初中数学圆的知识点归纳总结

初中数学圆的知识点归纳总结圆的基本概念圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，通常用字母O表示；定长称为半径，通常用字母r表示。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O圆还可以看成是由一个动点以一个定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线。圆的相关概念1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径d=2r2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌢”表示。大于半圆的弧叫做优弧，优弧一般用三个字母表示；小于半圆的弧叫做劣弧，劣弧一般用两个字母表示。半圆是圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧。3.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。4.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆的性质圆的对称性1.轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。2.中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合，这就是圆的旋转不变性。垂径定理及其推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。已知：在⊙O中，直径CD⊥弦A则有：AE=BE，2.推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据，在解决有关圆的计算和证明问题中经常用到。例如，已知圆的半径r、弦长AB和圆心到弦的距离d中的任意两个量，就可以利用垂径定理结合勾股定理=圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。已知：在⊙O中，∠则有：AB⌢=推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆周角定理及其推论1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。已知：在⊙O中，AB⌢所对的圆周角是∠则有：∠C2.推论同弧或等弧所对的圆周角相等。半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角定理及其推论在圆的有关证明和计算中应用广泛，例如可以利用圆周角的性质求角度大小、证明线段相等或垂直等。点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离O1.点P在圆外⇔d2.点P在圆上⇔d3.点P在圆内⇔d判断点与圆的位置关系，关键是比较点到圆心的距离d与圆的半径r的大小。例如，已知圆的半径r=5，点A到圆心的距离OA=3直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判定设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙1.直线l和⊙O相离⇔d>2.直线l和⊙O相切⇔d=3.直线l和⊙O相交⇔d<切线的性质与判定1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知：在⊙O中，OA是半径，直线l⊥则有：直线l是⊙O证明一条直线是圆的切线，通常有两种方法：一是“连半径，证垂直”；二是“作垂直，证半径”。2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。已知：直线l是⊙O的切线，切点为A则有：OA切线的性质在解决与圆的切线相关的计算和证明问题中非常重要，常常结合勾股定理、相似三角形等知识来求解。3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。已知：PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A则有：PA=P三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和r（R≥r），圆心距为1.外离⇔d2.外切⇔d3.相交⇔R4.内切⇔d5.内含⇔d<R圆中的计算问题弧长公式在半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l=。例如，已知圆的半径R=6，圆心角n=扇形面积公式1.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。2.扇形面积公式有两种：=（其中n是圆心角的度数，R是扇形所在圆的半径）。=lR（其中l是扇形的弧长，例如，已知扇形的圆心角n=，半径R=4，则扇形面积=；若已知扇形弧长l=3圆锥的侧面积和全面积1.圆锥的相关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高h，圆锥的母线是指连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段，母线长用l表示。2.圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长C=2πr（r是底面半径），扇形的半径等于圆锥的母线长3.圆锥的全面积：圆锥的全面积等于侧面积与底面积之和，即=+例如，已知圆锥的底面半径r=3，母线长l=5，则圆锥的侧面积=π圆的综合题型角度计算问题例：如图，在⊙O中，AB⌢所对的圆心角∠AOB=，点C是⊙解：当点C在优弧AB⌢上时，根据圆周角定理，当点C在劣弧AB⌢上时，优弧AB⌢所对的圆心角为所以∠ACB的度数为或与垂径定理相关的计算问题例：已知⊙O的半径r=5，弦AB=解：过点O作OC⊥AB于点因为OC⊥A在Rt△A所以圆心O到弦AB的距离为3切线的证明与计算问题例：如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C解：连接OC因为OA=O则∠D因为DC切⊙O于点C，所以OC在Rt△O与圆的计算相关的实际问题例：如图，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，母线AC的中点解：因为圆锥的主视图是边长为6m的正三角形，所以圆锥底面直径为6m，底面半径r=圆锥底面周长C=设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，根据扇形弧长公式=C，即=6π，解得圆锥侧面展开图是一个半圆，B、P在展开图中的位置如图所示，连接BP，则B在Rt△BAP中，A