2026年高考数学复习系列（全国）专题5.5 解三角形（讲义）（试题版）

专题5.5解三角形（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、解三角形

解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一。从近几

命题规律年的高考情况来看，解三角形考查频率高，选择题、填空题、解答题中都有

考查。解答题中多出现在前两题中，难度中档，侧重正、余弦定理以及三角

分析形面积公式的综合应用；选择题、填空题中侧重考查正、余弦定理解三角形，

难度较易。高考中命题有时也会与三角函数、平面向量、几何图形等知识综

合命题，注重知识交汇，突出应用性与综合性，需要灵活求解。

高考真题考点2023年2024年2025年

新课标卷：第题，

统计I17

10分

新课标Ⅱ卷：第17题，新课标I卷：第15题，

10分13分

全国甲卷（文数）：新课标Ⅱ卷：第15题，

第17题，12分13分全国二卷：第5题，5

解三角形

全国甲卷（理数）：全国甲卷（文数）：分

第16题，5分第12题，5分

全国乙卷（文数）：全国甲卷（理数）：

第4题，5分第11题，5分

全国乙卷（理数）：

第18题，12分

预测在2026年全国卷高考数学中，解三角形依然是必考内容，考情将

继续维持稳定态势，题型覆盖选择题、填空题和解答题，每年必考一题，分

值稳定。在选择题、填空题中核心考查正、余弦定理解三角形，多为基础或

年

2026中档题，不排除压轴可能，分值稳定在5分左右；解答题中大概率在前两题

中考查，核心聚焦正、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，以中档题

命题预测为主。预测命题可能会与三角函数、三角恒等变换等结合命题，注重知识交

汇，也可能融入实际情境考查测量问题，侧重数学运算，解三角形的公式的

运用，强调知识的灵活运用。

知识点1解三角形的几类热点问题及其解题思路

1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即

根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角

函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

2．判定三角形形状的途径：

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘

隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

3．对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形

不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b

和A，解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0；

②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；

③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形

内角和等于”等，此时需进行讨论.

(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，

解三角形为例，用几何法探究如下：

图形关系式解的个数

①a=bsinA；

一解

②a≥b

A

为

锐bsinA<a<b两解

角

a<bsinA无解

A

为

钝

a>b一解

角

或

直

角

a≤b无解

4．与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

知识点2测量问题的基本类型和解决方案

1．测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：

类型简图计算方法

测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理

A,B间不可达

也不可视得

测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+C)，

B,C与点A可

由正弦定理得

视但不可达

测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC

C,D与点A,B的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在

均可视不可达△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，

用余弦定理求AB.

2．测量高度问题的基本类型和解决方案

当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：

类型简图计算方法

底部

测得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.

可达

测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.

点B与

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形

C,D共线

得AB的值.

底

部

不

可

达

点B与测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.

C,D不在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三

共线角形得AB的值.

3．测量角度问题的解决方案

测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角

等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及

有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

知识点3解三角形的应用的解题策略

1．平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

2．解三角形与三角函数的综合应用

解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：

(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；

(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.

【方法技巧与总结】

1．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A+B)=sinC；

(2)cos(A+B)=-cosC；

(3)；

(4).

2．三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

.

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】

【例1】（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，

π33

则（）△𝐴��������=4�=3sin�+sin�=4

�A�．=B．20C．16D．

8020

33

【变式1-1】（2026·云南红河·模拟预测）在中，，，，则为（）

π

△𝐴���=1��=3�=6�

A．B．C．或D．或

πππ2ππ2π

636333

【变式1-2】（2026·四川雅安·一模）在钝角中，内角的对边分别为，若，

，，则（）△𝐴��,�,��,�,��=2�cos�+�cos�

�=A2．�=3cos�B=．C．D．

1771

−4−884

【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）在中，为上一点，且平分，若，，

则（）△𝐴������∠���𝐴=3��=��=2

��=

A．B．C．D．

62463553

5353

【题型2正、余弦定理判定三角形形状】

【例2】（25-26高三上·山东·月考）在中，分别为内角所对的边，若，

则此三角形一定是（）△𝐴��, �, ��, �, ��=2�cos2026π+�

A．等腰直角三角形B．直角三角形

C．等腰三角形D．等腰或直角三角形

【变式2-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则

2

是（）△𝐴��,�,�cos2�−cos2�=2sin�△𝐴�

A．直角三角形B．等边三角形

C．等腰三角形D．锐角三角形

【变式2-2】（2025·江西·二模）已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

.△𝐴�2�sin�cos�−�=−

�sin2�+2�sin�cos�

(1)求B；

(2)若，证明：是等腰三角形.

�+�=4,�=23△𝐴�

【变式2-3】（2025·甘肃白银·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

，，的面积为△𝐴．�(�+�)sin�=

153

(�1s)i证n�明−：�sin��是=钝3角三△角𝐴形�；4

(2)求△的𝐴周�长；

(3)求△𝐴�的外接圆的面积．

△𝐴�

【题型3正弦定理判定三角形解的个数】

【例3】（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A．，，△𝐴�B．，，

C．�=72，�=50�，=135°D．�=20，�=40，�=31°

【变式3�-1=】（320025�·四=川20达3州·模�拟=预12测0°）在中�，内=角8，�=，14的对�边=分30别°为，，.下列条件中能使

唯一确定的是（）△𝐴�������△𝐴�

A．，，B．，，

C．�=45，°�=，60°�=75°D．�=3，�=4�，=30°

【变式3-�2】=（324-2�5=高2一下�·=浙6江0°台州·期中）符合下�列=条12件的�=三1角2形有�=21个2解0°的是（）

A．，，B．，，

π

�=2�=22�=5�=22�=6�=6

C．，，D．，，

ππ

�=2�=3�=6�=2�=22�=6

【变式3-3】（2025·河北秦皇岛·一模）已知的内角的对边分别为，且满足

π

△𝐴��,�,��,�,��=22,�=4

的三角形有两个，则的取值范围为（）

A．�B．C．D．

(0,22)(22,4)(2,4)(2,22)

【题型4求三角形（四边形）的面积】

【例4】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，

，则的面积为（）△𝐴��������=45°�=75°

�=2A．3△𝐴�B．

C．6D．2+3

【变式4-21】（62026·山东枣庄·一模）记的内角3，+，3的对边分别为，，，已知，，，

π

3

则的面积为（）△𝐴��������=�=4�+�=8

△A�．��B．

C．83D．43

【变式4-24】（3−203265·江苏·模拟预测）设的内1角23−1所8对应的边分别是，

且．△𝐴��,�,��,�,�

(1)�求co角s�+的值3．�sin�=�+�

(2)�，，求的面积．

�=4sin�=2cos�△𝐴�

【变式4-3】（2025·云南昆明·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，

�cos�

，，．△𝐴�cos�+�=2�

(21�)求�角=3B�的�值�；�=6��=10

(2)求的面积．

△���

【题型5三角形的高、中线和角平分线】

【例5】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线

1

交边于点，则（）△𝐴�𝐴=4��=6cos�=8△𝐴���

�����=

A．B．C．D．

12839

55532

【变式5-1】（24-25高三下·山东聊城·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，

π

4

，，则边上的高（）△𝐴��=

�=22�=25��ℎ=

A．B．C．D．

32655376

2568

【变式5-2】（2025·安徽合肥·三模）在中，角的对边分别为，且满足.

(1)求角；△𝐴��,�,��,�,�3�sin�+�cos�=�+�

(2)已知�面积为，为7，求边上中线长.

△𝐴�103������

【变式5-3】（2025·吉林长春·二模）在中，分别为角所对的边，且，角A

1

△𝐴��,�,��,�,�2�=�−�cos�

的平分线交于D，且．

(1)求角A；����=2��

(2)若，求的长．

��=3��

【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】

【例6】（2025·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，

则的取值范围是（）𝐴��,�,��,�,��=2��=2

�+A．�B．C．D．

【变式6-12】,（32+4-125高一下·福3建+莆1,田+·期∞中）在锐角2三,2角2形+2中，已知，3+，1分,2别2是+角2，，的对边，

𝐴�������

且，，则三角形的周长的取值范围是（）

3A�．=2�sin��=B．3𝐴�C．D．

【变式6-23】−（230,235·河3南·模拟3预−测3）,3在3中，内3+角3、,3、3的对边分别3+是、3,3、3，且．

△𝐴��������−2�cos�=�

(1)若，，求；

1

cos�=3�=3�

(2)若为锐角三角形，求的取值范围．

�

△𝐴��

【变式6-3】（2025·陕西榆林·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且

．△𝐴��������=3sin�cos�=

(13)求co角s�−的s大in�小co；s�

(2)若�，求的面积；

(3)求�+�=周3长2的取值△范�围��．

△𝐴�

【题型7距离、高度、角度测量问题】

【例7】（2025·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域

特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山

东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择

一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高

°

点的仰角为�山峰的�高度CD为772.5米，且在�处测得�点的仰�角为，点30B，P，D在同一水平面

°°

的一�条直线上4，5则,�玉皇顶的高度AB为（）��15

A．1030米B．1545米C．米D．米

【变式7-1】（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了1测5量45两2山顶，间的距10离3，0飞2机沿水平方向在，两点

进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如�图2�所示．已知，��，

∘∘

�，���，，则（）∠𝐴�=30∠���=45

∘∘

∠���=60∠𝐴�=90𝐴=25��=

A．B．C．D．10

【变式7-52】（3−20125·河南南阳5·一2模）如图，a是海面5上3一+条1南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个

水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标

P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播

速度是1.5km/s.

(1)设A到P的距离为xkm，求x的值；

(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）.

【变式7-3】（2025·安徽合肥·三模）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处

����

的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且

∠���=30°45km/h�∠𝐴�=45°

.

3

cos∠�𝐴=−3

(1)求此山的高的值；

(2)求该车从到��行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．

���

【题型8几何图形中的计算】

【例8】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，

∘∘∘

，则的长为（）𝐴��∠�𝐴=∠���=45∠���=30∠���=15

𝐴=55��

A．B．C．D．

【变式8-51】（32025·山东聊城5·二5模）如图，在平面四1边0形3中，105，记

°

与的面积分别为，则的值为（）𝐴��𝐴=��=2,∠�=2∠�=120△𝐴�

△����1,�2�2−�1

A．2B．C．1D．

3

2

【变式8-2】（2025·山西吕梁3·模拟预测）如图，内一点满足，，．

△𝐴��𝐴⊥��𝐴=��=2��=6

(1)若，求的值；

(2)若��=2，sin求∠𝐴的�长．

1

sin∠𝐴�=8��

【变式8-3】（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，

222

，．𝐴��𝐴=��+��−��⋅��2𝐴=3����=3+

π

3∠���+∠���=∠�𝐴+∠���=2

(1)求的周长

(2)求四△边𝐴形�的面积．

𝐴��

【题型9解三角形与三角函数的交汇问题】

【例9】（2025·湖南益阳·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且.

cos��

△𝐴��,�,��,�,�cos�=2�−�

(1)求；

(2)若�，求的取值范围.

�=3�+�

【变式9-1】（2025·河北·模拟预测）在中，内角的对边分别为

.△𝐴��,�,��,�,�,�sin�−�sin�=2�−

(�1)s求in�；

�

(2)若，求的取值范围.

6−2

�=22�+�

注：.

11π6−2

sin12=4

【变式9-2】（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，

�sin�−sin�

△𝐴��=1�−�=

，.

(s1in)求(�+�)的�外≠接�圆半径；

(2)若△𝐴�为锐角三角形，求周长的取值范围.

△𝐴�△𝐴�

【变式9-3】（2025·北京·三模）已知函数的最小正周期为.

2

(1)求的值；�(�)=23sin��cos��+2cos��,(�>0)π

�

(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件

π

△𝐴��(�)0,2

②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件

②：；条件③：�−的�面积为，且�cos�+注�：co如s�果=选2择�c多os个�条件分

S222.

3�+�−�

别解2答�，sin按�c第os一�个+条�s件in2计�分=.3�△𝐴��=4

考点一解三角形

一、单选题

1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（）

A．B．△𝐴�C�．�=2��=1+3D．𝐴=6�=

45°60°120°135°

2．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则

°29

（）△𝐴��,�,��,�,��=60�=4��sin�+

sin�=

A．B．C．D．

373

2222

3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，

�