2025-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2025-2025学年高一上学期期中考试数学试题引言金秋时节，学期过半。对于刚刚踏入高中校门的同学们而言，高一上学期的数学学习既是对初中知识的延续与深化，更是迈向更高层次数学思维的关键一步。本次期中考试旨在全面检验同学们在本学期前半段的数学学习成果，考察对基本概念、基本技能的掌握程度，以及运用所学知识分析和解决问题的初步能力。希望通过本次考试，同学们能够客观认识自己的学习状况，总结经验，发现不足，为后续的学习明确方向，夯实基础，不断提升数学素养。考试须知1.本试卷分选择题、填空题和解答题三部分，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。3.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={1,2,3}，则下列关系正确的是（）A.A=BB.A⊂BC.B⊂AD.A∩B=∅（考查意图：本题主要考查集合的基本概念、集合间的基本关系及集合的运算。通过具体的一元二次方程求解集合A，再与集合B进行比较，检验学生对子集、交集等概念的理解和简单应用能力。）2.函数f(x)=√(x-1)+1/(x-2)的定义域是（）A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)（考查意图：本题主要考查函数定义域的求法。涉及到二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，需要学生综合考虑，培养其严谨的思维习惯。）3.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（）A.f(x)=-x+1B.f(x)=x²-2xC.f(x)=(1/2)^xD.f(x)=log₂x（考查意图：本题主要考查基本初等函数的单调性。要求学生对一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图像与性质有清晰的认识，并能准确判断其在特定区间上的单调性。）4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x²-2x，则f(-1)的值为（）A.-1B.1C.3D.-3（考查意图：本题主要考查函数的奇偶性及其应用。利用奇函数的性质f(-x)=-f(x)，将求f(-1)转化为求f(1)，进而代入已知解析式求解，考察学生对函数奇偶性概念的理解和应用能力。）5.设a=log₃2，b=ln2，c=5^(-1/2)，则（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a（考查意图：本题主要考查利用函数的单调性比较大小。涉及到对数函数和指数函数的性质，需要学生选取中间量（如0,1/2,1等）或利用换底公式等方法进行比较，考察其综合运用知识解决问题的能力。）6.函数f(x)=x²-2|x|的图像大致是（）（此处应有四个选项的图像，分别为关于y轴对称的抛物线，顶点在原点下方，在x轴正负半轴各有一个零点等特征的不同组合）（考查意图：本题主要考查函数图像的识别与绘制能力，特别是含有绝对值的函数的图像变换。通过分析函数的奇偶性、单调性、特殊点的函数值等，来判断函数图像的大致形状，考察学生的数形结合能力。）7.已知函数f(x)=ax+b(a≠0)的图像经过点(1,3)，且其反函数f⁻¹(x)的图像经过点(2,0)，则f(x)的解析式为（）A.f(x)=x+2B.f(x)=2x+1C.f(x)=3xD.f(x)=-x+4（考查意图：本题主要考查函数与反函数的关系。原函数与反函数的图像关于直线y=x对称，即若原函数过点(a,b)，则反函数过点(b,a)。利用这一性质结合已知条件列出方程组，求解出a和b的值，得到函数解析式。）8.已知集合A={x|x²-4x+3<0}，B={x|2<x<4}，则A∩B=（）A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)（考查意图：本题主要考查集合的交集运算以及一元二次不等式的解法。先分别求解集合A和集合B，再求它们的公共部分，考察学生的基本运算能力和对集合表示方法的理解。）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。9.函数f(x)=log₂(x-1)+√(4-x)的定义域为__________。（考查意图：本题与第2题类似，但综合了对数函数和二次根式的定义域要求，进一步巩固学生对函数定义域求法的掌握。）10.已知函数f(x)=x³+2x，若f(a)+f(a-2)>0，则实数a的取值范围是__________。（考查意图：本题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合应用。首先判断函数f(x)的奇偶性和在R上的单调性，然后利用这些性质将抽象不等式f(a)+f(a-2)>0转化为具体的代数不等式，进而求解a的取值范围，对学生的逻辑推理能力有一定要求。）11.若函数f(x)=(x-a)(x-b)(a<b)的图像与x轴交于A、B两点，且函数f(x)的最小值为-4，AB=4，则a+b的值为__________。（考查意图：本题主要考查二次函数的图像与性质。根据二次函数的交点式，结合对称轴、最值以及两点间距离等知识，列出关于a和b的方程，求解并得到a+b的值，考察学生对二次函数知识的综合运用。）12.对于函数f(x)，若存在实数m，使得f(x+m)+f(m-x)=2c对定义域内的任意x恒成立，则称函数f(x)的图像关于点(m,c)对称。已知函数f(x)=(2x+1)/(x-1)的图像关于点(m,c)对称，则m+c=__________。（考查意图：本题是一道新定义型题目，主要考查学生的学习能力和知识迁移能力。理解新定义的内涵，即函数图像的中心对称性，并将其应用于给定的具体函数（分式函数）。可以通过代数变形（分离常数）或利用特殊值法等方法求出对称中心(m,c)，进而得到m+c的值。）三、解答题：本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13.（本小题满分14分）已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}。（1）若m=3，求A∪B和A∩(∁RB)；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围。（考查意图：本题主要考查集合的基本运算（并集、交集、补集）以及集合间的包含关系。第一问是具体集合的运算，第二问是含参数集合的包含关系问题，需要注意空集的特殊情况，考察学生分类讨论思想的应用和运算的严谨性。）14.（本小题满分14分）已知函数f(x)=(1/3)^(x²-2x+3)。（1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）判断函数f(x)的单调性，并说明理由。（考查意图：本题主要考查复合函数的定义域、值域以及单调性。第一问，外层函数是指数函数，定义域为R，内层函数是二次函数，通过求内层函数的值域，再结合指数函数的单调性求复合函数的值域。第二问，利用复合函数“同增异减”的单调性判断法则，结合二次函数和指数函数的单调性进行分析，考察学生对复合函数概念的理解和应用。）15.（本小题满分15分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x²-4x+3。（1）求f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)的图像，并根据图像写出函数f(x)的单调递增区间和单调递减区间（不需要证明）；（3）若方程f(x)=k有四个不同的实数根，求实数k的取值范围。（考查意图：本题是一道关于函数性质综合应用的题目。第一问利用偶函数的性质求对称区间上的解析式；第二问考察函数图像的绘制能力，并通过图像直观得到函数的单调区间；第三问将方程根的问题转化为函数图像交点个数问题，考察学生的数形结合思想和转化与化归能力。）16.（本小题满分15分）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示：机器类型甲乙:-------:---:---价格（万元/台）ab每台日产量（个）10060经调查，购买一台甲种机器比购买一台乙种机器多花5万元，购买2台甲种机器和3台乙种机器共需60万元。（1）求a，b的值；（2）若该公司购买机器的预算资金不超过70万元，且希望购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，问该公司有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若要求购买机器的总费用最低，应选择哪种购买方案？最低费用是多少？（考查意图：本题是一道函数与不等式的实际应用问题，即线性规划的入门级问题。第一问通过列方程组求解a和b；第二问根据题意列出关于购买甲、乙两种机器数量的不等式组，求出整数解，得到可行的购买方案；第三问在可行方案中选择总费用最低的方案，考察学生分析问题、解决实际问题的能力，以及数学建模思想的初步应用。）17.（本小题满分16分）已知函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)的图像与x轴有两个不同的交点A(x₁,0)、B(x₂,0)，且满足x₁+x₂=4，x₁x₂=3。（1）求该函数的解析式（用含a的代数式表示）；（2）若该函数图像的顶点为C，求△ABC的面积S关于a的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若a=1，且对于任意的x∈[0,3]，不等式f(x)-t≤0恒成立，求实数t的取值范围。（考查意图：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的解析式、图像与性质、韦达定理、三角形面积、不等式恒成立等多个知识点。第一问利用韦达定理求出b和c关于a的表达式；第二问求出顶点坐标，进而表示出三角形面积，再根据a的取值范围（或利用函数性质）求面积的最大值；第三问将不等式恒成立问题转化为求函数在闭区间上的最大值问题，考察学生的综合分析和解决问题的能力。）18.（本小题满分16分）已知函数f(x)=(x+1)/x。（1）判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性，并用定义证明；（2）若对于任意x∈[1,3]，不等式f(x)-m<0恒成立，求实数m的取值范围；（3）设函数g(x)=f(x)+log₂(2^x+a)，若函数g(x)在区间(0,1)上有零点，求实数a的取值范围。（考查意图：本题是一道函数综合题，具有一定的难度和区分度。第一问考察利用定义证明函数单调性的步骤和规范性；第二问是不等式恒成立问题，转化为求函数在给定区间上的最大值，并让m大于此最大值；第三问将函数零点问题与对数函数相结合，通过分离参数或分析函数单调性等方法，求参数a的取值范围，考察学生的逻辑推理能力和综合运用知识的能力。）参考答案与评分标准（此处省略，实