《立体几何中的向量方法（第4课时）》自助餐

第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页《立体几何中的向量方法（第4课时）》自助餐学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题（共3题，39分）1.(13分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值等于()A.B.C.D.2.(13分)长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A.B.C.D.3.(13分)P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α—AB—β的大小为()A．60°B．70°C．80°D．90°二、填空题（共3题，37分）4.(13分)已知正四棱锥P—ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是________．5.(12分)如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．6.(12分)如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°且PA＝AC＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．三、解答题（共2题，24分）7.(12分)如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.求直线BD与EF所成的角的余弦值．8.(12分)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．《立体几何中的向量方法（第4课时）》自助餐答案一、单项选择题1.【答案】B【解析】【知识点】利用向量法求异面直线所成的角．【解题过程】以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知＝(1,1,1)，＝，故cos<，>＝＝，从而sin<，>＝2.【答案】B【解析】【知识点】利用向量法求异面直线所成的角．【解题过程】建立空间直角坐标系如图则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.3.【答案】D【解析】【知识点】利用向量法求二面角．【解题过程】不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，如图：∵∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝a，PF＝b，∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b＝－－＋＝0，∴⊥，∴二面角α—AB—β的大小为90°.二、填空题4.【答案】【解析】【知识点】利用向量法求二面角．【解题过程】如图建立空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为，则PB＝，OB＝1，OP＝1.∴B(1,0,0)、D(－1,0,0)、A(0,1,0)、P(0,0,1)、M、N、＝，＝，设为平面的法向量.由得取得.平面ABCD的法向量＝(0,0,1)，则5.【答案】【解析】【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角．【解题过程】不妨设正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(,－1,0)，B1(,1,2)，D.则＝，＝(，1,2)，设为平面的法向量.由得.又∵＝，∴sinθ＝|cos〈，〉|＝.6.【答案】【解析】【知识点】利用向量法求异面直线所成的角．【解题过程】＝＋，故·＝(＋)·＝·＋·＝0＋a×a×cos45°＝a2.又||＝a，||＝a.∴cos〈，〉＝，sin〈，〉＝，∴tan〈，〉＝.三、解答题7.【答案】.【解析】【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角【解题过程】以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则O(0,0,0)，A(0，，0)，B(，0,0)，D(0，，8)，E(0,0,8)，F(0,，0)，∴＝(－3，－3，8)，＝(0,3,－8)．cos〈，〉＝＝＝－.设异面直线BD与EF所成角为α，则cosα＝|cos〈，〉|＝.即直线BD与EF所成的角的余弦值为.8.【答案】【解析】【知识点】利用向量法求二面角．【解题过程】(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)、B(2，2,0)、C(0,4,0)、A1(0,0,4)、E(,3,0)、F(0,4,1)．于是＝(0,－4,4)，＝(－,1,1)．则·＝(0,－4,4)·(－,1,1)＝0－4＋4＝0，故EF⊥A1C.(2)解：设CF＝λ(0<λ≤4)，平面AEF的一个法向量为＝(x，y，z)，则由(1)得F(0,4，λ)．＝(,3,0)，＝(0,4,λ)，于是由⊥，⊥可得