甘肃兰州2026年高三高考一模数学试卷（含答案）

数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若复数z=i2-iA.1B.5C.3D.52.与向量a=-A.b=35,-453.已知集合A={-1A.x∈A是x∈B的充分条件B.x∈AC.x∈A是x∈A∪B的必要条件D.x4.若函数y=ex+e-x2(e为自然对数的底)A.1,0B.0,15.已知α,β是两个不同的平面,m,nA.若m⊥n,α⊥β,m⊥α,则C.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则6.一个铅垂做单摆运动时,离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示,函数关系满足y=Asinωx+φx∈[0,+∞,ωA.2π3C.4π37.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，前三位数字构成三位数a，后三位数字构成三位数b，记m=a-b，mA.1112B.910c.88.已知双曲线C的焦点为F1-7,0,F27,0,过点F2的直线与双曲线C交于A.y=±233xB.二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分)9.在某班级的一次测验后,随机抽取7名同学的成绩作为样本,这7名同学的成绩分别为78,80,81,84,87,88,90,则A.估计这次考试全班成绩的平均分为84B.从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是1C.样本的75%分位数是87D.当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差10.已知曲线C:x2A.点1,-1在曲线内部C.曲线与坐标轴围成的面积为2π-4D.11.已知函数fx=1000x+100A.函数y=fx-gxB.x∈100010000,+∞C.x∈200010000,+∞D.存在正实数a，当x∈a,+∞时，对于任意大于1三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.函数fx=13x3-13.在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+2cos2c=b，b=214.正方体ABCD-A1B1C1D1四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长为3，点E、F分别在直线AD、CD(1)证明:AC//平面B1(2)若三棱锥B1-BEF的体积为52，求直线BB116.(15分)“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒.”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶.某文具店试销二十四节气书签,每套书签24张,分别印有春夏秋冬四季节气各6米.文具店为促销进行抽奖活动,凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下:从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外.现从盒中随机抽出一张卡,若抽出春季卡,则把它放回盒子中,若抽出夏季卡,则该卡与盒外的一张春季卡置换.如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并获得2套二十四节气书签，否则不获奖.(1)求只抽3次即获奖的概率；(2)若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理?17.(15分)已知椭圆E:x2a2+y2b(1)求椭圆E的方程；(2)过点A的直线与椭圆E交于点B，并与圆P:x-22+y2=r2r>0相切，已知点Q0,-32,直线QB与椭圆18.(17分)已知公差不为零的等差数列an满足a1=1,且(1)求数列an(2)证明:lna(3)若数列bn满足b证明:1+1b119.(17分)已知曲线S:sin(1)定义:若对于曲线fx,y=0上任意一点Px,y沿向量a=T,T平移得到点Qx+T,y+T'仍在曲线上,其中T与T'是不同时为0的常数,则称曲线fx(2)证明:曲线S是中心对称图形；(3)当x∈0,π,y∈π2,3π2时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线l1:x+y-3π2-θ=0,l2:x数学试题参考答案及评分标准一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.B2.A3.D4.B5.C6.A7.D8.A8.设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1，因为双曲线C的焦点为F(1)当过点F2的直线与双曲线C右支交于A,B两点如图由BF2=2F2图1则AB=AFAF1-AF2在△BAF1中,cos∠F1AB=3a2+F即28=9a2+a所以双曲线C的方程为x23-y24图2(2)当过点F2的直线与双曲线C两支交于A,B两点如图2所示由BF2=2F2A,综合(1)(2)两种情况:双曲线的渐近线方程为y=±233二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分)9.ABD10.BC11.AD11.由于x∈0,+∞,当x≤100010000时,x0.0001≤1000,x1.0001≤1000x<1000x+100,故必有x0∈100010000,100110000,使x1.0001=1000x+100对于任意正数N>1,当x>x1.0001取a=1001N10000,当x∈a,+∞时,对于任意大于1的正实数N,gx≥Nfx因此D正确,三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.4313.314.14.正方体ABCD-A1B1C1D1的中心是内切球球心,设为O,O到平面A1BD的距离为d,A到平面A1BD的距离为d1=13×23四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(1)证明:AE=BE2所以AC//EF,AC⊄平面B1EF所以AC//平面B1(2)如图所示:以D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z则三棱锥B1-BEF的体积V=则B3,3,0,B3,3,3,E1,0,0,F0,1,0,BB1=0,0,3,EB=2,3,3,EF=-116.(1)设事件A1i可取1,2,3,4表示第i次抽到春季卡,Bj(j可取1,2,3,4)表示第j次抽到夏季卡PC=PPB1(3)设事件D表示获奖，则D=B且B1BPD=PB1BPAPPBPD=136+172+154+5216=112.10分又因为参加抽奖是否获奖相互独立,用随机变量X表示参加活动获奖的人数,若促销的30天中预计有360人参加活动,则X∼B360,117.(1)若焦点在x轴,可知b=2,a=2c,解得若焦点在y轴,可知a=2,a=2所以椭圆的方程为y22(2)若焦点在x轴,椭圆的方程为x24+若直线AB斜率不存在,则B在y轴上,显然满足题意:若直线AB斜率存在,设直线AB的方程为y=由x2+2y2=4y=kx+由于直线BQ的斜率为kBQ由x2+2y2=即2k2+1k2所以直线AC的斜率kAC=2k2-22k2+2-2-直线AC:y=1所以直线AC与圆P相切.若焦点在y轴,显然不成立,无需证明.15分18.(1)设等差数列an公差为dd≠0,a1=1,a2,a4,a(2)证明:设fx=lnx-x+1,f'x=1x-1=0,当x≥1时,f'x≤0,fx单调递减,f所以1(3)因为1+1b11+1b2⋯1+1bn>0,所以要证1+1b119.(1)因为sinx+2mπ+y+2nπ=sinx+y,cosx+2mπ=cosx,siny+2nπ=siny,所以当Px,y在曲线m,n∈Z,(2)因为cos2sin所以当sinx+ysin故当Px,y在曲线S上时,必有P'2π+而P与P'关于点π+mπ,π2+nπ对称,所以曲线S是中心对称图形,(3)先证明曲线S上的点在直线l1的上方或直线l1设Px,y是曲线S上任意一点,即证由sinx+y=cosx令z=y-π2,则z∈用反证法证明,假设x+z<π+θ由cosx+z=cosx若x+z>π,则π2<若x+z>π,则π2<又cosπ故2cosx+z2-1cosx故x+z<π,即z<π-x,又从而cosx+z=cosx+cosz>0,所以cosx+z≤cosx<cos由第(2)问可知,点Mπ,3π2是曲线S的中心,过M垂直于l由y=x+π2y=-x+3π2左边=sin3π2+θ=-cosθ=1-3,右边=cosπ2+θ2+