2026年高考数学复习系列（全国）专题4.3 平面向量基本定理及坐标表示（讲义）（试题版）

专题4.3平面向量基本定理及坐标表示（举一反三复习讲义）

【全国通用】

1、平面向量基本定理及坐标表示

平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容。从近几年的高考情

命题规律况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要

以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何

分析结合出现在综合性大题中，难度中等。在高考复习过程中应注意加强对平面

向量基本定理、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，

灵活进行求解。

考点2023年2024年2025年

高考真题新课标I卷：第3题，

5分新课标I卷：第3题，全国一卷：第6题，5

平面向量基

全国乙卷（文数）：5分分

统计本定理及坐

第6题，5分全国甲卷（理数）：全国二卷：第12题，

标表示

全国甲卷（文数）：第9题，5分5分

第3题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，平面向量基本定理及坐标表示的考

2026年情将继续维持稳定态势，大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分

值稳定在5分左右。核心考点聚焦向量数量积的坐标运算、向量的模长与夹

命题预测角的坐标运算、以及平行与垂直关系的坐标运算，难度不大；也可能结合实

际情境（如速度、位移等）考查，要灵活求解。

知识点1平面向量基本定理及其解题策略

1．平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，

使.若不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有�向量的一个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可

以用平面内任意不共线的两个向量线性表�示，这就是平面向量基本定理的实质.

2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：

用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都

是唯一的.

知识点2平面向量坐标运算及其解题策略

1．平面向量线性运算的坐标表示

(1)两个向量和（差）的坐标表示

由于向量，等价于，，所以

，即.同理可得.

这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

(2)向量数乘的坐标表示

由=(x,y)，可得，则，即.

这就�是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

2．平面向量数量积的坐标表示

(1)平面向量数量积的坐标表示

由于向量，等价于，，所以

.又，，，所以

.

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

(2)平面向量长度（模）的坐标表示

若，则或.

其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.

如果表示向量的�有向线段的起点和终�点的坐标分别为，，那么，

�.

3．平面向量位置关系的坐标表示

(1)共线的坐标表示

①两向量共线的坐标表示

设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标

�

表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量共

�

线的充要条件是.

②三点共线的坐标表示

若，，三点共线，则有，从而，

即，

或由得到，

或由得到.

由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.

(2)夹角的坐标表示

设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得

���

.

(3)垂直的坐标表示

设，，则.

即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.

4．平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，

则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.

【方法技巧与总结】

1．若与不共线，且，则.

2．已知�P�为线段AB的中点，若A()，B()，则P点坐标为.

3．已知△ABC的重心为G，若A()，B()，C()，则G.

【题型1用基底表示向量】

【例1】（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（）

A．△𝐴��B�．=���=���=3��𝐵��

133

4�+4��+4�

C．D．

1131

4�+4�4�+4�

【变式1-1】（2025·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（）

2

△𝐴��𝐴��=3����=

A．B．

1251

−6��+3��6��+3��

C．D．

1212

6��+3��6��−3��

【变式1-2】（2026·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，和DF交于点，若

11

32

，则（）��=−𝐴,��=��,���

𝐴=A．�,𝐵=���B=．C．D．

53643735

8�+8�7�+7�8�+8�7�+7�

【变式1-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在中，点D为边上一点，且，设，

1

3

，则（）△𝐴�����=��𝐴=�

��=A．�B．

1221

��=3�−3���=3�+3�

C．D．

1221

��=3�+3���=3�−3�

【题型2利用平面向量基本定理求参数】

【例2】（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，

则（）△𝐴���=3����=���+���

�+A．�=B．C．D．

1235

2346

【变式2-1】（2025·湖南·三模）在中，点是线段上一点，若，，则实

13

44

数（）△𝐴������=𝐴�𝐵=𝐴+��

�=A．B．C．D．

1123

4334

【变式2-2】（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接

→→→

交于O，若，则（）𝐴𝐵��+3��=0���

𝐵A．1��=��B�．�=C．D．

342

433

【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，

则（）△𝐴�4��+3��=0��=���+����,�∈�

�+A．2�1=B．C．D．2

710

57

【题型3向量共线（平行）的坐标表示】

【例3】（2026·广西·模拟预测）已知平面向量，，若，则（）

A．B．C�．=11,��=3,2�+D2．2�//2�+��=

【变式3-−1】2（2026·四川遂宁−1·一模）已知平面向量与平行，则的值为（）

A．1B．C．4�=(−1,2)�=D(�．,−2)�

【变式3-2】（2025·全国·模−拟1预测）已知向量，若与−4同向共线，则为（）

A．B．�C．=2,�,�=�,3D�．0��

6−6±6

【变式3-3】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，

→→→

则（）�=(1,2),�=(1,0),�=(3,4)�(�+��)//�

�=A．1B．2C．D．

11

32

【题型4平面向量数量积的坐标表示】

【例4】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知向量，则（）

A．2B．1C．�0=(0,1),�=(1,0)D．�⋅(�−�)=

【变式4-1】（2025·浙江杭州·一模）设向量.若−1，则（）

A．2B．3�=C．24,�,�=2+�,2�D．�5⋅2�−�=0�=

【变式4-2】（2025·广西来宾·模拟预测）已知向量，则（）

A．1B．0C．-�1=(1,2),�=(−D2．,3)-2�⋅(�−�)=

【变式4-3】（2026·河北沧州·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚

度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三

个固定顶点，则（）�, �, �

��⋅��=

A．12B．C．16D．

123163

【题型5平面向量夹角、模长的坐标表示】

【例5】（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与

2

的夹角为（）�=1,2�=5−2�,��−2�=−5,0��

A．B．C．D．

ππ3π5π

6446

【变式5-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知向量，，若，则（）

A．B．C．5�=1,2�=2,D�．20�∥��=

【变式5-2】5（2025·山东泰安2·模5拟预测）已知向量，若的夹角为锐角，则实数的取

值范围是（  ）�=(1,2),�=(�,4)�,��

A．B．且C．D．

【变式5-�3】>（−28025·辽宁鞍山�·>模−拟8预测�）≠已2知向量�<−8�，若≠2，则的值为（）

A．10B．C．�=2,−1,�=�D,．2�⊥��−�

353210

【题型6向量垂直的坐标表示】

【例6】（2025·广东·模拟预测）已知向量，，且与垂直，则（）

A．B．�=C2．,−5�=1,2D2．�−��+���=

311223

4772

【变式6-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则

（）�=�−1,1,�=2,��−�⊥�+��=

A．B．C．1D．2

【变式6-−2】2（2025·广西柳州−1·一模）设向量，，则（）

A．“”是“”的必要条件�=B．�“+2,�”是�“=�,1”的必要条件

C．“�=−1”是“�∥�”的充分条件D．“�=−”3是“�⊥”�的充分条件

【变式6-3�】=（−22025·湖�北∥武�汉·模拟预测）已知向量�=0，�⊥�，若，则（）

A．B．C．�=1,2�=2,1D．(��+��)⊥(2�−�)

2�−�=02�+�=0�−2�=0�+2�=0

【题型7由向量的坐标运算解决最值和范围问题】

【例7】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部

或边界上一点，则的最大值为（）𝐴𝐵𝐴=2����𝐴𝐵

A．��⋅B�．�C．D．2

37

124

【变式7-1】（2025·湖北·模拟预测）已知，，点，为坐标原点，则

21

��=��=3��=32�4,2�3��+3��

的最小值是（）

A．B．C．D．

525

【变式7-23】（2025·江苏·模拟3预测）在平面四边形5中，45，点M在边

（含端点）上运动，设，则的𝐴取�值�范围�是�（⊥�）�,𝐵⊥𝐵,𝐵=2𝐴��

A．�B�．=���+����C+．�D．

【变式7-[31】,5（]2025·新疆辽宁[2·,4一]模）等腰梯形ABC[1D,3中]，AB平行于CD，[1,4]，，，P

π

𝐴=2𝐵=1∠�𝐴=4

为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（）

A．B．1��⋅𝐴C．D．

3

322

考点一平面向量基本定理及坐标表示

一、单选题

1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在

航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船

行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的

对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度

代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（）

级数名称风速大小（单位：m/s)

2轻风1.6~3.3

3微风3.4~5.4

4和风5.5~7.9

5劲风8.0~10.7

A．轻风B．微风C．和风D．劲风

2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（）

A．B．�=C(．0,1),�=(2,�)�D⊥．(�2−4�)�=

3．（20−224·全国甲卷·高考真−题1）设向量，则（）

A．“”是“”的必要条件�=�B+．1“,�,�=�,2”是“”的必要条件

C．“�=−”3是“�⊥”�的充分条件D．“�=1+3”是�“//�”的充分条件

4．（202�3=·新0课标�Ⅰ卷⊥·高�考真题）已知向量�=−1+3，若�//�，则（）

A．�=B．1,1,�=1,−1�+��⊥�+��

C．�+�=1D．�+�=−1

5．（20�2�3=·全1国乙卷·高考真题）正方形的边�长�是=−2，1是的中点，则（）

A．B．3𝐴𝐵C．�𝐴D．