2026年高考数学理科全国卷Ⅰ真题及答案详解

2026年高考数学理科全国卷Ⅰ真题及答案详解考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高二/二班

一、选择题

1.已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\(x=1\)时取得最小值，且\(f'(0)=2\)，\(f(0)=3\)。则\(a=\)__________，\(b=\)__________，\(c=\)__________。

2.在三角形\(ABC\)中，内角\(A,B,C\)的度数分别为\(60^\circ,70^\circ,50^\circ\)。则\(\sinA:\cosB:\tanC=\)__________。

3.设\(\{a_n\}\)是等差数列，首项\(a_1=1\)，公差\(d=2\)，则\(a_{10}=\)__________。

4.已知等比数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(b_1=2\)，\(b_2=4\)，则\(S_5=\)__________。

5.在平面直角坐标系中，点\(P(a,b)\)到点\(A(1,2)\)和\(B(3,4)\)的距离分别为\(d_1\)和\(d_2\)，则\(d_1-d_2=\)__________。

二、填空题

6.若\(a\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的一个根，则\(a+2\)的值为__________。

7.若\(\triangleABC\)的外接圆半径为\(R\)，\(a,b,c\)分别是边\(BC,CA,AB\)上的高，则有\(a^2+b^2+c^2=\)__________。

8.已知函数\(f(x)=x^3-3x\)，则\(f(x)\)的图像的拐点为__________。

9.若\(\{a_n\}\)是公差为\(d\)的等差数列，首项\(a_1=3\)，则\(a_4+a_6=\)__________。

10.若\(\{b_n\}\)是公比为\(q\)的等比数列，\(b_1=2\)，\(b_3=32\)，则\(q=\)__________。

三、多选题

11.以下选项中，属于函数\(f(x)=x^2-2x+1\)的图像特点的是：

A.凸函数

B.顶点为\((1,0)\)

C.与\(x\)轴只有一个交点

D.与\(y\)轴的交点坐标为\((0,1)\)

12.以下关于三角形\(ABC\)的说法正确的是：

A.\(\sinA+\sinB>\sinC\)

B.\(\cosA+\cosB>\cosC\)

C.\(\tanA+\tanB>\tanC\)

D.\(\sinA\cdot\sinB>\sinC\)

13.以下关于数列\(\{a_n\}\)的说法正确的是：

A.等差数列的通项公式为\(a_n=a_1+(n-1)d\)

B.等比数列的通项公式为\(a_n=a_1\cdotq^{n-1}\)

C.等差数列的前\(n\)项和为\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)

D.等比数列的前\(n\)项和为\(S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\)

四、判断题

14.函数\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=0\)处取得极大值。（）

15.在直角坐标系中，点\((1,-1)\)关于\(y\)轴的对称点为\((-1,1)\)。（）

16.三角形的外接圆半径等于其内切圆半径的两倍。（）

17.若\(a,b,c\)是等差数列，则\(a+b+c\)一定是\(3a\)的倍数。（）

18.等比数列的任意两项的乘积等于这两项的中间项的平方。（）

19.若\(\{a_n\}\)是公差为\(d\)的等差数列，则\(\{a_n^2\}\)也是公差为\(d^2\)的等差数列。（）

20.函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)处没有定义域。（）

21.若\(\{b_n\}\)是公比为\(q\)的等比数列，\(q=1\)时，数列\(\{b_n\}\)是常数列。（）

22.函数\(f(x)=x^2+1\)的图像是一个开口向上的抛物线。（）

23.在直角坐标系中，点\((2,3)\)到原点的距离是\(5\)。（）

24.若\(a,b,c\)是等差数列，则\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}=2\)。（）

25.等比数列的前\(n\)项和\(S_n\)在\(q=1\)时等于\(n\)。（）

五、问答题

26.请简述函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图像特点，并说明如何通过\(f'(x)\)判断函数的单调性。

27.已知\(\triangleABC\)的三边长分别为\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2=c^2\)，请证明\(\triangleABC\)是直角三角形。

28.设\(\{a_n\}\)是首项为\(a_1\)，公比为\(q\)的等比数列，请证明\(a_n=a_1\cdotq^{n-1}\)对所有\(n\)都成立。

试卷答案

一、选择题

1.解析：由\(f'(x)=2ax+b\)，得\(f'(0)=2\)，解得\(b=2\)。又因为\(f(1)=a+b+c\)为最小值，所以\(f'(1)=0\)，解得\(a=-1\)。代入\(f(0)=3\)，得\(c=4\)。答案：\(a=-1\)，\(b=2\)，\(c=4\)。

2.解析：根据正弦定理，\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)，所以\(\sinA:\sinB:\sinC=a:b:c\)。由\(\sin60^\circ:\sin70^\circ:\sin50^\circ=\sqrt{3}:\sin70^\circ:\sin50^\circ\)，答案：\(\sqrt{3}:\sin70^\circ:\sin50^\circ\)。

3.解析：等差数列的通项公式为\(a_n=a_1+(n-1)d\)，代入\(a_1=1\)，\(d=2\)，得\(a_{10}=1+9\cdot2=19\)。答案：19。

4.解析：等比数列的通项公式为\(a_n=a_1\cdotq^{n-1}\)，代入\(a_1=2\)，\(q=2\)，得\(a_5=2\cdot2^4=32\)。答案：32。

5.解析：根据两点间的距离公式，\(d_1=\sqrt{(a-1)^2+(b-2)^2}\)，\(d_2=\sqrt{(a-3)^2+(b-4)^2}\)，所以\(d_1-d_2=\sqrt{(a-1)^2+(b-2)^2}-\sqrt{(a-3)^2+(b-4)^2}\)。答案：\(\sqrt{(a-1)^2+(b-2)^2}-\sqrt{(a-3)^2+(b-4)^2}\)。

二、填空题

6.解析：由\(x^2-5x+6=0\)，解得\(x=2\)或\(x=3\)，所以\(a+2=4\)或\(a+2=5\)。答案：4或5。

7.解析：由正弦定理，\(R=\frac{a}{2\sinA}\)，\(R=\frac{b}{2\sinB}\)，\(R=\frac{c}{2\sinC}\)，所以\(a^2+b^2+c^2=4R^2\)。答案：\(4R^2\)。

8.解析：求导得\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=\pm1\)。代入\(f(x)\)，得拐点为\((1,-2)\)和\((-1,2)\)。答案：\((1,-2)\)和\((-1,2)\)。

9.解析：由等差数列的通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，得\(a_4=3+3d\)，\(a_6=3+5d\)，所以\(a_4+a_6=6+8d\)。答案：\(6+8d\)。

10.解