小学六年级数学求阴影面积与周长专项练习试题

小学六年级数学求阴影面积与周长专项练习试题——攻克图形问题，提升空间思维同学们，在小学六年级的数学学习中，求阴影部分的面积与周长是平面几何的重点和难点。这类题目不仅考察我们对基本图形面积、周长公式的掌握程度，更考验我们观察图形、分析图形以及运用“转化”思想解决问题的能力。通过专项练习，我们能够更好地理解图形之间的关系，熟练运用各种解题技巧，从而轻松应对这类挑战。一、知识点回顾与方法指导在开始练习之前，让我们先回顾一下解决阴影面积与周长问题常用的基础知识和方法：1.基本图形面积公式：*正方形面积=边长×边长*长方形面积=长×宽*平行四边形面积=底×高*三角形面积=底×高÷2*梯形面积=(上底+下底)×高÷2*圆的面积=π×半径×半径(π通常取3.14)*扇形面积=(圆心角的度数÷360°)×π×半径×半径2.基本图形周长公式：*正方形周长=边长×4*长方形周长=(长+宽)×2*圆的周长=π×直径或2×π×半径(也称为圆的“周长”)*扇形弧长=(圆心角的度数÷360°)×π×直径或(圆心角的度数÷360°)×2×π×半径3.常用解题思想与方法：*整体减空白法：从整个图形的面积（或周长）中减去空白部分的面积（或周长），得到阴影部分。这是最常用的方法之一。*分割求和法：将复杂的阴影部分分割成若干个我们学过的基本图形，分别求出它们的面积（或周长），再相加得到阴影部分的总面积（或总周长）。*平移、旋转、对称法：通过图形的平移、旋转或利用对称性，将不规则的阴影部分转化为规则的、易于计算的图形。*容斥原理（重叠问题）：对于一些有重叠部分的图形，要注意区分哪些部分是需要相加的，哪些是需要相减的。温馨提示：在解决问题时，首先要仔细观察图形，明确阴影部分是由哪些基本图形组合或变化而来的。必要时可以在图上做标记、画辅助线。计算过程中要注意单位统一，π的取值要看题目要求。二、专项练习题（一）基础巩固篇题目1：在一个边长为6厘米的正方形中，有一个最大的圆形。求这个圆形以外的阴影部分的面积和周长。（π取3.14）题目2：一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米。在这个长方形内画一个最大的半圆，求这个半圆（阴影部分）的面积和周长。（π取3.14）题目3：如图，一个半径为4厘米的圆，被两条互相垂直的直径分成了四个部分。其中一个部分涂成了阴影，求阴影部分的面积。（π取3.14）题目4：一个梯形的上底是4厘米，下底是8厘米，高是5厘米。在梯形内画一条对角线，将梯形分成两个三角形，其中较小的三角形为阴影部分。求阴影部分的面积。（二）能力提升篇题目5：如图，两个完全相同的正方形边长都是5厘米，其中一个正方形的一个顶点与另一个正方形的中心重合。求重合部分（阴影部分）的面积。题目6：一个边长为10厘米的正方形，以它的四条边为直径，分别向正方形内部画四个半圆。这四个半圆相交，形成了中间的阴影部分。求这个阴影部分的面积。（π取3.14）题目7：如图，长方形ABCD的长AB=12厘米，宽BC=8厘米。分别以B、D为圆心，以BC、CD为半径画弧，两弧相交于点E。求图中阴影部分（即弧BE与弧DE所围成的部分）的周长。（π取3.14，提示：只需计算曲线部分的长度）题目8：一个直径为10厘米的大圆内，有两个直径分别为6厘米和4厘米的小圆，且这两个小圆的圆心都在大圆的同一条直径上。求大圆内除了两个小圆之外的阴影部分的面积。（π取3.14）题目9：如图，一个等腰直角三角形的直角边长为8厘米，分别以三个顶点为圆心，以直角边长的一半为半径在三角形内画弧。求三个扇形所围成的中间阴影部分的面积。（π取3.14）题目10：在一个长10厘米、宽6厘米的长方形纸片中，剪去一个最大的圆，再在剩余部分的一个角上剪去一个半径为1厘米的小圆。求最后剩余部分（阴影部分）的周长。（π取3.14，提示：注意剪去图形后周长的变化）三、参考答案与提示（一）基础巩固篇题目1：*阴影面积：正方形面积-圆面积正方形面积=6×6=36(平方厘米)圆的半径=6÷2=3(厘米)圆面积=3.14×3²=28.26(平方厘米)阴影面积=36-28.26=7.74(平方厘米)*阴影周长：这里要注意，阴影部分的周长是正方形的周长吗？不是。阴影是正方形内圆外的部分，其周长是圆的周长加上正方形的周长吗？也不是。仔细观察，阴影部分的外围周长其实就是正方形的周长，但内部还有一个圆的边缘。但题目问的是“圆形以外的阴影部分的周长”，通常这类问题指的是阴影区域的边界总长度。对于这个图形，阴影部分的边界包括了正方形的四条边和内部圆形的周长吗？不，实际上，阴影部分是四个角，每个角的边界是两条正方形的边的一部分和一段圆弧。所以，四个角的圆弧合起来正好是一个完整的圆的周长。而正方形的边在阴影部分的周长中，每个边被圆截成两段，每段都属于阴影部分的周长，四条边共有8段，总长正好等于正方形的周长。所以，阴影周长=正方形周长+圆周长正方形周长=6×4=24(厘米)圆周长=2×3.14×3=18.84(厘米)阴影周长=24+18.84=42.84(厘米)（提示：此题容易误认为周长只是正方形周长或圆周长，要理解阴影部分的边界构成。）题目2：*阴影面积（半圆面积）：要在长8厘米、宽5厘米的长方形内画最大的半圆。有两种可能：以长为直径（半径4厘米）或以宽为直径（半径2.5厘米）。显然以长为直径时半圆更大，但要判断半径是否超过宽。4厘米<5厘米，所以可以。半径=8÷2=4(厘米)半圆面积=3.14×4²÷2=25.12(平方厘米)*阴影周长（半圆周长）：半圆的周长=圆周长的一半+直径圆周长的一半=2×3.14×4÷2=12.56(厘米)直径=8(厘米)阴影周长=12.56+8=20.56(厘米)（提示：半圆的周长不等于圆周长的一半，一定要加上直径！）题目3：*阴影面积：两条互相垂直的直径将圆分成四个相等的扇形，每个扇形都是一个90°的扇形，即圆面积的四分之一。阴影面积=3.14×4²÷4=12.56(平方厘米)题目4：*阴影面积：梯形的对角线将梯形分成两个三角形，这两个三角形的高相等，都等于梯形的高。较小的三角形以上底为底。阴影面积=上底×高÷2=4×5÷2=10(平方厘米)（提示：也可以先求梯形面积，再求另一个三角形面积，用梯形面积减去它。梯形面积=(4+8)×5÷2=30平方厘米，另一个三角形面积=8×5÷2=20平方厘米，阴影面积=30-20=10平方厘米。）（二）能力提升篇题目5：*提示：无论两个正方形如何重合（只要一个顶点在另一个中心），重合部分的面积总是等于一个正方形面积的四分之一。可以通过连接中心与相邻两个顶点，证明阴影部分是一个等腰直角三角形，其直角边等于正方形边长的一半。*阴影面积：一个正方形面积÷4=(5×5)÷4=6.25(平方厘米)题目6：*提示：四个半圆的直径都是正方形的边长10厘米，所以每个半圆的半径是5厘米。四个半圆合起来正好是两个整圆的面积。阴影部分的面积=四个半圆面积之和-正方形面积。*四个半圆面积之和=2个整圆面积=2×3.14×5²=157(平方厘米)正方形面积=10×10=100(平方厘米)阴影面积=157-100=57(平方厘米)题目7：*提示：阴影部分的周长是由两段弧组成的：一段是以B为圆心，BC为半径的弧BE；另一段是以D为圆心，DC为半径的弧DE。弧BE：半径BC=8厘米，圆心角是多少度呢？连接BD，在长方形中，AB=12，AD=8，BD是对角线。但BE=BC=8，DE=DC=12。连接BE、DE。在三角形BCD中，BC=8，CD=12，BD可求，但可能复杂。换个思路，在扇形BCE中，BC=BE=8，所以三角形BCE是等腰三角形。但更简单的是，弧BE所对的圆心角是∠EBC。注意到E点是两弧的交点，所以BE=BC=8，DE=DC=12。在长方形ABCD中，AB=CD=12，AD=BC=8。连接BD。（更简便的思考：对于弧BE，它是扇形B-EC的一部分，半径为BC=8cm。由于E点在以D为圆心，DC=12cm为半径的圆上，所以DE=12cm。在直角三角形ABD中，BD长度可求，但或许我们不需要具体角度。哦，对不起，其实这道题求的是弧长。弧长公式是(n/360)×2πr。对于弧BE：圆心是B，半径r=BC=8cm。我们需要知道∠EBC的度数n1。对于弧DE：圆心是D，半径r=DC=12cm。我们需要知道∠EDC的度数n2。连接BD、BE、DE。在△BED中，BE=BC=8cm，DE=DC=12cm，BD是长方形的对角线。BD²=AB²+AD²=12²+8²=144+64=208。但BE=8，DE=12，BD²=208。8²+12²=64+144=208=BD²。所以△BED是直角三角形吗？不，BE²+DE²=BD²，所以∠BED是直角。但这似乎还不足以求出n1和n2。（此处可能原题有图，根据常见题型，这种情况下，∠EBC和∠EDC的和可能是90度，或者通过其他几何关系得出两段弧长之和恰好是(n1/360)*2π*8+(n2/360)*2π*12=(8n1+12n2)/360*2π。如果n1+n2=90度呢？或者，更可能的是，这道题的图中，E点的位置使得弧BE和弧DE合起来是一个特定的角度。考虑到是小学题，很可能两段弧对应的圆心角之和为90°，或者，更简单，弧BE是四分之一圆？不，半径是8和12。（修正与简化：啊，我想起来了，这类题目通常是这样的：在长方形ABCD中，以B为圆心，BC为半径画弧，交BD于E；以D为圆心，DC为半径画弧，也交BD于E。这样E点就是BD上的一点。那么，弧BE是以B为圆心，BC=8cm为半径，圆心角∠EBC=45°吗？因为长方形对角线平分角吗？不，只有正方形对角线才平分角。长方形的话，AB=12，AD=8，tan(∠ABD)=AD/AB=8/12=2/3，不是45°。看来我之前的思路复杂化了。小学阶段的题目不会涉及复杂的角度计算。最可能的情况是，题目中的“弧BE与弧DE所围成的部分”的周长，就是这两段弧长的和，而这两段弧长对应的圆心角之和恰好是90度（因为∠ABC和∠ADC都是直角，或许通过平移旋转可以得到）。或者，原题图中，两个弧的圆心角分别是某个特殊角，其弧长之和可以简便计算。（考虑到是小学题，我们换个方式：假设弧BE对应的圆心角为α，弧DE对应的圆心角为β。由于ABCD是长方形，∠ABC=∠ADC=90°。如果E点在长方形内部，那么α+β=90°。则弧BE长=(α/360)×2×π×8=(απ×16)/360弧DE长=(β/360)×2×π×12=(βπ×24)/360阴影周长=(16απ+24βπ)/360=[8π(2α+3β)]/360。如果α+β=90°，β=90°-α。代入得[8π(2α+3(90°-α))]/360=[8π(270°-α)]/360。还是有未知数。（好吧，或许原题的图是E点在BC和CD上？不，题目说“两弧相交于点E”。看来这道题对于小学六年级确实有难度，可能我的提示方向有误。或许正确的做法是：弧BE的长度：因为B是圆心，BC是半径（8cm），假设弧BE是四分之一圆周，则长度为(90/360)*2*3.14*8=12.56cm。弧DE的长度：因为D是圆心，DC是半径（12cm），假设弧DE是四分之一圆周，则长度为(90/360)*2*3.14*12=18.84cm。阴影周长=12.56+18.84=31.4cm。这是一个可能的答案，因为(1/4)*2π*8+(1/4)*2π*12=(1/4)*2π*(8+12)=(1/4)*2π*20