=12cos�+
(其中,,),
725247π
2sin�=2sin�+�sin�=25cos�=250<�<2
,,,
212π3ππ
∵−2<cos�<−2∴�∈3,4∴�∈0,3
又,,,,
3ππππ5π
sin�>20<,�<2∴�∈3,2∴�+�∈3,6
∴sin(�+�)≤1
∴,最大值为.
2525
6�+5�≤2∴6�+5�2
故选:C.
22.(2025·四川成都·模拟预测)设锐角的三个内角的对边分别为,且,则
的取值范围为()△𝐴��,�,��,�,��=2,�=2��+�
A.B.C.D.
【答案】C2,102+22,102+22,4+234+23,10
【解题思路】根据正弦定理,转化为三角函数,化简后换元,根据二次函数的单调性求范围即可.
【解答过程】在中,由可得,
由正弦定理△𝐴��=得2:��=π−3�
���2sin3�+sin2�2sin�cos2�+cos�sin2�+2sin�cos�2
,sinπ−3�=sin2�=sin��+�=sin�=sin�=24cos�+
2cos�−1
π
又为锐角三角形,所以,解得,
0<�=π−3�<2
πππ
△𝐴�0<�=2�<26<�<4
π
0<�<2
令,则,
23223
�=cos�∈2,2�+�=2(4�+2�−1),�∈2,2
因为在时单调递增,
223
22
所以�=4�+2�−1�∈,则,.
故选:1C+.2<�<2+3�+�∈2+22,4+23
23.(2025·湖北武汉·模拟预测)已知分别为锐角三个内角的对边,且
.�,�,�△𝐴��,�,��cos�+3�sin�−
(�1−)求�=;0
(2)若�;求周长的取值范围.
【答案�】=(13)△𝐴�
π
3
(2)
【解题3+思3路】3,9(1)由正弦定理边化角变形已知等式,再结合两角和的正弦,辅助角公式和诱导公式可得;
(2)由正弦定理边化角和两角差的正弦得到,再结合锐角范围和三角函数值域可得.
【解答过程】(1)�+�.
由正弦定理得∵�cos�+3�sin�−�−�=0
∴在中,sin�cos�+3sin�sin�−sin�−sin�=0
代入△上𝐴式�化简∵得�:+�+�=π,∴sin�=sin�+�=sin�cos�+cos�sin�
因为,所以3sin�sin�−cos�sin,�即−sin�=0
π
sin�≠03sin�−cos�=12sin�−6=1
为锐角,.
π
∵�∴�=3
(2)由正弦定理得
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