《数系的扩充与复数的引入》单元测试

第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页《数系的扩充与复数的引入》单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题（共6题，30分）1.(5分)若(x－i)i＝y＋2i，x、y∈R，则复数x＋yi＝（）A.－2＋iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i2.(5分)i为虚数单位，则()2011＝（）A.－iB.－1C.iD.13.(5分)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A.2B.－2C.－D.4.(5分)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(5分)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x|||＜1，i为虚数单位，x∈R}，M∩N为（）A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]6.(5分)已知复数z1＝x2＋i、z2＝(x2＋a)i，对任意x∈R均有|z1|＞|z2|成立，则实数a的取值范围为（）A.(－1，－]B.(－1，)C.[－1，)D.(－1，]二、填空题（共9题，42分）7.(5分)已知集合M＝{1，m，3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________.8.(5分)若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝_____，c＝_____.9.(5分)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是__________.10.(5分)设t是实数，且＋是实数，则t＝____________.11.(5分)设z1是复数，z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，若z2的实部是－1，则z2的虚部为__________.12.(5分)在复平面内,复数与分别对应向量和,其中为坐标原点.则=________.13.(4分)已知复数且满足,则复数在复平面内对应的点位于第________象限.14.(4分)设复数满足条件，那么的最大值是__________.15.(4分)复数满足条件,则的最小值为________.三、解答题（共7题，28分）16.(4分)若数列满足，，求的值.17.(4分)计算18.(4分)若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.19.(4分)复数z＝(a，b∈R)，且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值.20.(4分)设z是虚数,是实数,且,求的值及实部的取值范围.21.(4分)设复数z满足4z＋2＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围.22.(4分)已知，其中，且为纯虚数（1）求对应点的轨迹；（2）求的最大值和最小值《数系的扩充与复数的引入》单元测试答案一、单项选择题1.【答案】B【解析】【知识点：复数的概念，复数的相等】由题意得，xi＋1＝y＋2i，故x＝2，y＝1，即x＋yi＝2＋i.2.【答案】A【解析】【知识点：复数的运算】因为＝＝i，所以原式＝i2011＝i4×502＋3＝i3＝－i.3.【答案】A【解析】【知识点：复数的运算】方法一：＝＝为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2；方法二：＝为纯虚数，所以a＝2.4.【答案】D【解析】【知识点：复数的运算，复平面】z＝＝＝－i，其在复平面内对应的点在第四象限.5.【答案】C【解析】【知识点：复数的运算，二倍角的正弦公式，集合的运算】对于集合M，函数y＝|cos2x|，其值域为[0,1]，所以M＝[0,1].由于||＝|－xi|＝|x|，故－1＜x＜1，所以N＝(－1,1)，则M∩N＝[0,1).6.【答案】D【解析】【知识点：复数的相等，复数的运算，复数的模，一元二次不等式（组）】|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|，因为|z1|＞|z2|，所以有＞|x2＋a|，即(1－2a)x2＋(1－a2)＞0恒成立，当1－2a＝0即a＝时，1－＞0恒成立，或⇒－1＜a＜.所以a的取值范围是(－1，].故选D.二、填空题7.【答案】3或6【解析】【知识点：复数的相等，集合的运算】∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3.8.【答案】－2；3【解析】【知识点：复数的相等，复数的运算】∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.9.【答案】1【解析】【知识点：复数的相等，复数的运算】z＝－1＝1＋3i，所以z的实部是1.10.【答案】2【解析】【知识点：复数的概念，复数的运算】＋＝＋＝＋i，当t＝2时，为实数1.11.【答案】1【解析】【知识点：复数的概念，复数的运算，共轭复数】设z1＝a＋bi，则1＝a－bi，∴z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝a－b＋(b－a)i；∵z2的实部是－1，即a－b＝－1，∴b－a＝1，即z2的虚部为1.故填1.12.【答案】【解析】【知识点：复数的模，复数的运算，复数减法的几何意义】∵，∴13.【答案】四【解析】【知识点：复数的运算，复数的相等，复平面】∵且∴即解得∴∴复数在复平面内对应的点位于第四象限.14.【答案】4【解析】【知识点：复数的概念，复数的模，复平面】复数满足条件，所对应的点的轨迹是单位圆，而即表示单位圆上的动点到定点的距离.从图形上可得的最大值是4.15.【答案】【解析】【知识点：复数的概念，复数的模，基本不等式】由得,则.三、解答题16.【答案】【解析】【知识点：复数的运算，等比数列】,则数列是以为首项,以为公比的等比数列此题考查的复数的除法运算17.【答案】【解析】【知识点：复数的运算】原式===18.【答案】【解析】【知识点：复数的概念，复数的相等，复数的运算】假设这样的虚数存在，设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.∵z＋是实数，∴b－＝0.又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，∴a＋3＋b＝0.②由解得或故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.此题考查的复数相等的充要条件19.【答案】【解析】【知识点：复数的概念，复数的模，复数的运算，复平面】解：z＝(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①∵复数0，z，对应的点构成正三角形，∴|z－|＝|z|.把z＝－2a－2bi代入化简，得a2＝3b2，②代入①得，|b|＝1.又∵z对应的点在第一象限，∴a＜0，b＜0.由①②得故所求值为a＝－，b＝－1.20.【答案】【解析】【知识点：复数的概念，复数的模，复数的运算，复平面】∵z是虚数∴可设==∵是实数且∴,即∴=1,此时,又∵∴解得即为z的实部的取值范围.21.【答案】【解析】【知识点：复数的概念，复数的模，复数的运算，复数的几何意义，三角函数的最值】设z＝a＋bi，(a，b∈R)，则＝a－bi.代入4z＋2＝3＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，即6a＋2bi＝3＋i.∴∴z＝＋i.|z－ω|＝|＋i－(sinθ－icosθ)|＝＝.∵－1≤sin(θ－)≤1，∴0≤2－2sin(θ－)