数学学习指导与能力训练（综合版）课件 拓展2.1数列的概念、2.2等差数列、2.3等比数列

2.1

数列的概念中等职业学校公共基础课程配套用书《数学》学习指导一能力训练（综合版）配套课件第二单元

数列（1）了解数列及有关概念，理解数列的通项公式.（2）了解等差数列的概念；了解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握等差数列的通项公式及前n项和公式.（3）了解等比数列的概念；了解等比数列前n项和公式的推导过程；掌握等比数列的通项公式及前n项和公式.（4）掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简单实际问题的方法.单元学习要求单元知识结构本节课学习任务CONTENTS目录01知识回顾04课堂小结02典型例题03课堂练习05作业布置1.数列的概念：按照

排列的一列数叫作数列.2.有穷数列与无穷数列：

的数列叫作有穷数列，

的数列叫作无穷数列.3.通项：通常把第n项叫作数列的通项或一般项.4.通项公式：如果数列的第n项能用含n的一个表达式来表示，那么这个表达式叫作这个数列的通项公式.5.数列与数集的区别：数列中的数是按一定次序排列的，而数集中的元素没有次序；数列中的数可以重复出现，而数集中的数不允许重复出现.知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置一定次序排列项数有限

项数无限

（一）数列的概念数列的概念一般地，按照一定次序排列的一列数叫作数列.项的概念数列中的每一个数，都叫做这个数列的项。排在第1位的数

→

第1项（首项）排在第2位的数

→

第2项……排在第n位的数

→

第n项例如，数列1,2,3，中的1是该数列的首项，3是该数列的第3项。（二）数列的分类

数列中所有项的个数，叫做这个数列的项数。例如，数列7,2,3,4,1的项数是5。

【有穷数列】

【无穷数列】项数无限的数列，叫做无穷数列。特点：没有最后一项，项数永远数不完。例如，数列1,2,3，......没有最后一项。【项数的概念】项数有限的数列，叫做有穷数列。特点：有最后一项，能数完所有项。例如，数列1,2,3，......，100的最后一项是100，项数是100.知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

通项的定义通常把第n项

叫作数列

的通项或一般项.

通项公式的定义如果数列

的第n项

能用含n的一个表达式来表示，那么这个表达式叫作这个数列的通项公式

通项举例如数列1,3,5，.....，（2n-1），的第n项是（2n-1），即该数列的通项是

通项公式举例如数列2,4,6,8,10，......，100的通项公式（三）通项与通项公式知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置（四）数列与数集的区别知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

区别：

数列中的数是按一定次序排列的，而数集中的元素没有次序；

数列中的数可以重复出现，而数集中的数不允许重复出现.

例如：

数列1,2,3与数列3,2,1是不同数列。

数集：{1,2,3}和{3,2,1}是同一个集合。

数列：1,1,2,2,3中数可以重复；

数集：因为集合具有互异性，所以{1,1,2,2,3}不是数集。

例1指出下列数列中，哪些是有穷数列，哪些是无穷数列.(1)所有正整数构成的数列：1,2,3,4,….(2)50以内是7的正整数倍的数按从小到大组成的数列：7,14,21,…,49.

【考点解析】第(1)题：正整数的个数是无限的，数列没有最后一项，因此是无穷数列。第(2)题：50以内7的正整数倍的数是有限的（共7项），且有明确的最后一项49，因此是有穷数列。【参考答案】根据有穷数列和无穷数列的定义，可知(1)是无穷数列，(2)是有穷数列.【总结提升】判断数列是有穷数列还是无穷数列，主要看数列的项数是有限的还是无限的.题型一：数列的分类知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

例2数列2,4,6,8,10和数列10,8,6,4,2是不是表示同一数列.

【考点解析】数列的有序性。判断两个数列是否为同一数列，必须同时满足两个条件：1.所有项的数值完全相同；2.各项的排列顺序完全一致。本题中，数列2,4,6,8,10和10,8,6,4,2虽然元素相同，但顺序不同，因此不是同一数列。【参考答案】不同【总结提升】数列的本质是“按一定次序排列的一列数”，顺序是数列的灵魂。即使元素完全相同，只要排列顺序不同，就是两个不同的数列，这是数列与数集的核心区别之一。题型二：判断数列是否相同知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

例3

已知数列

，则该数列的().

【考点解析】数列项的定义与序号的对应关系。数列的第n项

是指从首项开始数的第n个位置上的数。本题中，数列-2,0,2,4,6,8,...第6个位置上的数是8，因此8。【参考答案】8【总结提升】求数列的指定项，关键是明确项的序号n与位置的对应关系，从首项开始依次计数即可。题型三：求数列的指定项知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

例4数列

的一个通项公式是().A.

B.

C.

D.

【考点解析】观察数列规律，归纳通项公式；代入验证法。1.观察法：分析数列

的规律，发现分母都是正偶数，而分子总比分母小1，即分子是正奇数,则

，故选D；2.代入验证法：将n=1,2,3,分别代入选项，检验是否与数列各项相符。【参考答案】

D【总结提升】求通项公式的常用方法：观察法（分析分子、分母、符号等规律）、代入验证法（排除错误选项）。通项公式不唯一，但需满足数列的所有项。题型四：求数列的通项公式知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

例5判断24是否为数列

中的项，如果是，请指出是第几项？

【考点解析】利用通项方程判断数是否为数列的项。已知数列的通项公式，判断某数是不是这个数列中的项，只要将给定的数代入其通项公式求n，若求出的n是正整数，则这个数是数列中的项；若求出的n不是正整数，则该数不是数列中的项.假设24是该数列中的项，则有

，所以

，所以

，，所以

，【参考答案】第5项

【总结提升】判断某数是否为数列中的项，本质是解关于n的方程。关键是检验解出的n是否为正整数，若是则为数列中的项，否则不是。题型五：判断某数是否为数列中的项知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

一、选择题知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置1.已知数列2，0，2，0，…,则该数列的()A.2 B.0 C.1 D.1或32.已知数列,则该数列的()A. B. C. D.3.已知数列通项公式为2n，则()A.2 B.4 C.8 D.164.已知数列1，2，4，8，16，…，则64是该数列的第()项.A.5 B.6 C.7 D.85.已知数列10，5，0，-5，-10，…，则该数列的一个通项公式为()A. B. C. D.√√√√√

二、填空题知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

三、解答题知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

课堂小结知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置【常见题型】题型1：判断有穷/无穷数列解题要领：直接看数列项数是否有限，有明确末尾项为有穷数列，带“...”无末尾项为无穷数列。题型2：判断两个数列是否相同.如例1.解题要领：数列的核心是项的数值+排列次序，二者需完全一致才是同一数列。如例2.题型3：由数列求指定项/由通项公式求项解题要领：求第k项直接将n=k代入通项公式计算；无通项时按数列规律依次推导。如例3.题型4：求数列的通项公式解题要领：观察数列分子、分母、符号、数字特征的规律，归纳出含n的表达式；可代入n=1,2,3验证规律是否成立。如例4.题型5：判断某数是否为数列的项解题要领：将该数代入通项公式解关于n的方程，若n为正整数，则是数列的项（n即为项数）；否则不是。如例5

作业布置知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

谢谢2.2等差数列中等职业学校公共基础课程配套用书《数学》学习指导一能力训练（综合版）配套课件第二单元

数列（1）了解数列及有关概念，理解数列的通项公式.（2）了解等差数列的概念；了解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握等差数列的通项公式及前n项和公式.（3）了解等比数列的概念；了解等比数列前n项和公式的推导过程；掌握等比数列的通项公式及前n项和公式.（4）掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简单实际问题的方法.单元学习要求单元知识结构本节课学习任务CONTENTS目录01知识回顾04课堂小结02典型例题03课堂练习05作业布置

知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置每一项与它的前一项公差

（一）等差数列的概念数列的概念一般地，如果一个数列从第2项开始，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列.例如数列1、6、11、16，因为6-1=11-6=16-11=5，所以该数列是等差数列。公差概念

（二）等差数列的通项公式

【通项公式1】知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

【通项公式2】（三）等差中项知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

（四）等差数列的前n项和

【求和公式1】

【求和公式2】

【考点解析】注意题目问的是“不是”等差数列.A选项，后一项减前一项的差等于同一个常数1，即公差为1的等差数列；B选项，后一项减前一项的差等于同一个常数3，即公差为3的等差数列；C选项，后一项减前一项的差等于同一个常数0，即公差为0的等差数列；D选项，显然不是等差数列.【参考答案】D【总结提升】本题核心考查等差数列的核心定义——从第二项起，每一项与前一项的差为同一个常数（公差d）。需要牢记：公差d可以为正数、负数、0，公差为0的常数列也是等差数列。解题的核心方法是作差验证，同时要注意审题，看清题目要求是选“是”还是“不是”，避免因粗心失分。题型一：等差数列的定义识别与判定知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

题型二：等差数列核心基本量的识别知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

【参考答案】D

题型三：等差数列通项公式的基础应用知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

【参考答案】C

题型四：等差数列通项公式的进阶应用知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

【参考答案】A

题型四：等差数列通项公式的进阶应用知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

【参考答案】C

题型四：等差数列通项公式的进阶应用知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

【参考答案】B

题型五：等差数列求和公式的基础应用知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

【参考答案】A

题型五：等差数列求和公式的基础应用知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

【总结提升】将题意转化成方程，是等差数列综合应用的核心。题型六：等差数列通项公式与求和公式的综合应用知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

例10.在1和13之间插入3个数，使这5个数成等差数列，求插入的3个数.

【参考答案】插入的三个数为：4，7，10.

题型七：等差数列插入项问题知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

例11.已知三个数成等差数列，它们的和为6，积为-10，求这三个数.

【参考答案】这三个分别为-1,2,5或5,2，-1

题型八：等差数列对称设元解题技巧应用题型知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

【参考答案】该3D电影放映厅共有980个座位.【总结提升】本题是等差数列的经典实际应用题，核心解题步骤为：①

数学建模：将实际问题转化为等差数列模型，；②

选公式：根据已知条件，选择合适的前n项和公式；③

计算求解：代入数值计算，再还原为实际问题的答案本题重点培养数学建模能力，同时要学会根据已知条件选择更简便的公式，提升解题效率。题型九：等差数列前n项和公式的实际应用知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置1.下列数列中，是等差数列的是()A.0，2，4，6，8，…B.2，4，8，16，…C.1，-2，3，-4，…D.1，0，1，0，…2.已知等差数列-1，3，7，…,则15是该数列的第()项.A.5B.6C.7D.8

一、选择题AAC

二、填空题知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

-1

三、解答题知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

课堂小结知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置核心概念

基本运算

常用方法

数学思想

作业布置知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置1.完成【强化训练】选择题2、4、6-10、填空题2、5-8解答题1、4、拓展题1-3.

谢谢2.3等比数列中等职业学校公共基础课程配套用书《数学》学习指导一能力训练（综合版）配套课件第二单元

数列（1）了解数列及有关概念，理解数列的通项公式.（2）了解等差数列的概念；了解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握等差数列的通项公式及前n项和公式.（3）了解等比数列的概念；了解等比数列前n项和公式的推导过程；掌握等比数列的通项公式及前n项和公式.（4）掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简单实际问题的方法.单元学习要求单元知识结构本节课学习任务CONTENTS目录01知识回顾04课堂小结02典型例题03课堂练习05作业布置

知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

每一项与它的前一项公比

（一）等比数列的概念

（二）等比数列的通项公式

【通项公式1】知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

【通项公式2】（三）等比中项知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置

（四）等比数列的前n项和

【求和公式1】

【求和公式2】

知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置题型一：等比数列的判定考点解析考查等比数列的定义，即从第2项起，每一项与前一项的比为常数且不为0。总结提升1.各项不为02.必须是“后项比前项”.3.公比q必须是同一个非零常数.例1：下列数列中不是等比数列的是()A.1，4，9，16…B.-2，4，8，16…C.1，-2，4，-8…D.0，0，0，0…解析：注意题目问的是“不是”等比数列，通过观察四个数列，发现A选项，后一项除以前一项等于同一个常数-5，即为公比为-5的等比数列；B选项，，显然不是等比数列.C选项，后一项除以前一项等于同一个常数1，即为公比为1的等比数列；D选项，后一项除以前一项等于同一个常数3，即为公比为3的等比数列.答案：B知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置题型二：基本量计算——求首项和公比考点解析

总结提升直接根据定义，用后项除以前项即可求得公比。注意公比可为负数.

解析：该数列的首项

，公比

知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置题型三：通项公式应用考点解析

总结提升已知首项和公比，求指定项时直接代入公式计算，注意指数运算的准确性。答案：D知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置题型三：通项公式应用考点解析

总结提升已知等比数列中任意两项（非相邻），可建立方程求出公比，再代入公式求得其他项；注意解方程时公比可能有多个取值，需结合题目条件取舍。答案：C知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置题型三：通项公式应用考点解析

总结提升利用通项公式建立方程求出首项，然后代入写出通项；注意指数运算的准确性。答案：A知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置题型四：等比中项的应用考点解析考查利用通项公式由已知两项求公比和首项，进而求指定项；以及利用等比中项性质总结提升已知等比数列中非相邻两项，可列方程组求解基本量；若项数成等差数列，则中间项是两端项的等比中项，可直接求解，提高效率。答案：B知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置题型五：由通项公式求公比考点解析考查等比数列通项公式与解析式的对应关系

总结提升1.可将解析式化为标准形式2.通过通项公式求出相邻项答案：C知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置题型六：等比数列求和考点解析

总结提升代入公式时需准确计算幂次，注意首项、公比的符号，并正确处理分母，避免运算错误。答案：B知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置题型七：等比数列前

n项和公式的逆向应用考点解析

总结提升代入公式时注意公比q

的幂次计算（尤其负数的偶次幂为正），准确解方程即可求出首项。答案：A知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置题型八：等比数列前

n项和公式的应用考点解析考查由通项公式确定首项和公比，再代入求和公式计算。总结提升

答案：C知识回顾典型例题课堂练习课堂小结作业布置题型九：等比数列综合题考点解析考查等比数列的通项公式及求和公式总结提升观察数列前几项找出首项与公比

，直接