2026年高考数学复习系列（全国）专题5.4 三角函数的图象与性质（解析版）

专题5.4三角函数的图象与性质（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1求三角函数的定义域、值域（最值）】...................................................................................................1

【题型2三角函数的图象识别与交点问题】...........................................................................................................3

【题型3三角函数图象变换问题】...........................................................................................................................6

【题型4由部分图象求函数的解析式】...................................................................................................................8

【题型5三角函数的单调性问题】.........................................................................................................................11

【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】.............................................................................14

【题型7三角函数的零点问题】.............................................................................................................................16

【题型8三角函数与三角恒等变换的综合应用】.................................................................................................18

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1求三角函数的定义域、值域（最值）】

1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，则函数在上的值域为（）

πππ

��=2cos6−2���−12,2

A．B．

C．−3,1D．−3,2

【答案】B−1,2−2,2

【解题思路】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域.

【解答过程】因为，所以，则，

πππ5πππ3

�∈−12,26−2�∈−6,3cos6−2�∈−2,1

所以.

π

��=2cos6−2�∈−3,2

故选：B.

2．（2025·山西·模拟预测）设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则

π7π

（）��=sin2�6,12���−�=

A．2B．C．D．

32−31+3

【答案】B222

【解题思路】由正弦函数的性质，即可得到结果.

【解答过程】若，则，

π7ππ7π

由正弦函数的性�质∈可6知,12，2�∈3,6

当时，函数取得最小值，即，

71

2�=6π�=−2

当时，函数取得最大值，即，

π

2�=2�=1

所以.

3

�−�=2

故选：B.

3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（）

ππ2π

��=−cos�+6,�∈−3,3

A．B．C．D．

113131

【答案】C−2,2−2,2−1,2−2,1

【解题思路】首先求的范围，再根据余弦函数的性质求值域.

π

�+6

【解答过程】因为，所以，则，

π2πππ5π�3

�∈−3,3�+6∈−6,6cos�+6∈−2,1

故的值域为．

3

故选��：C.−1,2

4．（2025·河南·二模）若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（）

A．B．��=sin���C>．0π,2πD．�

0,2∪2,30,3∪3,20,4∪2,40,4∪2,4

【答案】D

【解题思路】由题设在上没有最小值，结合正弦函数图象的性质列不等式求参数范围.

【解答过程】由�=sin，�则�π,2�π且，

所以在�∈π,2π上没有�=最�小�值∈，�π,2�π�>0

若�=sin��π,2�，π可得，

3π3

0<�π<2�π≤20<�≤4

若且，可得，，

3π7π37

2+2�π≤�π<2�π≤2+2�π�∈N2+2�≤�≤4+��∈N

所以，

37

2≤�≤4

综上，.

337

�∈0,4∪2,4

故选：D.

【题型2三角函数的图象识别与交点问题】

5．（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（）

π

�∈[0,2π]�=sin2��=2sin(2�−4)

A．3B．4C．6D．8

【答案】B

【解题思路】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.

【解答过程】作图像，列表：

�=sin2�

π3π5π7π

2�0π2π3π4π

2222

0

ππ3π5π3π7π

�π2π

424424

0100100

sin2�−1−1

作图像，列表：

π

�=2sin(2�−4)

πππ3π5π7π15π

2�−−0π2π3π

4422224

0

π3π5π7π9π11π13π15π

�2π

88888888

020020

2sin(2�

π−2−2−2−2

−)

在4同一坐标系中画出图形，如下图所示，

则两个函数在上有4个交点.

故选：B.[0,2π]

6．（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（）

�−�

��=−�+e+esin�−3.2,3.2

A．B．

C．D．

【答案】A

【解题思路】根据函数的奇偶性以及函数值的正负即可排除求解.

【解答过程】由于，

−���−�

故为奇函数，�其−图�象=关�于+原e点对+称e，s此in时−可�排=除−C−D�,+e+esin�=−��

又��，故排除B，

3.2−3.2

∵sin3.2<0,∴�3.2=−3.2+e+esin3.2<0

故选：A.

7．（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线与直线的交点个数为（）

π

�=2cos2�+2�=�−1

A．3B．4C．5D．6

【答案】A

【解题思路】作出与的大致图象，由图象即可判断交点个数.

π

�=2cos2�+2�=�−1

【解答过程】，，

3ππ3π3ππ3π

2cos2×−4+2=−2>−4−12cos2×4+2=2>4−1

，

7ππ7π

2cos2×4+2=2<4−1

作出与的大致图象，易知共有3个交点.

π

�=2cos2�+2�=�−1

故选：A.

8．（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（）

5�cos�

�

��=e+sin�

A．B．

C．D．

【答案】D

【解题思路】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，B，即可求解.

π

�∈0,2��>0

【解答过程】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，

5�cos�

�

��=e+sin�(−∞,+∞)

且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对

5−�cos−�−5�cos�

−��

−�e+−�e��

称，�排除=C；sin=−sin�=−��

又由当时，排除A，B;

π

�∈0,2��>0

故选：D．

【题型3三角函数图象变换问题】

9．（2025·广东广州·模拟预测）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

π

��=sin4�+3

坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（）

π

6

A．B．C．D．

π2π

�=sin2�+3�=cos2��=sin2�+3�=−sin8�

【答案】C

【解题思路】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解.

【解答过程】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

π

��=sin4�+3

得到图象对应的函数解析式为，

1ππ

�=sin2×4�+3=sin2�+3

再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为

π

6

.

ππ2π

�=sin2�+6+3=sin2�+3

故选：C．

10．（2025·河北石家庄·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数

ππ

的图象，则函数图象的一个对称中�心�是=（sin）2�+3+312��

A．��B．C．D．

ππππ

−12,3−12,06,36,0

【答案】A

【解题思路】根据乳香的平移变换可得函数的解析式，利用整体代换法即可求解函数图象的对称中

心.����

【解答过程】由题知.

ππππ

��=��−12=sin2�−12+3+3=sin2�+6+3

令，解得，∴函数图象的对称中心.

ππ�ππ�π

2�+6=�π,�∈Z�=−12+2,�∈Z��−12+2,3,�∈Z

∴当时，为函数图象的一个对称中心.

π

�=0−12,3��

故选：A.

11．（2025·湖南永州·模拟预测）2025年“九三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简

·

谐振动表示为.将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图

ππ

象，则函数�的�解=析co式s为2�（+6）��6��

A．��B．

π

��=cos2���=cos2�+3

C．D．

π

��=cos2�−6��=−sin2�

【答案】C

【解题思路】根据函数的平移求解即可.

【解答过程】由题意，可得.

πππ

��=cos2�−6+6=cos2�−6

故选：C.

12．（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数，将图象上所有的点向左平移

ππ2

个单位长度后得到的曲线关于轴对称�，�则下=列sin结论2�正+确�的是�（≤4）�=��3

A．在上为增�函数

B．�=��0,1

π

�=8

C．在上有两个零点

D．�=��在−1,2上有无数个零点

【答案】C�=��−1,2

【解题思路】通过平移后的对称性确定，进而得到，再结合选项逐个判断即可.

πππ

�=6��=sin2�+6

【解答过程】向左平移个单位长度可得：，

π2ππ

因为得到的曲�线�关=于sin轴对2�称+，�3��=sin2�+3+�

所以，�，又，

πππ

3+�=2+�π�∈Z�≤4

所以取，可得，B错，

π

�=0�=6

所以，

ππ

��=sin2�+6

对于A：因为，

2π2ππ

�3=sin2×3+6=sin2=1

所以的图象关于对称，所以在上不单调，A错误；

2

���=3��0,1

对于C，由得函数的零点为，

ππ1

2�+6=�π���=2�−3,�∈�

令，解得，

117

−1<2�−3<2−3<�<6

所以，即在上有两个零点，C正确；D错误，

故选：�=C.0,1��−1,2

【题型4由部分图象求函数的解析式】

13．（2025·山西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，A，B

分别是相邻的最高点与最低点，直线A�B�的方=程3c为os��+��>，0,则0<�<（2π）

�=−2�+10��=

A．B．

π�ππ�5π

3cos4+43cos3+6

C．D．

π�π�7π

−3cos23cos3+6

【答案】B

【解题思路】由题意可得的坐标，即可得到函数周期，从而可得，再将点的坐标代入，即可得到.

【解答过程】因为是最高�点,�，所以，将代入直线方程��，可得，�

7

���=3�=3�=−2�+10�=2

所以，

7

�2,3

因为是最低点，所以，将代入直线方程，可得，

13

���=−3�=−3�=−2�+10�=2

所以，

13

�2,−3

则，则，

1372π2ππ

�=22−2=2×3=6�=�=6=3

所以，

π

��=3cos3�+�

将代入，可得，

7ππ7

�2,3��=3cos3�+�3=3cos3×2+�

即，所以，解得，

777

cos6π+�=16π+�=2�π,�∈Z�=−6π+2�π,�∈Z

又，当时，，

5

0<�<2π�=1�=6π

所以.

π�5π

��=3cos3+6

故选：B.

14．（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数

来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）�(�)=�sin(��+�)(�>0,�>0,|�|<π)

A．函数的图象关于点成中心对称

π

�(�)6,0

B．函数的解析式可以为

2π

�(�)�(�)=2cos2�−3

C．函数在上的值域为

�(�)[0,π][0,2]

D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是

ππ

�(�)12�=2sin2�+12

【答案】B

【解题思路】利用图像求出函数的解析式，对于A代入解析式即可判断，对于B利用诱导公式即可判断，

��

对于C利用，得，即可求得的值域，进而即可判断，对于D利用图象的变

ππ11π

�∈0,π2�−6∈−6,6��

换即可判断.

【解答过程】由图可知，所以，

3�32π3π13ππ3π

�=2,4=4⋅�=2�=12−3=4�=π,�=2

且，所以，

πππ

2×3+�=2+2�π,�∈Z�=−6+2�π,�∈Z

又因为，所以只能，所以，

ππ

|�|<π�=0,�=−6�(�)=2sin2�−6

对于A，，故A错误；

ππππ

�6=2sin3−6=2sin6=1≠0

对于B．，故B正确；

πππ2π2π

�(�)=2sin2�−6=2cos2−2�−6=2cos3−2�=2cos2�−3

对于C，，故C错误；

ππ11ππ

0≤�≤π⇒−6≤2�−6≤6⇒−1≤sin2�−6≤1⇒��∈−2,2

对于D，若把图象上所有点右平移个单位，则所得函数是，

πππ5π

�(�)12�=2sin2⋅�−12−6=2sin2�−12

故D错误．

故选：B.

15．（2025·陕西咸阳·二模）已知函数（，）的部分图象如图所示，则

2025π

（）��=�sin��+��>0�>0�2=

A．B．C．D．

【答案】D1−13−3

【解题思路】根据图象，依次求出，得到函数的解析式，代值计算即可.

【解答过程】由图易知，函数�的,�最,�小正周期满足：，得到，

3�13ππ3π

�=2�4=12−3=4�=π

又，所以，解得，

2π

�>0�=π�=2

又函数图象经过点，则有，解得，

13�13ππ5π

(12,2)2×12+�=2+2�π,�∈Z�=−3+2�π,�∈Z

所以，则，

5π2025π5π

��=2sin2�−3�2=2sin2025π−3=−3

故选：D.

16．（2025·四川自贡·三模）已知函数的部分图象如图所示，下

π

列说法正确的是（）��=�sin��+��>0,�>0,�<2

A．函数的图象关于直线对称

π

�=���=−6

B．函数的图象关于点对称

5π

�=��−12,0

C．函数在上单调递减

2ππ

�=��−3,−6

D．当时，

π

�∈0,4��∈1,2

【答案】D

【解题思路】根据函数图象，求出函数的解析式，代入检验法可判断；根据正弦函数的单调性可判断

，根据三角函数的值域可判断.�(�)AB

【C解答过程】由图知，D，

�πππ

�=24=3−12=4

所以，解得，

2π

�=�=π�=2

过点，所以，

ππ

�(�)12,22sin(2×12+�)=2

即，又，所以，

πππ

sin(6+�)=1�<2�=3

所以，

π

�(�)=2sin2�+3

对于：，

πππ

A�(−6)=2sin−3+3=0

所以函数的图象关于点对称，故错误；

π

�=��−6,0A

对于：，

5π5ππ

B�(−12)=2sin−6+3=−2

所以函数的图象关于直线对称，故错误；

5π

�=���=−12B

对于：，

ππ3π

C2+2�π≤2�+3≤2+2�π,�∈Z

，

π7π

6+2�π≤2�≤6+2�π,�∈Z

所以，

π7π

12+�π≤�≤12+�π,�∈Z

取，得，

11π5π

�=−1−12≤�≤−12

函数在上单调递减，故错误；

2π5π

�=��−3,−12C

对于：，所以，所以，

ππππ5π

D�∈0,42�∈0,22�+3∈3,6

所以，所以，故正确.

π1

sin(2�+3)∈2,1�(�)∈1,2D

故选：D.

【题型5三角函数的单调性问题】

17．（2025·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（）

πππ

��=sin��+6�>0−6,4�

A．B．C．D．

24244

0,30,33,33,2

【答案】B

【解题思路】先根据题意求出，再根据求出

12ππ

0<�≤5−6≤�≤4

，再根据的范围约束出和范围，最后结合正弦函数图象即可求

πππππππππ

−6�+6≤��+6≤4�+6�−6�+64�+6

出的范围.

【解�答过程】由题意可知，则，

πππ12

4−−6≤�0<�≤5

因，则，

πππππππ

−6≤�≤4−6�+6≤��+6≤4�+6

则，，

7πππππππ23π

−30≤−6�+6<66<4�+6≤30

因在上单调递增，

ππ

��−6,4

结合正弦函数图象性质可得，解得，

ππππ4

6<4�+6≤20<�≤3

故的取值范围是.

4

�0,3

故选：B.

18．（2025·山东·三模）已知函数，则（）

22

A．在上单调递减�(�)=sin�B−．cos�在上单调递减

ππππ

�(�)(−2,6)�(�)(−4,12)

C．在上单调递增D．在上单调递减

ππ7π

�(�)(0,3)�(�)(4,12)

【答案】C

【解题思路】利用二倍角的余弦公式，结合余弦函数的单调性逐项分析判断.

【解答过程】依题意，函数，

�(�)=−cos2�

对于A，因为，，则，

ππ3π

�(0)=−cos0=−1�(12)=−cos6=−2�(0)<�(12)

所以在上不是单调递减函数，A错误；

ππ

�(�)(−2,6)

对于B，因为，，则，

πππ

�(0)=−cos0=−1�(24)=−cos12>−1�(0)<�(24)

所以在上不是单调递减函数，B错误；

ππ

�(�)(−4,12)

对于C，当时，，余弦函数在上单调递减，

π2π2π

�∈(0,3)2�∈(0,3)�=cos�(0,3)

因此在上单调递增，C正确；

π

�(�)(0,3)

对于D，因为，，则，

π2π1πππ

�(3)=−cos3=2�(2)=−cosπ=1�(3)<�(2)

所以在上不是单调递减函数，D错误.

π7π

�(�)(4,12)

故选：C.

19．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最

10π2π5π

大值为（）��=2cos��+3�>03,3�

A．B．2C．D．

235

553

【答案】A

【解题思路】根据余弦函数单调性计算求解参数即可得出最大值.

【解答过程】由题，

π

��=−2cos��+3

因为在区间内单调递增，

2π5π

��3,3

所以在区间内单调递减，

π2π5π

�=2cos��+3�>03,3

所以2ππ，，

3�+3≥2�π,

5ππ�∈Z

3�+3≤2�π+π,

解得，，

162

3�−2≤�≤5�+5�∈Z

又，所以只有当时，不等式有解，解集为，

2

�>0�=0�0<�≤5

所以的最大值为.

2

�5

故选:A.

20．（2025·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数

π

�=sin2�+�0<�<π6�=

的图象，直线为的图象的一条对称轴，则函数的一个单调递增区间是（）

π

���=4�=����

A．B．C．D．

ππππππ3π

−4,4−3,30,23,4

【答案】D

【解题思路】先求出，再利用对称轴求出，令求出的单调递

2�π3π

���=32+2�π≤2�≤2+2�π,�∈Z��

增区间，再赋值即可.

【解答过程】由题意可得，，

ππ

��=sin2�+6+�=sin2�+3+�

因为的图象关于直线对称，

π

���=4

所以，

ππππ

�4=sin2+3+�=cos3+�=±1

则，即，

ππ

3+�=�π,�∈Z�=−3+�π,�∈Z

又，所以，则，