2026年高考数学复习系列（全国）专题5.3 三角函数的图象与性质（讲义）（试题版）

专题5.3三角函数的图象与性质（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，其中三角函数的图象

变换以及三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系是高考考

察的重心。从近几年的高考情况来看，三角函数的图象与性质为核心高频考

命题规律点，考查形式稳定且层次分明。

选择题、填空题聚焦三角函数的图象与性质、图象变换（平移、伸缩）、

分析解析式确定，题型基础，难度偏低；解答题中多与三角函数的性质应用结合，

涉及单调区间、最值、值域、参数求解，常融入三角恒等变换、解三角形模

块进行考察，凸显知识关联性，难度中等或偏下，二轮复习时需要充分掌握

三角函数的图象与性质，学会灵活求解。

高考真题考点2023年2024年2025年

新课标卷：第题，

统计I15

5分

新课标Ⅱ卷：第16题，新课标I卷：第7题，

5分5分

全国甲卷（文数）：新课标Ⅱ卷：第6题，全国一卷：第4题，5

三角函数的第12题，5分5分分

图象与性质全国甲卷（理数）：新课标Ⅱ卷：第9题，全国二卷：第15题，

第10题，5分6分13分

全国乙卷（文数）：全国甲卷（文数）：

第10题，5分第13题，4分

全国乙卷（理数）：

第6题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，三角函数的图象与性质的考情将继

续维持稳定态势。大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定

2026年在5分左右；也有可能在解答题中考查。选择、填空题核心考点聚焦三角函

数的图象交点问题、三角函数的性质问题以及图象变换问题，难度不大；在

命题预测解答题中主要考查三角函数的性质应用或与其他知识（如：解三角形、导数

等）结合考查，此时难度中等，侧重三角函数性质的熟练运用，考查数形转

化与知识综合运用能力。

知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略

1．三角函数的定义域的求解思路

求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.

2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：

(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).

知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略

1．三角函数周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=

kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)

（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.

(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），

求x即可.

3．三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0

则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).

知识点3三角函数的单调性问题的解题策略

1．三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需

把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.

2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调

区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，

利用特值验证排除法求解更为简捷.

知识点4三角函数的图象变换问题

1．三角函数的图象变换问题的求解方法

解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：

(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；

(2)变同名：函数的名称要变得一样；

(3)选方法：即选择变换方法.

知识点5由部分图象确定函数解析式的解题方法

1．由部分图象确定函数解析式的方法

由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，

常用如下两种方法：

(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离

原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.

(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，

ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.

知识点6三角函数图象、性质的综合应用的解题策略

1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧

研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.

2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略

函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.

3．三角函数模型

三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问

题，利用三角函数的有关知识解决问题.

【方法技巧与总结】

1．对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴

之间的距离是个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.

2．与三角函数的奇偶性相关的结论

(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).

(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z).

(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).

3．三角函数的图象变换规律

(1)函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.

(2)由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.

【题型1求三角函数的定义域、值域（最值）】

【例1】（2025·重庆·模拟预测）已知函数的图象关于对称，则的最大值为（）

π

��=sin�+�cos��=6��

A．B．C．D．2

23

323

【变式1-1】（2025·河北·模拟预测）函数在上的值域为（）

ππ

��=4cos�sin�−60,2

A．B．C．D．

−2,1−3,1−2,0−1,1

【变式1-2】（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域

2

是（）0,2π��=1−2cos�+lnsin�−2

A．B．

ππ3π5π

4,34,3

C．D．

π3πππ

3,44,3

【变式1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则

π2π

��=3cos��+6�>03��

在上的最大值为（）

ππ

−6,6

A．1B．C．2D．3

3

2

【题型2三角函数的图象识别与交点问题】

【例2】（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（）

�(�)=cos�+2cos2�+3cos3�

A．B．

C．D．

【变式2-1】（2025·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（）

π

�∈0,2π�=sin��=3sin2�−4

A．3B．4C．5D．6

【变式2-2】（24-25高一下·四川成都·月考）函数部分图象是（）

1

�=sin�−�

A．B．

C．D．

【变式2-3】（2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（）

�

��=2sin2�+6��=log2�

A．B．C．D．

3567

【题型3三角函数图象变换问题】

【例3】（2025·安徽·二模）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，

π

6

需要将函数的图象（）��=sin2�+�cos2��=2cos2�

A．向左�平=移��个单位长度B．向左平移个单位长度

5π5π

126

C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度

ππ

126

【变式3-1】（2025·新疆·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后

得到函数的图象.若与的图象关�于�点=3si对n2称�，+则cos2的�最小值为（）��>0

π

������8,0�

A．B．C．D．

π5ππ7π

1212612

【变式3-2】（2025·四川泸州·一模）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐

π

�=sin2�+3

标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（）

π

3

A．B．

π

�=−sin4��=sin�−6

C．D．

2π

�=sin�+3�=sin�

【变式3-3】（2025·河北邢台·三模）已知函数的图象过点，将的图象向右

平移个单位长度后，得到函数的图象，�则(�)=的sin图2象�+的�对co称s2轴�为（）(0,3)�(�)

π

12�(�)�(�)

A．，B．，

π�ππ�π

�=3+2�∈Z�=6+2�∈Z

C．，D．，

5π13π

�=6+�π�∈Z�=12+�π�∈Z

【题型4由部分图象求函数的解析式】

【例4】（2025·江苏淮安·模拟预测）函数的图像如图所示，

��=�sin��+��>0,�>0,�∈0,2π

则（）

��=

A．B．

1π1π

3sin4�+43sin4�−4

C．D．

ππππ

3sin4�+43sin4�−4

【变式4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数的图象向左平移

得到的图象，其中点A是图象上的最�高�点=，4sin�分�别+�是�>，0,|�|的<图π象与x轴的相邻

交点（�如�图=所4s示in）��，若，��的面积为10，则�,�（）����

|��|=|��|△�����=

A．B．

π5ππ5π

4sin6�−64sin6�+6

C．D．

ππππ

4sin3�−34sin6�−3

【变式4-2】（2025·江西吉安·模拟预测）如图函数的图象过点

π

��=�sin��+��,�>0,�<20,−

三点，则的值为（）

ππ

1,6,1,2,1�

A．B．1C．2D．3

1

2

【变式4-3】（2025·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象

π

��=�sin��+��>0,�>0,0<�<2

如图所示，关于该函数有下列四个说法：

①在区间上单调递减

π7π

��12,12

②的图象可由的图象向左平移个单位得到

π

���=2sin2�6

③的对称轴为

5π

���=12+�π�∈Z

④在区间上的最小值为

π

以上��四个说法中0,，2正确的个数为−（3）

A．1B．2C．3D．4

【题型5三角函数的单调性问题】

【例5】（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为

ππ

（）��=sin��−4�>0,��0,4�

A．B．3C．2D．

57

22

【变式5-1】（2025·陕西汉中·三模）函数的一个单调递减区间为（）

π

��=cos2�−6

A．B．C．D．

π3ππ7ππ5π

2,20,π12,123,6

【变式5-2】（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围

ππ3π

为（）�(�)=cos��+6(�>0)2,2�

A．B．C．D．

5555

9,19,10,90,9

【变式5-3】（2025·湖南·一模）下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（）

��

��6,4

A．B．

C．��=sin�+1D．��=sin2�+2

��=cos3�+3��=cos4�+4

【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】

【例6】（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（）

A．B．π

22

�=sin��=cos�−sin�

C．D．

πsin2�

�=cos2−��=1+cos2�

【变式6-1】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，则下列结论不正确的是（）

A．是偶函数B．��的=单s调in递π增−区co间s�为

����2�π−π,2�π�∈�

C．是周期为的周期函数D．的图象关于点对称

π

��π��2,0

【变式6-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数的图象与直线的两

个相邻交点之间的距离为，且为奇函数�，�则=ta的n最�小�+值�为（�>）0,�>0�=�

ππ

2��+12�

A．B．C．D．

ππ2π5π

6336

【变式6-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离

π

��=sin��+3�>0

为，则（）

π2π

2,��=sin2�+3

A．的最小正周期为2

��π

B．的图象关于点对称

2π

��3,0

C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象

π

��3��

D．与的图象关于轴对称

�����

【题型7三角函数的零点问题】

【例7】（2025·陕西榆林·模拟预测）设函数在区间上恰有2个极值点､1个零点，则的取

值范围是（）��=sin��0,π�

A．B．

33

2,22,2

C．D．

3333

−2,−2∪2,2−2,−2∪2,2

【变式7-1】（2025·辽宁·模拟预测）设，已知函数在区间内恰有2025个零点，

则（）�>0��=sin�sin�0,π

�A=．B．C．D．

【变式7-120】1（0π2025·湖南益阳10·1三1模π）函数1012π在10内13的π零点之和为（）

�(�)=cos2�−sin�(−2π,2π)

A．B．C．D．0

π

−π−2π−2

【变式7-3】（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的

π

�(�)=sin�3

每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有

1π

两个零点，则的取值范围为（）�(�>0)�(�)�(�)0,2

A．�B．C．D．

814714813713

3,33,33,33,3

【题型8三角函数与三角恒等变换的综合应用】

【例8】（2025·四川德阳·模拟预测）已知函数，，则的最大值与最小正周期分

别为（）��=2sin�+cos��∈R��

A．3，B．3，C．，D．，

【变式8-1】（2π2025·四川自贡·一π模）若函数52π5满足π，且在

π

没有零点，则的最大值为（）�(�)=3sin��+cos��(�>0)�(�+π)=�(�)(0,6)

A．4�B．5C．6D．7

【变式8-2】（2025·河北·一模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到

π

的图象关于轴对称，则的最小值为（��）=sin��+3cos��(�>0)3

A．�B�．C．D．

7531

2222

【变式8-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数的最小正周期为，最

小值为，则（）��=sin��+�⋅cos��(�>0,�>0)π

A．−2的图象关于直线对称

π

���=−4

B．的图象关于点对称

π

��−4,0

C．先将上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位可得到

π

的图象�=2sin�8��

D．先将向左平移个单位，再将图象上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变可得

π

的图象�=2sin�8��

考点一三角函数的图象与性质

一、单选题

1．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a

π

的最小值为（）(�,0)(�>0)�=2tan�−3

A．B．C．D．

πππ4π

6323

2．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在

π

上存在零点，则的最小值为（）�(�)=sin��+cos��(�>0)�(�+π)=�(�)�(�)0,4

A．8�B．6C．4D．3

3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（）

�

�∈[0,2�]�=sin��=2sin3�−6

A．3B．4C．6D．8

4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲

2

线与恰有一个交点，则�(�（)=�）(�+1)−1�(�)=cos�+2���∈(−1,1)

�A=．�(�)�=�(�)B．�=C．1D．2

1

−12

5．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得

ππ

�=���=cos2�+